追本溯源：理解等號的含義

蒲小麗

【摘? ?要】等號是數學領域中一個極其重要的符號，它既是表示得出運算結果的符號，也是表示等價關系的符號。很多時候，等號的這兩種含義相伴相隨，不需要明確區(qū)分。但在有余數的除法算式中，等號只表示得出運算結果，卻不表示等價關系。在教學中可以讓學生獨立計算，引發(fā)認知沖突以及進行推理驗證，先逆推驗算結果，再說清道理，從而理解等號的含義。

【關鍵詞】小學數學;等號;等價關系;帶余除法

在小學數學中，學生是在一年級的“比較”當中第一次接觸等號的。在這節(jié)課上，學生要體會到：兩個量的多少關系可以分為兩類，一類是相等關系，可以用等號表示，另一類是不相等的關系，可以用大于號或者小于號表示它們之間的關系。之后，學生開始在運算中使用等號，如3+4=7，這個時候大部分師生都把等號看作是得出運算結果的符號。接著，學生還會遇到下面幾種類型的練習，如：（1）7=□+□;（2）把1，2，3，4這四個數分別填在□里，□+□=□+□等。經過這些練習，學生逐步認識到等號還可以連接值相等的式子，即表達等價關系。

學生在二年級下學期學習帶余除法之前，遇到的等號都可以看作是在表達“等價”關系（如3+4=7，可以看作是在表達3個和4個合起來，結果是7個，這時等號表示的是“得出”，但同時3+4=7也可以看作是在表達3個和4個合起來，與7同樣多。這時就是在表達等價關系）。可是帶余除法中的“=”只表示“得出”，不表示“等價”，這和學生腦海中熟悉的等號兩種含義的“兩位一體”有區(qū)別，大部分師生都沒有認識到這點。在今后很長的一段時間里，學生即使沒有認識到帶余除法中的“=”不表示“等價關系”，也不會有麻煩。直至到四年級上學期學習了“商不變的規(guī)律”后，學生的困惑就出現(xiàn)了。

比如，求解90÷40，有的學生用已掌握的列豎式的方法計算后，得到的商是2，余數是10，也就是90÷40=2……10（以下簡稱為算法1），也有學生運用商不變規(guī)律，被除數和除數都除以10，得到9÷4，然后再計算得到的商是2，余數是1，也就是90÷40=2……1（以下簡稱為算法2）。如果教師引導學生交流討論，會發(fā)現(xiàn)多數學生都知道只有算法1是正確的，因為算法2中的余數是1，和算法1中的余數不一樣，所以算法2是錯的，但是他們又模模糊糊地感覺到，根據商不變性質，算法2似乎也有道理，所以他們弄不清楚算法2到底哪里出錯了。

那么算法2究竟錯在哪兒？學生為何難以理解錯誤原因？教師應該如何進行有針對性的教學？下面將分別從數學分析、認知分析、教學分析、教學反思四個方面對此進行探討。

一、數學分析

先從數學的角度看看如何理解等號的含義，如何理解帶余除法。

等號有兩方面的含義，一方面，它是表示得出運算結果的符號;另一方面，它也是表示等價關系的符號。作為得出運算結果的符號比較好理解，不展開討論，這里主要討論等號作為表示等價關系的含義。當等號表示等價關系時，它具有以下三個性質：（1）反身性。也就是自己等于自己，即a=a。（2）對稱性。意思是等號兩邊的數或者量互相交換位置后，等式仍然成立。即如果a=b，那么b=a。（3）傳遞性。也就是如果a=b，b=c，那么a=c。

再來看看什么是帶余除法。對于一對整數a，b（b≠0），存在唯一確定的整數q和r滿足：a=bq+r，0≤r

當r=0時，在整除的情況下，a=bq。令被除數和除數都乘相同的數m（m≠0），得am=（bm）q，商仍為q;令被除數和除數都除以相同的數m（m≠0），得[am=bmq]，商仍為q不變。這是商不變的數學原理。

當r≠0時，被除數和除數都除以相同的數10，則[a10=b10q+][r10]，商仍為q，但是余數[r10]僅為原式中r的[110]。即上述等式中等號兩邊都除以10，得到9=4×2+1，新得到的余數1應當乘10才是90÷40真正的余數。故若要使用簡便運算的方法，不能將被除數和除數都除以相同的數，把所得的新的帶余除法算式的余數作為原來算式的余數。

