單面柱局域共振聲子晶體低頻帶隙特性分析及結構改進研究

孫向洋，燕 群，郭翔鷹

(1.中國飛機強度研究所，航空聲學與動強度航空科技重點實驗室，西安 710065;2.北京工業大學機械工程學院，機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室，北京 100124)

0 引 言

聲子晶體是指由兩種或者兩種以上不同力學性能的材料構成的周期結構功能材料，由于這種結構或者材料的周期性，某些特定范圍頻率的彈性波無法在其中傳播，該頻段范圍稱為聲子帶隙[1-2]。聲子帶隙產生的機理有兩種：布拉格散射機理和局域共振機理。布拉格散射型聲子晶體[3]，特點為彈性波在該周期結構內部的傳播出現相互干涉，導致其傳播受阻，表現出無法傳播的現象。局域共振型聲子晶體[4]，特點為在特定頻率的彈性波激勵下，各個散射體產生共振，并與彈性波長波行波相互作用，從而抑制彈性波的傳播。

自從2000年劉正猷教授提出局域共振聲子晶體概念以來，有關局域共振聲子晶體的研究日益增多[5-8]，局域共振聲子晶體產生帶隙的物理機理不同于布拉格散射，它是由局域共振單元的強共振特性決定的，因此具有顯著不同的帶隙特點，帶隙特性的影響因素也有所不同。局域共振型聲子晶體用較小的尺寸獲得較低頻帶隙[9]，這一特點為聲子晶體在低頻減振降噪方面的應用提供了新的思路，具有重要的理論價值和應用前景，例如用于隔振減振、隔聲降噪、制作聲波濾波器、隔振器和波導裝置等[10-15]。

國內外學者也對局域共振聲子晶體結構進行了大量研究，主要集中在研究彈性波在聲子晶體結構中的傳播特性[16]。例如，Goffaux等[17]用數值方法研究了彈性波在一種局域共振聲子晶體(將重圓柱嵌入軟聚合物當中，并將它們用剛性網格相連接)中的傳播。Gu等[18]研究了二維聲子晶體中彈性波的共振模式及對彈性波傳播的影響。Yao等[19]采用有限元法研究了在環氧樹脂基板兩側布置軟橡膠形成的局域共振聲子晶體條形波導結構中蘭姆波的能帶結構。Wang等[20]提出了一種雙分量局部共振結構，發現其中一個帶隙是由與散射單元相關的共振頻率引起的，這個頻率范圍比通常的布拉格帶隙要低近兩個數量級，而且局部共振頻率不僅取決于幾何形狀，還取決于散射體與基體的密度比。Hsu等[21]應用Mindlin理論，利用平面波展開公式研究了二維二元局部共振薄聲子平板中的蘭姆波帶隙。

對于局域共振聲子晶體結構，能帶結構的求解是其重要的研究內容之一，目前聲子晶體帶隙特性計算方法主要有傳遞矩陣法、平面波展開法、時域有限差分方法、多重散射法、有限元法等[22-23]。這些方法各有利弊，傳遞矩陣法可以計算一維聲子晶體解析的色散關系和傳輸系數，但是不能直接處理二維和三維聲子晶體[1]；平面波展開法思路清晰，可以適用二維和三維聲子晶體，但是當組元材料參數差異較大時，收斂緩慢[24]；時域有限差分方法可計算較為復雜的模型，并直接進行時域計算，但是存在穩定性問題[25]；多重散射法理論推導較為復雜，且只能用于簡單的圓柱及球形散射體單元結構的聲子晶體[26]；有限元法適用范圍廣泛，不但能直接計算聲子晶體的能帶結構[27]，也可快速計算其傳遞損失。

綜上所述，本文采用有限元法對單面柱局域共振聲子晶體進行帶隙特性分析，研究了結構參數對于該類型聲子晶體的影響情況。并且在經典單面柱聲子晶體的基礎上，組合了兩種新型的三組元單面柱聲子晶體結構Ⅰ和結構Ⅱ，并對其帶隙特性進行分析。

1 模型介紹

由于晶體的周期性，對于理想的無限周期的聲子晶體只需要研究一個單胞即可[28]。取文獻[28]中的單面柱聲子晶體單胞模型作為經典單面柱聲子晶體模型，結構Ⅰ和結構Ⅱ均為在此基礎上的改進結構。單胞的基體底面邊長為a，基體厚度e，散射體高度h，散射體半徑r，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼，材料參數如表1所示。

