負泊松比材料于可重構(gòu)天線反射面的應(yīng)用研究

徐 斌 張華振 侯仰青 江水東 蘭 瀾

負泊松比材料于可重構(gòu)天線反射面的應(yīng)用研究

徐 斌張華振侯仰青江水東蘭 瀾

（1. 中國空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710000；2. 上海躍盛信息技術(shù)有限公司，上海 200240）

為了提高在軌衛(wèi)星天線反射面型面重構(gòu)過程中的變形能力，減小局部應(yīng)力及作動力，提高型面重構(gòu)的精度，對反射面重構(gòu)中的變形情況進行力學(xué)理論分析，得到泊松比參數(shù)對型面重構(gòu)應(yīng)力的影響。本文給出了反射面在主曲率方向的曲率變化及面內(nèi)應(yīng)變變化情況下，使應(yīng)力最小的泊松比參數(shù)取值方法。以一可重構(gòu)賦形反射面為算例，采用具有陣列橢圓孔結(jié)構(gòu)的泊松比可設(shè)計超材料作為發(fā)射面材料，通過優(yōu)化橢圓孔的幾何參數(shù)，得到所需泊松比參數(shù)；以提高型面重構(gòu)精度及作動力小為目標，通過有限元仿真計算確定反射面的厚度。

機械式可重構(gòu)反射面（MRR）；負泊松比；超材料

1 引言

在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中，傳統(tǒng)的賦形天線只有一個固定的反射面幾何，只能提供特定的輻射場型及固定的目標增益區(qū)。機械可重構(gòu)反射面（MRR）的天線可以通過重構(gòu)反射面調(diào)整其輻射場型圖，實現(xiàn)衛(wèi)星天線的波束形狀的在軌重構(gòu)，覆蓋服務(wù)區(qū)的賦形波束能夠隨通信需求的變化而變化。因此，空間可重構(gòu)天線使用壽命內(nèi)覆蓋多個不同的區(qū)域，可以減少天線數(shù)量，節(jié)約發(fā)射成本。

在過去的幾十年中，有大量關(guān)于機械式可重構(gòu)反射面的研究。其中，P. J. B. Clarricoats研究了一種底部分布了多個作動器的金屬經(jīng)編織網(wǎng)反射面，根據(jù)他的研究，要得到光滑的重構(gòu)型面，反射面材料的彎曲剛度與楊氏模量的比值（D/E）須盡可能大。

Leri Datashvili 等人以柔性纖維復(fù)合材料設(shè)計了一種可變形反射面，通過在表面層填充硅顆粒，使其同時具有很好的力學(xué)性能和射頻性能。

邵恕寶等采用三明治結(jié)構(gòu)來制備反射面，包含三層：頂層及底層為BWF CFRS，中間層為鋁蜂窩。其結(jié)構(gòu)簡單，并可彈性調(diào)節(jié)彎曲剛度與楊氏模量的比例系數(shù)（D/E）。

以往對可重構(gòu)曲面力學(xué)性能的研究主要集中在拉伸模量、剪切模量和彎曲剛度方面。由于泊松比參數(shù)對于某一確定材料是不可改變的，且多為正值，所以研究者們對泊松比參數(shù)對型面變形的影響研究很少。近年來，具有任意復(fù)雜微結(jié)構(gòu)的所謂“設(shè)計材料”越來越引起人們對超材料概念的關(guān)注。通過對微結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計，超材料在宏觀尺度上可表現(xiàn)出不同的力學(xué)性能，如泊松比參數(shù)的設(shè)計，包括負泊松比（negative Poisson’s ratio, NPR）。

本文通過對反射面型面大變形下的應(yīng)力進行理論研究，得出應(yīng)力與泊松比參數(shù)之間的關(guān)系，得到更優(yōu)的泊松比參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上優(yōu)化反射面材料單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)，使反射面變形時的應(yīng)力較小，同時得到較高的型面精度。

2 反射面重構(gòu)變形的力學(xué)分析

反射面的重構(gòu)通過面下多個作動器的驅(qū)動實現(xiàn)。通過曲率變化和面內(nèi)應(yīng)變的結(jié)合，實現(xiàn)了由原始形狀產(chǎn)生彈性面外變形。應(yīng)力由彎曲應(yīng)力（）及面內(nèi)應(yīng)力（）兩部分組成。根據(jù)彈性力學(xué)理論，式（1）可用來計算在,方向的應(yīng)力及剪切應(yīng)力。

2.1 純彎曲變形的應(yīng)力分析

對于賦形反射面，在型面上不同位置的作動器作用下，曲率K和K的變化是不同的。在彎曲變形起主導(dǎo)，面內(nèi)應(yīng)力忽略的情況下，假定和方向為主曲率方向，主應(yīng)力分別為σ和σ。在和方向的彎曲應(yīng)變可以通過曲率的變化值及型面厚度按式（2）計算：

