聲子晶體中波傳播的自準直效應

張 昭，張 磊，郭江川，李加瑞，王藝飛

(大連理工大學運載工程與力學學部工程力學系，工業裝備結構國家重點實驗室，大連 116024)

0 引 言

聲子晶體是一種人工設計的超材料，可以實現對波的調諧和控制，頻率范圍可以從Hz到THz[1]。與光子晶體類似，聲子晶體具有能帶結構和帶隙特性，通過密度/波速的周期性排布，使帶隙頻率范圍內的波無法通過周期性聲子晶體結構，從而形成頻帶禁區[2-3]。利用聲子晶體的帶隙特性，可以形成聲學二極管、聲學斗篷、熱二極管、熱斗篷等結構元器件，以及減振降噪器件，具有良好的工業應用前景。文獻[4]以變電站低頻噪聲為應用背景，提出一種局域共振型聲子晶體板輕量化設計方法，通過振型位移及聲壓級復合聲強流線圖對其隔聲機理進行了分析研究。文獻[5]以某汽車為研究對象，建立具有聲子晶體頂棚的汽車整車車身結構有限元模型，發現在一定的頻率范圍內，可以通過聲子晶體頂棚降低車內的聲壓級。文獻[6]基于聲子晶體理論，引入新型聲子晶體減振墊層，以降低60～80 Hz特殊頻段的振動水平，從而解決高速鐵路下穿機場航站樓引起的振動噪聲問題。文獻[7]從熱聲子的擴散輸運、彈道輸運等微觀機制出發，探討了材料微結構與熱輸運之間的關系。這些已有工作表明，聲子晶體對工業結構中的減振降噪具有重要意義。除減振降噪外，聲子晶體具有一系列獨特的物理特性，為新裝置、新結構的研究提供了新思路。與光子晶體中光的自準直效應類似，波在聲子晶體中傳播時，也會產生自準直效應[8-10]。Park等[11]通過拓撲優化技術尋求最優的材料布局，實現波在指定方向的自準直傳播。Li等[12]設計了兩種不同的波束分流器，通過在周期性結構中設置線缺陷，實現波束分流和轉向，進一步研究顯示通過改變波束分流器單胞的內部圓柱的大小和方柱的方向，可以改變和控制波束分流器的效率。Tan等[13]設計了一種聲光子晶體，以實現對電磁波和聲波的波束控制，并研究了密度和彈性模量對計算結果的影響。Shu等[14]設計了一種可以實現對電磁波和聲波進行波束控制的聲光子晶體，并認為這種無缺陷周期型結構可以與有缺陷的周期性結構具有類似的性能。通過聲子晶體的自準直效應，可以對指定頻率范圍內的波實現波的轉向和分流，對波傳播的精確控制有重要意義。

聲子晶體自準直效應的形成與結構單胞、材料中波傳播的波速、波的特性等問題密切相關，研究波傳播自準直效應的形成機理對波傳播的控制和新的結構設計具有重要意義。與其他工作不同，本文聚焦于自準直現象產生時頻率范圍的控制，通過對材料性質、幾何性質的調整和對比，探討自準直現象產生的頻率范圍與設計參數之間的關聯性。因此，本文通過設計周期性聲子晶體的結構，分析陣列聲子晶體結構中材料性能和幾何特性的周期性變化，關聯聲子晶體的設計與波傳播特性之間的關系，分析和闡述波傳播自準直效應的形成機理。

1 計算模型

對聲子晶體的波傳播問題，可以采用色散面第一布里淵區內波矢和本征頻率之間的關系，通過色散面的投影確定等頻線，確定波的傳播方向，因此，等頻線的形貌代表著不同的波傳播特性，如正折射、負折射和自準直對應不同的等頻線，等頻線形貌的變化意味著此時波束將沿該方向無衍射無拓寬的傳播，即產生波傳播的自準直現象。利用這一特性，可以設定入射波的方向和單胞的方向，從而形成該方向上指定頻率范圍內的無衍射無拓寬的波傳播。為了研究結構和載荷的關聯性，本文選取了如圖1(a)所示的單胞，組成聲子晶體陣列結構，如圖1(b)所示，陣列結構的外邊界設定為無反射邊界。單胞為充液結構，其單胞尺寸為a=10 mm，中心圓形結構為固體，其直徑為D=7.8 mm。結構單胞滿足周期性邊界條件[15-18]:

圖1 單胞結構和陣列結構

u(r+a)=u(r)eika

(1)

式中：u是位移矢量；r是邊界節點的位置矢量；a是聲子晶體的格矢基矢量；k為波矢。

介質1為水，是可壓縮絕熱流體，其本構方程如下：

(2)

式中：p是壓力；Kf是流體的體積模量；uf為位移；x為空間坐標；θi為獨立的場變量。

介質2為金屬，其材料物理特性和波速變化如表1所示，由文獻[19-22]可以得到相關固體材料的彈性模量，彈性模量和體積模量之間滿足如下關系式：

表1 單胞材料的物理性質

(3)

