大學數學課堂活躍度的PID調節分析

陳森　李菲

[摘 要]課堂活躍度調節是課堂管理的重要環節，對教學效果具有關鍵性影響。本文將實際控制工程中最經典的PID控制理念應用于大學數學教學情境改善，討論如何利用PID控制來實現大學數學課堂活躍度的主動調節。該調節方法基于教師的主動觀察，綜合評估當前、過去和未來的活躍度跟蹤誤差信息，通過保守型、增長型和衰弱型三類具體調節手段，實現課堂活躍度的實時調控。

[關鍵詞]課堂活躍度;大學數學;PID控制;控制理論

[中圖分類號] G642.421 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）08-0068-05

一、研究背景

課堂活躍度調節是課堂管理中的重要環節[1-3]。適宜的課堂活躍度是輕松愉快課堂氣氛的前提，是提高學生學習熱情的環境基礎。超過適宜度的課堂活躍度會影響課堂教學效率，甚至破壞課堂教學的基本流程。同時，低迷的課堂活躍度極大地影響學生自主思考與自主學習的動力，形成教師單向輸出的情景，甚至導致長時間課堂沉默[4-5]。

大學課堂教學的受眾是已初步具備獨立思考能力、自主意識較強的大學生[6]。同時，大學課堂講授的知識具有專業性，知識體系龐大，知識內容具有諸多細致且嚴謹的分析推理過程。大學課程具有比中小學課程更大的學習難度。因此，大學課堂活躍度往往表現出兩極分化的情景：在講授學科專業知識時，學生情緒低迷，注意力分散，呈現集體沉默情景;在討論非教學內容話題或引導性內容時，學生興趣高漲，注意力集中，課堂活躍度極高，甚至會出現課堂紀律失控、影響教學課程安排的情況。

在眾多的學科門類中，數學學科的知識體系性強并且體系結構分支繁多。數學學科的知識點具有強抽象性特點，在講授過程中無法避免冗長的邏輯推演與縝密的符號計算[7]。由于數學學科的抽象性特點，數學課堂活躍度的兩極分化現象顯著。如何提供一套理論方法，系統科學地調節課堂活躍度，是數學教學中的一個重要問題。

控制理論與反饋思想在教學系統中的研究已有初步的方法論結果[8]。然而，針對具體的教學系統調控問題，例如課堂活躍度調節，沒有細致具體的反饋設計方法與控制執行手段。本文將立足于實際控制工程中最經典的PID控制理念，設計課堂活躍度的主動調節方法。

二、PID控制簡介

自Watt發明蒸汽機以來，人類改造世界的技術手段不斷革新，并將這一類技術方法抽象化為控制理論。在諸多高深的控制理論中，基于跟蹤誤差的比例-積分-微分（Proportionalintegralderivative， PID）控制具有原理清晰、結構簡單、便于實現的特點。由于PID控制的設計便捷性與實際有效性，現今的諸多實際控制領域均采用PID控制結構，2017年調研結果表示目前過程控制中95%的控制器為PID類型[9]。

經過蒸汽機控制等一系列實際問題驅動與新技術變革，Elmer Sperry于1911年提出PID控制結構，并應用于船舶的航跡與航向控制[10-11]。PID控制的基本思想是利用系統輸出與參考信號的誤差值信號，由其比例值、積分值與微分值的線性組合，形成負反饋的控制輸入信號，進而實現輸出信號跟蹤參考信號的目的。PID控制的基本結構參見圖1。

PID控制具有設計思路直觀、控制器結構簡單、待調節參數少、易于工程實現等優勢。同時，近年來PID控制理論基礎進一步完善，證明了PID控制對于未知非線性動態的強魯棒性[12]，從理論角度解釋了PID控制廣泛的適用性。

三、大學數學課堂活躍度的兩個縮影

大學數學課堂活躍度呈現兩極分化現象，具體表現在對專業理論知識的興趣低迷以及對非教學內容話題或引導式內容的異常活躍。

（一）對專業理論知識的欠活躍現象

大學數學課程內容專業性強，抽象化程度高。同時，教學內容中具有較多的邏輯推演與細致的符號計算。由于大學數學課程的這類內在特點，學生對專業理論知識的理解速度慢、知識點消化時間長，學生集體容易對專業理論知識進入沉默狀態。

下面，以連續函數定義與樣例分析為例，說明數學課堂教學的抽象化程度以及學生欠活躍現象。

老師：下面介紹連續函數的基本定義。考慮函數[f（x）]與[x0∈R]，若對任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學生：（緩慢消化連續函數定義知識點）。