表1 材料參數

結構Ⅰ和結構Ⅱ如圖2和圖3所示，結構Ⅰ是將經典的單面柱聲子晶體與含包覆層聲子晶體相結合，將散射體嵌入基板中，同時在散射體與基板中間加入一層包覆層；結構Ⅱ是直接在散射體與基板中間添加一種新的材料進行粘接組成。結構Ⅰ基體底面邊長為a，基體厚度e，散射體高度h，散射體半徑r，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼，包覆層圓環的厚度為1 mm，材料為橡膠。結構Ⅱ基體底面邊長為a，基體厚度為e，高度h1=h2=5 mm，材料A為鋼，材料B為橡膠，基板仍然為鋁。各材料參數如表1所示。

圖1 聲子晶體單胞模型

圖2 結構Ⅰ

圖3 結構Ⅱ

2 有限元簡介

采用商業有限元分析軟件 COMSOL Multiphysics 求解彈性波在聲子晶體中的波動方程。由于晶體的周期性，依照Bloch定理，對于理想的無限周期的聲子晶體只需要研究一個單胞即可。進行網格劃分后，根據單胞的離散特征方程形式，由結構的周期性可得：

(1)

式中：格矢R的格點為正格矢；矢量G的格點為倒格矢，e為基體厚度。

根據Bloch定理，在周期場中的本征函數形式為：

(2)

為了得到聲子晶體的能帶曲線，對于正方晶格，只需要波矢k在不可約Brillouin區的邊界遍歷取值即可。

3 結果與討論

3.1 單面柱局域共振聲子晶體板低頻帶隙特性分析

對于經典的單面柱局域共振聲子晶體進行帶隙特性分析，在已有的文獻研究的基礎上，已經明確了材料參數對于其帶隙的影響效果[28]，本文進一步分析結構參數對于該聲子晶體的影響情況。

3.1.1 與現有文獻結果的對比驗證

首先將本節的計算結果與已有文獻[28]的計算結果進行對比，驗證本文計算方法的正確性。聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=4.5 mm，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼。

計算結果如圖4所示，從計算結果可以得出：本節計算的結果與文獻中的結果具有高度的一致性。據此可得，本章模型計算方法是正確合理的。

圖4 能帶結構計算結果對比

3.1.2 結構參數對單面柱聲子晶體的影響

材料參數對于單面柱聲子晶體帶隙特性的研究已經明確，材料的密度和楊氏模量都會對帶隙產生明顯的影響[28]。但是結構參數對于該聲子晶體的帶隙影響情況還未明確。因此，下面針對結構參數對單面柱聲子晶體的影響情況進行研究。

首先研究散射體高度對帶隙的影響情況，取聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h分別從1～15 mm，步長為1 mm的變化，散射體半徑r=4.5 mm，基體材料為橡膠，散射體材料為鋼。計算出該聲子晶體的第一完全帶隙隨著散射體高度的變化情況如圖5所示。

圖5 第一完全帶隙與散射體高度的關系

從圖5計算的結果得出，隨著散射體高度的增加，單面柱聲子晶體的第一完全帶隙的起始頻率逐漸降低。但是降低的幅度逐漸減小，截止頻率變化不大，帶寬逐漸增大。為了達到低頻寬帶的目的，可取散射體的高度為10 mm。

進一步研究基板的厚度對帶隙的影響情況，同樣取聲子晶體單胞的基體底面邊長為a=10 mm，基體厚度e分別從1～10 mm，步長為1 mm取值，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=4.5 mm，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼。計算出該聲子晶體的第一完全帶隙隨著基板厚度的變化情況如圖6所示。

圖6 第一完全帶隙與散射體基板厚度的關系

從圖6中的計算結果可以得出，隨著基板厚度的增大，單面柱聲子晶體的起始頻率逐漸升高，截止頻率先增大后減小。由于在基板厚度取1 mm附近的規律與其他區域不同，所以進一步分析基板厚度取0.1～1 mm，步長為0.1 mm的變化，計算結果如圖7所示。計算結果得到，在基板厚度處于2 mm以內時，隨著基板厚度的增加，聲子晶體的第一帶隙的起始頻率、截止頻率以及帶寬都逐漸增大。因此為了達到低頻寬帶的目的，可選取基板厚度為2 mm。

圖7 第一完全帶隙與散射體基板厚度的關系

3.2 單面柱局域共振聲子晶體的結構改進研究

3.2.1 改進型結構的能帶計算

本節首先分析兩種改進型結構的色散關系，并與經典單面柱結構進行對比。對于經典單面柱聲子晶體，取聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼。結構Ⅰ包覆層圓環的厚度為1 mm，材料為橡膠，其他參數與經典單面柱聲子晶體相同。結構Ⅱh1=h2=5 mm，材料A為鋼，材料B為橡膠，基板仍然為鋁，其他參數與經典單面柱聲子晶體相同。