將式（2）代入式（1）得到、方向的應(yīng)力分量：

最大彎曲主應(yīng)力大小為：

通過對式（7）求導(dǎo)，可得到最小彎曲應(yīng)力下的泊松比參數(shù)取值：

綜合以上分析可以看出，當＜0，即、曲率變化符號相反（×＜0），ν為正；當＞0，即、曲率變化符號相同（×＞0），ν為負；當=0，即、曲率變化至少有一個為零時，ν為零。為了證實以上結(jié)論，分別取-1、-0.5、0、-0.5、1，繪制彎曲應(yīng)力關(guān)于泊松比參數(shù)的曲線，如圖1所示。ν分別為1、0.265、0、-0.265、-1。當=1，彎曲應(yīng)力在隨著泊松比參數(shù)增大而增大，當=-1，彎曲應(yīng)力隨泊松比增大而減小。

圖1 彎曲應(yīng)力vs泊松比參數(shù)曲線

2.2 面內(nèi)變形的應(yīng)力分析

根據(jù)彈性力學(xué)理論，、方向的面內(nèi)應(yīng)力如下：

在僅考慮面內(nèi)變形的情況下，則主應(yīng)力為：

與上節(jié)中彎曲應(yīng)力與泊松比關(guān)系進行相同方法的分析，得到相似的結(jié)論，即：當應(yīng)變符號相反（ε/ε＜0），泊松比對應(yīng)于最小主應(yīng)力的取ν為正值；當應(yīng)變符號相反（ε/ε＞0），ν為負值；當ε、ε之一為零，ν=0。

2.3 綜合面內(nèi)及彎曲變形的反射面變形應(yīng)力分析

在作動器作用下的反射面表面變形包括了彎曲及面內(nèi)的變形。在及方向的總應(yīng)變可將面內(nèi)應(yīng)變及彎曲應(yīng)變疊加如下：

聯(lián)立式（1）、式（2）、式（12），在及方向的應(yīng)力表示為：

本文以一可重構(gòu)賦形反射面為例進行研究。該反射面有兩個不同的工作型面，覆蓋兩個不同的區(qū)域，如圖2a所示。應(yīng)用Matlab計算在型面重構(gòu)變形中相同、坐標下的坐標變化值，得到型面上的位移如圖2b。型面變形后，、方向的曲率變化及高斯曲率變化可由式（15）計算，通過應(yīng)用Matlab軟件得到曲率變化圖，如圖3所示。

點處的面內(nèi)應(yīng)變可以通過中性面節(jié)點的幾何變形進行計算。如圖4所示，、分別為初始型面和目型面中性面上的對應(yīng)節(jié)點，、為在方向與、相鄰的節(jié)點，、為在方向上相鄰的點，應(yīng)變由式（16）計算：

（16）

圖5 應(yīng)變計算結(jié)果

應(yīng)用Matlab計算面內(nèi)應(yīng)變及剪切應(yīng)變，結(jié)果如圖5所示。在點處的、方向面內(nèi)應(yīng)變?yōu)?.022、-0.005，剪切應(yīng)變?yōu)?.017。

圖6 應(yīng)力與泊松比參數(shù)的曲線

圖7 主應(yīng)力與泊松比參數(shù)曲線

4 反射面優(yōu)化設(shè)計

4.1 點陣結(jié)構(gòu)材料

根據(jù)圖7計算結(jié)果，當反射面厚度大于1mm，對應(yīng)于最小應(yīng)力的泊松比參數(shù)為負值。傳統(tǒng)的蜂窩結(jié)構(gòu)材料常用來制備反射面，但泊松比多為正值。Bertoldi等人提出了一種具有負泊松比參數(shù)的陣列橢圓孔點陣材料，如圖8所示。該二維結(jié)構(gòu)由橢圓孔按周期排列形成陣列，其中橢圓孔有水平及豎直兩個方向，且相鄰橢圓孔的方向不同，所以在水平和豎直兩個方向上的彈性力學(xué)參數(shù)是相同的。等效的泊松比參數(shù)可通過調(diào)整橢圓孔的幾何參數(shù)、及設(shè)計。

圖8 陣列橢圓孔負泊松比材料

考慮到穿透損失，孔徑需小于電磁波的波長的1/8。本文反射面應(yīng)用于X波段，波長為30 mm，則橢圓孔的幾何參數(shù)取值為3.65 mm。為降低面內(nèi)拉伸剛度，可以減小幾何參數(shù)，但同時可能增加其加工難度，由于太小，在加工中容易相鄰橢圓孔之間的“脖子”處容易斷裂。綜合考慮，取為0.3 mm。通過有限元仿真，如圖9所示，計算出不同橢圓率下，陣列橢圓孔材料的等效泊松比ν如下：