老師：我們用一個連續函數的例子來說明該定義。下面證明二次函數[fx=x2]是逐點連續的。考慮任意給定的[a>0]，我們設[b=mina6|x0|，3a3]，進而計算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3

學生：（消化符號計算過程，理解[b]的選取，緩慢理解連續函數定義與該例證說明過程）。

上述大學數學的教學片段反映了數學專業知識的抽象性以及學生以持續思考與吸收講授內容為主的課堂狀態。這導致課堂活躍度低，學生的主動學習積極性下降，注意力極易分散到與教學無關的內容上，例如電子游戲。

（二）對非教學內容話題或引導式內容的過活躍現象

由于數學課程本身的專業性與抽象性，導致數學課堂教學呈現欠活躍現象。同時，在持續欠活躍狀態下，若授課講師以實例遷移類比、課程思政升華、跨學科知識點聯動等方式，進行對教學內容的進行非正式教學解釋或引導式教學，此時，學生往往表現出較高的活躍性，內在興趣被極大激發，開啟自主獨立思考，進入團體討論模式。然而，數學課堂活躍度的突發式增長，往往造成課堂可控性下降，課堂紀律紊亂，甚至破壞正常教學流程。

下面仍以上一小節中的連續函數定義與樣例分析為例，來說明學生對非教學內容話題或引導式內容的過活躍現象。

老師：下面介紹連續函數的基本定義。首先，同學們看老師手上的這條細繩，整條細繩是連接著的，如果把它平鋪到二維平面上，形成的圖形是連續變化的。連續函數具有一個重要特征，每一段都可以用這條連續繩子代替。

學生：（被道具輔助式教學行為所吸引，注意力集中）。

老師：我們具體給出連續函數的定義。考慮函數[f（x）]與[x0∈R]，若對任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學生：（緩慢消化連續函數定義知識點，進入沉默狀態）。

老師：我們用一個連續函數的例子來說明該定義。下面證明二次函數[fx=x2]是逐點連續的。考慮任意給定的[a>0]，我們設[b=mina6|x0|，3a3]，進而計算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3

學生：（單向接受的邏輯推演與符號計算過程，緩慢理解連續函數定義與該例子）。

老師：同學們再來看我手中的連續繩子，請兩位同學上臺，將其擺成二次函數[fx=x2]的圖像。

學生：（再次被道具輔助式教學方式吸引，躍躍欲試，兩位同學上臺）。

老師：請兩位同學將這條連續繩子擺成二次函數的形狀，下面的同學請注意看該連續繩子的變化。

學生：（非常興奮活躍，課堂活躍度增長;兩位同學順利完成連續繩子的道具演示環節）。

老師：好的，謝謝兩位同學的幫助，請兩位同學歸座。下面，我們繼續介紹連續函數的幾個重要例子以及連續函數的基本性質。

學生：（仍然沉浸在剛才的道具演示環節，互相竊竊私語，注意力難以集中到課堂專業理論知識）。

上述的教學情境表現出：在講授專業理論知識時，非正式教學解釋環節（道具輔助教學）具有增加課堂活躍度、吸引學生課堂注意力的正面作用。同時，過度的引導式教學（學生親身上臺實踐）可能引起學生們的注意力分散，導致學生陷入非正式教學解釋或引導式教學環節的過度吸引狀態，私下相互討論與教學內容無關的話題。這極大影響課堂教學紀律，導致學生對待講授專業理論知識的興趣下降，甚至出現無視教師的課程安排，致使課堂教學無法照常進行。

四、課堂活躍度的PID調節

應用于工程系統的PID控制有如下幾個特點：被控系統為連續系統并且可建模、控制器輸入值具有物理意義、控制參數可數值化、系統輸出可實時量測。然而，在課堂活躍度系統中，課堂活躍度變化動態無法建模、無法采用設備儀器實時測量活躍度、活躍度調節手段無法連續化與數值化等特點均導致了活躍度調節的困難性。本節將從上述的困難點切入，討論基于PID控制的大學數學課堂活躍度調節方法。

（一）課堂活躍度實時量測

課堂活躍度的實時測量是反饋控制設計的前提條件。盡管目前已有采用視頻分析技術研究問答互動等課堂行為的方法[13]，但仍停留在離線處理階段，無法做到實時監測與分析。目前市場上還缺少成熟的課堂活躍度檢測設備，無法實時獲得課堂活躍度的數值化評估值。實時量測量的缺失對設計活躍度調節方法帶來了挑戰。