圖8給出了三種結構的能帶曲線計算結果，表2是它們對應的第一完全帶隙范圍的計算結果。由結果可知，改進后的結構Ⅰ和結構Ⅱ均能在較低的頻率內獲得帶隙，結構Ⅰ在301 Hz就能出現帶隙，結構Ⅱ在169 Hz出現帶隙，然而經典單面柱結構則需要在85 564 Hz才會出現帶隙。通過對比發現，改進后的兩種結構相對于經典的單面柱結構具有產生更低頻帶隙的優勢，而低頻隔振降噪正是目前亟待解決的問題，所以改進后的結構具有更大的應用前景與研究價值。

圖8 三種不同結構能帶曲線計算結果

表2 三種聲子晶體結構第一完全帶隙能帶結果比較

3.2.2 包覆層厚度對結構Ⅰ的影響

在改進型結構Ⅰ中，包覆層的引入對于聲子晶體的帶隙產生了明顯的影響，因此本文研究該包覆層的厚度對于結構Ⅰ聲子晶體的帶隙影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼，包覆層為橡膠，包覆層圓環的厚度分別從0.5～1.4 mm，步長為0.1 mm的變化。計算第一完全帶隙與包覆層厚度的關系，結果如圖9所示。從計算結果得出，隨著包覆層厚度的增加，第一帶隙的起始頻率和截止頻率均降低，帶寬逐漸變大。所以本著低頻寬帶的原則，結構Ⅰ的包覆層厚度可盡量增大一些，但是要注意包覆層的直徑不能大于基板底面正方形的邊長。

圖9 第一完全帶隙與結構Ⅰ包覆層厚度的關系

3.2.3 散射體高度對結構Ⅱ的影響

在改進型結構Ⅱ中，材料B的引入，將散射體分為兩個部分，由于材料B的引入對于聲子晶體的帶隙產生了明顯的影響，因此本文研究當h1+h2=10 mm固定的時候，h2變化會對結構Ⅱ聲子晶體的帶隙影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h1+h2=10 mm，h2分別從1～9 mm，步長為1 mm的變化，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，材料A為鋼，材料B為橡膠。計算第一完全帶隙與h2高度的關系，結果如圖10所示。計算結果表明，當h2太小時不存在帶隙，當h2>2 mm，隨著h2的增加，結構Ⅱ聲子晶體的第一帶隙起始頻率和截止頻率都是先減小后增大的。當h2=4 mm時，帶隙的起始頻率最低為170 Hz。因此本節研究的結構Ⅱ型聲子晶體結構的最佳h2高度為4 mm，此時得到最低頻率的帶隙。同時對于結構Ⅱ型聲子晶體最低頻帶隙出現在h2取中間值附近。

圖10 第一完全帶隙與結構Ⅱh2高度的關系

3.2.4 材料A的半徑對結構Ⅱ的影響

考慮到對于傳統的聲子晶體其填充率對聲子晶體的帶隙影響較為明顯，因此針對結構Ⅱ，有必要研究其散射體材料A的半徑對其帶隙的影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長為a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h1=h2=5 mm，圓柱體材料B半徑R2=3.5 mm，材料A半徑R1分別從2～5 mm，步長為0.5 mm的變化，基體所用材料為鋁，材料A為鋼，材料B為橡膠。計算第一完全帶隙與R1大小的關系，結果如圖11所示。

圖11 第一完全帶隙的與結構ⅡR1大小的關系

從計算結果可以得出，隨著R1的不斷增大，結構Ⅱ聲子晶體的帶隙起始頻率和截止頻率均向低頻移動。因此對于這種結構的聲子晶體，將R1擴大是很有利于低頻隔振降噪的，但是需要注意R1不能大于基板單胞邊長a的一半。

4 結 論

本文首先介紹了經典單面柱聲子晶體的結構形式，并將計算的結果與文獻進行對比驗證了本文計算方法的正確性，然后分析經典的單面柱聲子晶體結構參數的影響。在此基礎上，組合出了兩種新型的單面柱局域共振聲子晶體結構，并分別進行帶隙計算，得到以下結論：

(1)發現這兩種新結構與經典的單面柱聲子晶體相比，都具有更低頻的帶隙。

(2)對結構Ⅰ分析了包覆層厚度對其帶隙的影響情況，發現隨著包覆層厚度的增加，第一帶隙的起始頻率和截止頻率均降低，帶寬逐漸變大，所以結構Ⅰ的包覆層厚度增大可降低禁帶頻率，但是包覆層的直徑不能大于基板底面正方形的邊長。

(3)對結構Ⅱ分析了h2高度對其帶隙的影響，發現對于結構Ⅱ型聲子晶體最低頻帶隙出現在h2中間取值附近。

(4)這兩種新型的單面柱聲子晶體結構都能在更低的頻率出現帶隙，這為低頻減振降噪方面的應用提供了新的思路，具有一定的理論價值和應用前景。