現(xiàn)在，我們來看，小學階段講的帶余除法算式a÷b=q ……r中的“=”，它并不能表示等價關系，因為帶余除法中的“=”并不滿足等號表示等價關系時的三個性質。

1.不滿足反身性和對稱性。如9÷4=2……1，不能寫成2……1=9÷4。

2.不滿足傳遞性。如9÷4=90÷40，9÷4=2……1;但90÷40≠2……1。

也就是說，帶余除法中的“=”不表示等價關系，在這里，等號只是表示得出運算結果的符號。

二、認知分析

學生的疑惑和教師的困惑，還可以從認知的角度去理解和分析。學生的學習過程往往會受到他原有知識基礎的影響。學生在學習帶余除法之前，遇到的等號表示“得出”和表示“等價”并沒有明顯的區(qū)分。比如算式5+3=8中，一方面，可以把8看成是5+3得出的結果，同時，5+3和8也具有等價的關系，所以在前面的學習當中，表示“得出”和表示“等價”關系的等號同時存在，在學生的頭腦中它們是兩位一體的，因此學生不會去區(qū)分這兩者之間的區(qū)別。

當學生遇到帶余除法中的等號，以為帶余除法中的“=”也是既表示“得出”，又表示“等價”，這是很正常的現(xiàn)象。因為在學生的學習經驗中，并沒有遇到過不同，所以學生也就不會去判斷遇到的“=”是不是表示“得出”或者是不是表示“等價”，這符合學生的認知規(guī)律。

三、教學分析

根據前面的分析可知，學生存在困惑符合他們的認知規(guī)律，但數學上等號的這兩種含義又有所區(qū)別。因此，在教學中要想讓學生理清這兩者之間的關系，就需要關注等號兩種不同含義的辨析。具體可以采用如下教學過程。

（一）獨立計算，引發(fā)認知沖突

1.教師呈現(xiàn)問題“90÷40=”請學生獨立計算。

2.交流計算方法與結果。

在學生計算得出2……1和2……10兩種不同結果時，教師追問：“你是怎么想的？”讓學生充分展示自己的方法和思考過程，再追問：“他說的有道理嗎？”引出問題，形成認知沖突，引起學生的求知欲。

（二）推理驗證，逆推驗算結果

1.教師提示：順向看，兩種方法都有道理，如果想驗證到底哪個結果正確，可以采用代入法擬推驗證結果。

2.學生驗算兩個結果，得出40×2+10=90，結果正確，40×2+1=81，說明結果錯誤。

（三）說清道理，理解等號含義

1.請學生觀察并思考：6÷3=8÷4可以寫成8÷4=6÷3，90÷40=2……10，你會寫成2……10=90÷40嗎？為什么？

2.通過討論使學生明確8÷4=6÷3，等號兩邊可以交換位置，表達的是“等價關系”，而90÷40=2……10，等號表達的是2……10是計算90÷40得到的結果，是對結果的一種記錄方法。

3.引導學生體會90÷40=2……10，2……10是計算90÷40得到的結果的一種表示方式。如果90÷40除數和被除數同時縮小10倍，商2不會發(fā)生變化，但余下的部分也會隨著除數和被除數的變化發(fā)生變化，也就是說余數10也要縮小10倍。

4.練習應用。

四、教學反思

其實在教學中，經常會遇到一些學生的錯誤，有些錯誤具有個性特點，也有些錯誤具有共性特征。比如對帶余除法和帶余除法中“=”的理解問題，它不受時間和地區(qū)的限制，總會發(fā)生。城市里的學生有這樣的問題，鄉(xiāng)鎮(zhèn)里的學生也有這樣的困惑，五年前教的學生學到這里有這樣的疑問，今天的學生學到這里也產生這樣的迷茫。當教師遇到這樣的問題時，要養(yǎng)成一種去追問、去深入思考的習慣，要弄清楚到底是哪里出了問題。追問的時候既要從數學知識本身出發(fā)，也要從學生的認知角度去考慮。在厘清問題產生的緣由以后，有針對性地進行教學，才會真正幫助學生不但知其然，更知其所以然。

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（浙江省杭州市長青小學? ?310004）