目前，在授課過程中，課堂活躍度的量測工作由授課教師發揮主觀能動性，基于眼、耳等人體基本傳感器，利用對話、提問、觀察等方式，最后借助個人經驗來判斷目前的課堂活躍程度。

從控制理論角度，這種測量方式是帶有量測噪聲、量測時延的。本文不再進一步探討量測的有效性以及量測濾波等問題。下文將在教師自主量測的基礎上，進一步討論活躍度的PID控制設計。

（二）課堂活躍度誤差以及微分項、積分項分析

跟蹤誤差信號是PID控制的核心概念。同時，針對誤差信號的微分運算與積分運算是PID實現中的兩個重要計算過程。下面就針對課堂活躍度動態系統，具體討論上述概念。

在課堂活躍度動態系統中，定義活躍度誤差信號為[E（t）?Y（t）-R（t）]，其中[t]為當前時刻，[Y（t）]為教師自主量測的課堂活躍度，[R（t）]為課堂活躍度的最佳值。由于不同教學主題的課堂最佳活躍度不同，甚至同一節課的不同環節也會有不同的最佳活躍度，因此[R（t）]為一個隨課程主題、課程內容和課程進度變化的時變值。與課堂活躍度的測量值類似，目前僅能依靠教師自主判斷當前課堂的最佳活躍度，無法采用設備儀器自動測算其具體數值。

基于活躍度誤差信號的定義，可得其微分值[E（t）]與積分值[0tE（s）ds]。由于目前無法采用設備量化課堂活躍度動態系統中的活躍度誤差，因此其微分值與積分值也無法具體量化。但是從微分與積分的數學內涵出發，可定性地分析活躍度誤差微分信號與積分信號的意義：

1）活躍度誤差微分信號表示當前活躍度誤差的變化情況，這個值與活躍度誤差的具體取值無關。微分值可預測下一步的課堂活躍度變化走勢。例如：學生群體由于非正式教學話題處于活躍狀態，但是其活躍度隨時間下降，活躍度誤差的微分值為負數，并且課堂活躍度曲線的走勢為逐漸降低。

2）活躍度誤差積分信號表示活躍度誤差隨時間的累積值，表現了已過去時間中的課堂活躍度。例如：在前幾次課堂教學中或本次教學的前幾部分中，某班級學生群體體現出活躍度低下，注意力渙散的情況，那么活躍度誤差積分信號為多次負值誤差信號的累積。

根據活躍度誤差微分值與積分值的基本意義討論，教師可自主結合課程內容、課堂環境等因素，推斷目前的微分值與積分值信號大小。

（三）課堂活躍度的PID控制量

基于上述的課堂活躍度誤差信號及其微分值與積分值，根據PID控制的基本原理可設計課堂活躍度調控輸入[Ut=-kpEt-kdEt-ki0tE（s）ds]，其中[Ut]表示當前時刻教師需要主動制造的課堂活躍度要素大小，正數[kp]，[kd]和[ki]分別為比例、微分、積分反饋增益系數。注意到，當[Ut<0]時，表示教師應當減少目前課堂中的活躍度要素，從而降低當前課堂的活躍度;當[Ut>0]時，表示教師應當增加目前課堂中的活躍度要素，增加當前課堂的活躍度。課堂活躍度的PID調節利用了當前課堂活躍度信息（[Et]）、未來課堂活躍度預測信息（[Et]）和過去課堂活躍度信息（[0tE（s）ds]）。比例、微分、積分反饋增益系數表示教師對三種信號的組合加權與綜合評估過程。

所設計的PID調節控制量是連續取值的，然而目前難以量化控制值與實際教學方式的關聯，并且在課堂教學中實現連續地控制是十分困難的。因此，該理論方法在當下的實踐中，僅能靠切換教學手段與方式，在離散意義下實現PID控制調節。下一小節將討論三類能夠改變課堂活躍度的具體方法。

（四）課堂活躍度PID調節的具體方法

針對不同學科的教學內容與不同專業背景的學生群體，增加或減少課堂活躍度的教學手段與方法會有差異。在不同學科的教學過程中，同一個教學方式甚至會引發截然相反的課堂活躍度變化。下面，針對大學數學課堂教學，討論調節課堂活躍度的三類方法：保持型、增長型和衰弱型。

1）保持型：保持當前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于舉例說明、輔助畫圖說明、推論說明。

2）增長型：增加當前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于道具輔助教學、實事聯動教學、跨學科聯動教學、主動問答。

3）衰弱型：減少當前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于長篇的邏輯推演、艱深專業知識點講解、紀律整肅、敘事式說理。

