高等數學教學中極限算法探究

李會芳

【摘要】本文首先提出解決極限問題的首要步驟，接著對極限過程進行具體分類，然后針對不同類型提出了行之有效的解決方法.

【關鍵詞】極限;基本初等函數;分類

極限是一種重要的數學思想，也是近代數學的基礎，把我們研究的領域從有限元過渡到無限元，實現了質的飛躍.同時極限是高等數學后續學習的基礎，可以說高數每一個領域的研究都離不開極限的思想，例如函數的連續性、導數的定義、積分的定義等.

在高等數學的教學過程中，我們首先接觸到的是極限的定義及計算.很多學生不適應大學數學的思維模式，導致其對這部分內容掌握得不扎實，一做題就出錯.經過多年的教學實踐，筆者發現很多學生在剛開始接觸極限的計算時存在很多問題，比如極限類型分不清，具體計算時思維混亂，經常半途而廢等，究其原因就是學生對極限的理解不到位，沒有把握住求極限的本質，并且此時還沒講導數，不能使用洛必達法則，故筆者在此探討不使用洛必達法則計算函數極限的方法.

我們在計算極限之前，首先需要把極限過程代入目標函數，得到極限類型.這一步至關重要，是我們計算所有極限的大前提，只有判斷對了類型，才能根據不同的極限類型采用不同的方法，才有助于我們快速而有效地解決極限問題.判斷對了類型后，我們接下來要“對號入座”，針對不同類型采取不同方法.

一、可以直接帶入求值型極限

當我們把極限過程代入目標函數后，發現函數極限已經可以直接得到，例如：

limx→π2sin 2xcos x-1=0-1=0

這種類型比較簡單，對于該種類型的極限，帶入極限過程后我們發現可以直接計算出結果，其根本原因就是待求極限的初等函數在極限點是連續的，所以極限值等于該點的函數值.這是一種基本類型，我們在求極限的所有題目中都會用到這種方法，一般情況下，我們得到極限值的最后一步都是使用該方法.

特別地，我們要注意0a（a≠0），k·∞（k≠0），（+∞）+（+∞），（-∞）+（-∞），∞+a均屬于該種類型.

二、00型或者0·∞型極限

當我們把極限過程代入后，發現所求極限為00型或者0·∞型時，我們接著要這么分析：

1.如果極限的分子分母只是單純的冪函數形式，那么我們就利用因式分解或者分子分母有理化的方式消去零因子，具體來說就是如果函數里面含有根號我們就有理化，否則就因式分解，有時需要二者結合，要具體問題具體分析，例如：

limx→1x2-1x3-1=limx→1（x+1）（x-1）（x-1）x2+x+1=limx→1x+1x2+x+1=23

limx→4x-2x-4=limx→4（x-2）（x+2）x-4（x+2）=limx→41x+2=14

2.如果極限的分子或分母中含有三角函數、反三角函數、冪函數或者指數函數等其他初等函數，我們就要使用等價無窮小代換.在這里我們要熟悉無窮小代換的形式，并且明白在公式中我們可用f（x）整體代替x，只要f（x）→0.我們要熟記以下代換公式：當f（x）→0時，sin f（x）∶f（x），tan f（x）∶f（x），arcsin f（x）∶f（x），arctan f（x）∶f（x），1-cos f（x）∶12f 2（x），ef（x）-1∶f（x），ln（1+f（x））∶f（x），1+f（x）-1∶12f（x），（1+f（x））a-1∶af（x），舉例如下：

limx→0etan x-11-esin x=limx→0tan x-sin x=limx→0x-x=-1

limx→0lnx2+1arcsin22x=limx→0x24x2=14

3.如果遇到0·∞型極限，我們就要先把0·∞型轉換為01∞=00型，然后按照前面的兩種情況進行計算.例如：

limx→∞x·sin1x=limx→∞sin1x1x=1

三、∞∞型極限

當我們遇到∞∞類型的題目時，要先找到分子分母的最高次冪，然后分子分母同時除以未知量的最高次冪，舉例如下：

limx→∞3x4-5x2-3x4+x3-2x2+6=limx→∞3-5x2x4-3x41+x3x4-2x2x4+6x4=3

我們在使用這個方法時要注意，這里的無窮大可以為+∞或者-∞，并且只能是冪函數時使用，遇到其他類型函數我們一般使用洛必達法則.

當我們熟練使用該方法后會發現這些規律：當分子最高次冪等于分母最高次冪時，極限結果為分子分母最高次冪的系數比;當分子最高次冪高于分母最高次冪時極限結果為∞;當分子最高次冪低于分母最高次冪時極限結果為0.

四、1∞型極限

對于這種類型的極限，我們要使用第二重要極限，并且即便學習了導數的應用中的洛必達法則，一般情況下第二重要極限的計算過程也要簡便于洛必達法則.舉例如下：

limx→0（cos x）csc x

=limx→0（1+cos x-1）1cos x-1·（cos x-1）sin x

=elim[]x→0 （cos x-1）sin x=elim[]x→0 - 12x2x=1

從上題可以看出我們使用的是第二重要極限的推廣形式，也可以用f（x）整體代替x，只要f（x）→0.也就是說當我們遇到以下類型極限時均要使用第二重要極限：limf（x）→0（1+f（x））1f（x）及limf（x）→∞（1+1f（x））f（x）.

五、∞-∞型極限

帶入極限過程后，如果極限類型為∞-∞，我們就需要通分或者將分子分母有理化轉化為00或者∞∞型，舉例如下：

limx→+∞（x2-3-x2+x）

=limx→∞（x2-3-x2+x）（x2-3+x2+x）（x2-3+x2+x）

=limx→∞-x-3（x2-3+x2+x）

=limx→∞-1-3x1-3x2+1+xx2=-12

六、其他類型極限

1.利用無窮小的性質計算極限

limx→+∞sin xx=limx→+∞1x·sin x=0

這是根據無窮小的性質：無窮小和有界函數的乘積仍為窮小.

2.根據無窮小和無窮大的關系計算極限

limx→+∞x+2ln xxln x

=limx→+∞1+2ln xxln x=1+0∞=0

我們利用無窮大和無窮小的關系計算極限，即：無窮大的倒數是無窮小，無窮小的倒數是無窮大.

3.利用夾逼準則計算極限

1=limn→∞nn2+n≤limn→∞∑ni=11n2+i≤nn2+1=1

這種計算極限的思想就是利用兩個較簡單的極限從兩邊夾著目標極限，并且這兩個極限要收斂于同一個數值，我們的放縮不能過大或過小，所以該種方法的重點是如何找到合適的極限，這是一個難點.

4.變量代換法

limx→-∞x2+xx2+2t=-x

=limt→+∞tt-t2+2t+t2+2t+t2+2=-1

變量代換時我們一般要把不會做的類型轉換為見過的類型，把未定式轉化為定式.

極限有很重要的理論地位，筆者依據多年的教學經驗，參考同類院校的不同教學方法，總結出了在學習極限初期如何幫助學生快速、準確地計算極限的方法和步驟.在教學過程中我們應該結合學生的學習進度不斷總結方法，以便我們的高等數學教學目標更加清晰，教學過程更加順利.為了讓學生徹底掌握極限的算法，教師需要在課堂上將極限分類清晰地教給學生，向學生強調判斷類型的重要性，通過“判斷類型”→“對號入座”→“計算總結”這幾個步驟反復練習.

【參考文獻】

[1]南京理工大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]楊偉傳，關若峰.高等數學（理工類專業）[M].北京：清華大學出版社，2007.