式中：K是體積模量；E為彈性模量；ν為泊松比。由彈性模量和體積模量之間的關系式可以得到材料的體積模量，用于波傳播的分析計算。

所有的自由度和載荷被認為是角頻率Ω的函數:

(4)

2 結果與討論

介質1為水，介質2為鋁合金。在60～80 kHz范圍內計算，發現超聲波在67.9 kHz出現波的自準直現象，這種自準直現象一直持續到75 kHz，繼續增加頻率的范圍，自準直現象消失，說明了對于當前結構，自準直現象產生在67.9～75 kHz的頻率范圍內，隨著頻率的進一步降低，超聲波出現明顯的發散現象，如圖2(a)所示，當超聲波頻率增加至67.9 kHz，超聲波在陣列結構中的傳遞出現明顯的自準直現象，其對應第一頻帶的等頻線如圖3所示，等頻線的線型變化代表了自準直現象的產生，等頻線的法線方向代表了自準直現象產生時的波傳播方向。在70 kHz左右更為明顯，當超聲波的頻率為75 kHz時，超聲波的傳遞依然保持自準直，但是隨著頻率的進一步增加，自準直現象消失。自準直現象的產生與陣列結構設置的兩種或者多種材料的體積模量以及密度的周期性變化相關。

圖2 水-鋁合金陣列結構波傳播的自準直現象

圖3 圓形柱結構第一頻帶的等頻線

為了進一步確定波傳播自準直的控制，采用不同金屬介質，形成陣列結構，進行自準直現象的研究，如圖4所示，研究陣列結構金屬柱材料性質的變化對波傳播自準直頻率范圍的影響，發現陣列金屬柱材料性質會影響自準直波傳播的頻率范圍，對于水-鈦陣列結構，自準直波形成于61.5～66.3 kHz，對于水-鋼陣列結構，自準直波形成于56.5～62.9 kHz，對于水-鉛陣列結構，自準直波形成于54.6～57.8 kHz。

圖4 不同介質下波傳播的自準直現象

將自準直波傳播的頻率范圍與材料的模量比和密度比進行關聯，如圖5所示，分別以鋁合金、鈦合金、鋼、鉛以及鎢作為散射體，按照正方晶格周期性排列在以水為基體的二維聲子晶體中。無論是自準直現象的起始頻率還是終止頻率，都隨著周期性陣列結構中不同材料的密度比的增加而減小，隨著模量比的增加呈現先增加后減小的趨勢。自準直出現的頻率范圍受密度比的影響較大，當不改變散射體材料的密度時，在一定范圍內對其彈性模量進行控制，可以發現自準直現象出現的頻率會有一定波動，整體幅度較小。但散射體材料的密度也發生變化時，自準直現象起始頻率和終止頻率與散射體密度呈線性關系。這是因為增大散射體與基體的密度比，剛體的共振頻率會向低頻移動。這意味通過調整周期性結構中兩種或者多種材料的模量比和密度比，可以實現對自準直波的頻率控制。

圖5 模量比與密度比對自準直波傳播頻率的影響

修改陣列結構的幾何特性，將圓形金屬柱修改為等面積的方形金屬柱，采用不同介質得到的自準直頻率范圍如圖6所示，可以看出，相對于圓形的情況，水-鋁陣列結構方形柱對應的自準直現象產生的起始頻率由67.9 kHz增加為74.4 kHz，終止頻率由75 kHz增加至80 kHz，其第一頻帶的等頻線如圖7所示，方形柱陣列結構的自準直現象的頻率范圍較圓形柱情況有明顯增加，這與等頻線的形貌變化關系密切，等頻線是設計周期性結構陣列自準直效應的重要設計依據。

圖6 金屬柱不同形貌下波傳播的自準直現象

圖7 方形柱結構第一頻帶的等頻線

進一步討論不同介質中波的自準直傳播，采用不同的金屬材料，分別為鈦合金、鋼和鉛，得到的波的自準直傳播情況如圖8所示，模量比和密度比對方形柱周期性陣列結構中的自準直現象產生頻率的影響規律與圓形柱周期性陣列結構一致，波傳播的自準直現象產生的頻率范圍隨模量比的增加呈現先增加后減小的變化的趨勢，隨密度比的增加而減小。

圖8 模量比和密度比對方形柱陣列結構波傳播自準直的影響

3 結 論

建立了液-固陣列聲子晶體結構，可以實現超聲波傳播的自準直效應，并對材料常數和幾何特性對自準直波傳播的影響進行了研究。針對方形柱和圓形柱兩種晶格單胞的情況進行計算，結果表明，陣列結構中波傳播的自準直效應受模量比、密度比等材料性質和截面幾何性質的影響，自準直產生的頻率范圍隨模量比的增加出現先增加后減小的變化趨勢，隨密度比的增加而減小。設置合理的模量比、密度比等材料性質和截面幾何性質，能夠實現對陣列結構中趨勢自準直效應波傳播頻率范圍的控制，等頻線是設計周期性結構陣列自準直效應的重要設計依據。