結合上一小節所述的課堂活躍度PID調節控制量，教師在授課過程中可根據本節中討論的具體方法來調節課堂活躍度。

綜上，課堂活躍度的PID調節方法結構如圖2所示。利用教師自主觀測的當前活躍度信息以及目前的最佳活躍度參考值，計算活躍度誤差信號;進一步，然后根據以往的誤差信息，獲得其微分值與積分值，從而綜合分析當前、過去與未來的誤差信號信息，得到PID控制量;最終利用三類主動調節手段，實現活躍度系統的PID控制輸入。

五、案例分析

下面，以第3節中討論的連續函數定義與樣例分析的教學過程為例，說明課堂活躍度PID調節的具體實施過程。

初始課堂活躍度在最佳值附近，老師開始授課。

老師：連續函數，顧名思義，表示函數值隨著自變量變化不會產生跳躍性或者間斷性的改變。（概念性簡介——保持型）

學生：（吸收連續函數的概念性介紹）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度保持在參考最佳值附近;經過綜合評估，可順利進行下一步教學內容。

老師：我們給出連續函數的具體定義：考慮函數[f（x）]與[x0∈R]，若對任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學生：（緩慢消化連續函數定義知識點，部分學生興趣度下降）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度開始下降;經過綜合評估，采用增強型方法提升課堂活躍度。

老師：我們用一個連續函數的例子來說明該定義。最簡單的二次函數[fx=x2]是連續函數，這是符合直觀感受的。那么如何從定義出發來證明這個二次函數是連續的？（主動問答——增強型）

學生：（開始把注意力轉向思考該問題;課堂活躍度開始回升）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度開始回升。雖然活躍度誤差為負值，但其微分值為正值，經過綜合評估，可進行下一步教學內容，采用思路介紹的方法，逐步引入。

老師：從連續函數的定義中可以看出[b]的存在性是一個關鍵問題。由于函數形式已知，我們嘗試用計算的辦法來給出[b]的具體取值。（思路介紹——保持型;將衰弱型的邏輯推演過程轉化為多個保持型過程，利于課堂活躍度的調節）

學生：（理解選取[b]的意義，開始思考如何計算[b]）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度保持在最佳參考值附近;經過綜合評估，采用拆分法分解冗長的邏輯推演過程，利于學生逐步理解知識內容。

老師：首先我們計算當[x∈[x0-b， x0+b]]時，[fx-f（x0）]的上界。結合三角不等式，可得[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2。]（邏輯推演——衰弱型;由于將冗長的推演過程拆分，減少了課堂活躍度的衰減程度）

學生：（理解該不等式的推理過程）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度開始下降。此時，活躍度誤差及其微分、積分值均為負值，經過綜合評估，需要進一步具體分解邏輯推演過程，防止課堂活躍度過低。

老師：我們想要不等式的右端小于[a]，一個簡單的想法就是不等式右端的每一項都小于等于[a3]。因此，我們得到一種的[b]選取方法[b=mina6|x0|，3a3]。（邏輯推演——衰退型）

學生：（理解接受[b]值的由來，并且明白[b]值選取的基本要求）。

老師主動觀察課堂活躍度：活躍度進一步下降。此時，課堂活躍度有過低的風險，經過綜合評估，采用主動問答方法，進一步確認課堂活躍度，并激發課堂互動。

老師：基于上面的討論，考慮任意給定的[a>0]，我們設[b=mina6|x0|，3a3]，此時是不是有[fx-f（x0）≤2a3

學生：對（消化了整體推演與計算邏輯，主動回答教師提問;課堂活躍度回升）。

在上述課堂教學過程，要求教師實時自主評估當前課堂活躍度與最佳參考值之間的差距，通過保持型、增長型和衰弱型三類調節方法，實現課堂活躍度的實時調節，同時完成既定的教學任務與目標。

六、結語

本文從工程控制中的經典方法PID控制出發，討論了大學數學課堂活躍度PID調節。通過具體地分析課堂活躍度誤差信號及其微分值與積分值，建立活躍度PID調節控制規律。進一步，簡述了三類調節課堂活躍度的方法，并且以連續函數教學為例，分析活躍度的PID調節方法。

由于目前科學測量與標定課堂活躍度的手段欠缺，本文僅從基本概念、方法論的角度給出了課堂活躍度PID調節的設計與實施過程。下一步的研究工作將聚焦到課堂活躍度動態系統的量化分析以及控制器的數值性處理。

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[責任編輯：林志恒]