圖10 等效泊松比關(guān)于橢圓率b/a曲線

反射面材料采用碳纖維增強硅膠，其楊氏模量E為500MPa，泊松比為0.4。仿真計算結(jié)果如圖10所示，等效泊松比ν隨著橢圓率/單調(diào)增大。

4.2 反射面厚度優(yōu)化

反射面厚度是面外變形的一個重要影響因素。從式（18）可以看出，彎曲剛度是厚度的三次方關(guān)系。根據(jù)文獻[4]所述，在面外彎曲變形中，為使變形后型面光滑，彎曲剛度與楊氏模量的比值（/）須足夠大，而增加厚度是增加彎曲剛度的有效方法，但將使局部的曲率變化小，而使總體的變形增大。

為優(yōu)化厚度，對幾個厚度值分別為1mm、2mm、3mm、4mm、5mm的反射面進行仿真計算：

表1 陣列橢圓孔的幾何參數(shù)

ANSYS用來計算不同厚度的反射面在225個作動器驅(qū)動下的型面變形。作動器布置在局部區(qū)域高斯曲率極值點上。圖11所示為其中一個反射面在作動器下的變形結(jié)果。型面的精度以型面與目標型面的均方根誤差（RMS）來評價，計算如式（19）：

其中，Zi*為仿真結(jié)果型面的z坐標，Zi為目標型面上相同x、y坐標對應(yīng)節(jié)點的z軸坐標。

圖12 不同厚度仿真型面的RMS誤差分布

在本文的案例中，不同厚度反射面RMS計算結(jié)果如圖12所示，當厚度從0.5mm增大到5mm時，RMS遞減，型面的精度升高，當厚度大于5mm后，RMS開始增加，如圖12e所示。變形所需的作動力也相應(yīng)地隨厚度增大，意味著反射面和作動器的質(zhì)量增大，提高火箭發(fā)射成本。所以，在滿足精度的條件下，選擇小的厚度。

5 結(jié)束語

泊松比參數(shù)是影響反射面變形應(yīng)力的重要力學(xué)參數(shù)，通過彈性力學(xué)理論分析，反射面的重構(gòu)變形包含了面內(nèi)變形及彎曲變形（曲率變化）。對應(yīng)于應(yīng)力最小的泊松比參數(shù)需根據(jù)型面厚度，及主曲率方向上的曲率變化和面內(nèi)應(yīng)變情況取值，即：當兩個主曲率變化方向相同（δK×δK>0），泊松比取負值得到最小的彎曲應(yīng)力；相反地，泊松比取正；若其中一個曲率變化為零（δK×δK=0），泊松比取值為零時，彎曲應(yīng)力最小。同樣地，對于面內(nèi)應(yīng)力，當δεδε>0，泊松比參數(shù)取為負；δεδε<0，泊松比參數(shù)取為正；δεδε=0，泊松比參數(shù)取為零。而對于主應(yīng)力，是彎曲應(yīng)力和面內(nèi)應(yīng)力的疊加，但厚度較小時，彎曲應(yīng)力較小，主應(yīng)力取得最小值的泊松比接近，隨著厚度增加，彎曲應(yīng)力增大，主應(yīng)力取得最小值的泊松比將向靠近。

通過實例分析，本文采用陣列橢圓孔超材料制作反射面，通過優(yōu)化設(shè)計橢圓孔的幾何參數(shù)實現(xiàn)變泊松比調(diào)整，根據(jù)型面重構(gòu)精度優(yōu)化設(shè)計反射面的厚度。

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Application Research on Negative Poisson’s Ratio Material for Reconfigurable Antenna Reflector

Xu BinZhang HuazhengHou YangqingJiang ShuidongLan Lan

(1. China Academy of Space Technology (Xi’an), Xi’an 710000; 2. Shanghai YS Information Technology Co., Ltd., Shanghai)

In order to improve the deformation ability of reconfigurable reflector, decrease the local stress and power, improve the precision of surface reshaping, the effect of Poisson’s ratio to the reflector reshaping is investigated through mechanical study of reconfigurable reflectors in this paper. A method of determining Poisson’s ratio parameter to minimize the stress of the reflector surface under the vary conditions of the curvature change and the membrane strain change in the main curvature direction is presented. A case of reconfigurable reflector is studied. A Poisson’s ratio designable metamaterial with structure of elliptic voids array is used for the reflector, and the required Poisson’s ratio parameters were obtained by optimizing the geometric parameters of the elliptical voids. In order to improve the reshaping precision of the surface and reduce the operating force, the thickness of the reflector surface was determined by finite element simulation.

mechanically reconfigurable reflector(MRR)；negative Poisson’s ratio；metamaterial

TN82；TB3；O31

A

徐斌（1984），在讀博士后，電子科學(xué)與技術(shù)專業(yè)；研究方向：可重構(gòu)天線反射面材料。

2021-04-08