如何研究一節(jié)課的數(shù)學(xué)教材？

深入開展一節(jié)課的教材研究

整本或整套教材主要由一節(jié)課一節(jié)課的教材組成，開展一節(jié)課的教材研究十分重要。浙江省特級教師、正高級教師朱樂平帶領(lǐng)一課研究團(tuán)隊(duì)，對如何開展一節(jié)課的教材研究做了多年的探索。本期話題選擇了朱老師及其團(tuán)隊(duì)的一組文章，這組文章闡述了一線教師如何研究一節(jié)課教材的方法以及多個研究的樣例，以期讓讀者能夠進(jìn)一步關(guān)注教材研究，總結(jié)提煉研究方法，分享研究成果，促進(jìn)研究的不斷深入。

【摘? ?要】對一節(jié)課的數(shù)學(xué)教材研究可以做多套教材的比較研究，也可以做單一教材的研究。在比較研究中，可分縱向、橫向比較研究。無論是做比較研究或單一教材的研究，都可以做純文本研究，也可以對學(xué)生或教師進(jìn)行測試或調(diào)查，做這一類實(shí)證研究。不難看出，不斷提出問題和解決問題會讓研究深入。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);乘法分配律;教材研究

教材是重要的課程資源。教材研究不僅是教材編者的事，一線教師要上好一節(jié)課，同樣需要研究教材。想要進(jìn)行專題研究也可以選擇一節(jié)課的教材展開。這里的“一節(jié)課的教材”是指為了教學(xué)新知識編寫的新課部分和練習(xí)部分的教材。本文試圖從一線教師的實(shí)際出發(fā)，闡述如何研究一節(jié)課的數(shù)學(xué)教材，以期與同行交流探討。

一、多套教材的比較研究

（一）什么叫多套教材的比較研究

一節(jié)課的數(shù)學(xué)教材一般可以分成正文與練習(xí)（習(xí)題）兩個部分，正文主要是指例題以及與例題相對應(yīng)的引導(dǎo)與解答。多套教材的比較研究是指根據(jù)同一節(jié)課（或稱同一個知識點(diǎn)的教學(xué)），至少選擇兩套教材，對其正文部分或練習(xí)部分進(jìn)行比較研究。通過比較教材之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，也就是研究它們的異同，從而得到對教材編寫或?qū)虒W(xué)活動的啟示和建議。

（二）選擇哪些維度對多套教材進(jìn)行比較研究

要對教材進(jìn)行比較研究，需要確定一些維度，這些比較的維度也稱為比較研究的分析框架。已經(jīng)有許多大學(xué)學(xué)者進(jìn)行過小學(xué)數(shù)學(xué)教材的比較研究，發(fā)表過許多研究成果。這些成果中就有比較的維度，有如何進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較的分析框架，這些成果一線教師可以直接借鑒。比如，宋運(yùn)明等人[1]提出了以下從8個維度對教材例題進(jìn)行比較研究的分析框架：知識領(lǐng)域、情境傾向、情境類型、有無插圖、有無點(diǎn)撥、啟發(fā)方法、思路方法、其他事項(xiàng)。張文宇等人[2]又在宋運(yùn)明老師研究成果的基礎(chǔ)上，提出了從“情境類型、表征形式、有無點(diǎn)撥及點(diǎn)撥類型、啟發(fā)方法、解題方法的多樣化、回答方式”6個方面來研究例題的編寫特征。一線教師可以根據(jù)某一節(jié)課教材的特點(diǎn)并借鑒上述成果，建立自己的分析和研究框架。

在上述研究維度的基礎(chǔ)上，一線教師還可以把“教材設(shè)計(jì)是不是方便課堂中師生的操作”作為一個研究維度（可以稱為“操作性”維度）。比如，有一套教材[3]在編寫四年級“乘法分配律”的教學(xué)內(nèi)容時，提供了以下問題情境（如圖1），讓學(xué)生計(jì)算兩扇屏風(fēng)一共有多少塊玻璃。教材編寫的意圖是：可以左右兩扇屏風(fēng)一扇一扇的計(jì)算玻璃塊數(shù)，也可以兩扇屏風(fēng)一起算塊數(shù)，這樣就可以得到一個等式12×5+9×5=（12+9）×5，進(jìn)而為觀察、發(fā)現(xiàn)乘法分配律奠定基礎(chǔ)。這樣的教材設(shè)計(jì)思路不錯，但當(dāng)考慮到課堂中師生的操作時，就有了問題。根據(jù)圖示，要列出正確算式的前提是學(xué)生必須正確數(shù)出一行有多少塊玻璃，有多少行。由于是“實(shí)物圖”，這個數(shù)數(shù)的過程學(xué)生極易發(fā)生錯誤。事實(shí)上，學(xué)生“很容易數(shù)錯”并非只是我們的主觀推測，調(diào)查結(jié)果也已經(jīng)驗(yàn)證了這一點(diǎn)。雖然數(shù)的過程也有價值，但與讓四年級學(xué)生觀察得出算式相比，就不必在數(shù)數(shù)中設(shè)置障礙了。可見，從進(jìn)入課堂操作的角度來說，這不是一個好的情境圖。又如，“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”這樣的內(nèi)容，同樣是讓學(xué)生理解把一張紙平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份，如果有一套教材要求學(xué)生動手操作，把一張長方形的紙平均分成8份，表示這樣的3份。而另一套教材也要求學(xué)生動手操作，把一張長方形的紙平均分成7份，表示這樣的3份。由于學(xué)生把紙等分成8份比等分成7份要方便，雖然等分成7份也有教學(xué)價值，但從課堂操作方便性的角度來說，前一套教材的設(shè)計(jì)更好。也就是說，在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同、要達(dá)成的目標(biāo)也基本相同的前提下，教材在編寫時要注意給師生提供較為方便的課堂操作內(nèi)容。

（三）對多套教材進(jìn)行比較研究有哪些類型

對多套教材進(jìn)行比較研究可以分成縱向比較研究與橫向比較研究兩類。

1.縱向比較研究

教材的縱向比較研究是指比較研究同一節(jié)課不同歷史時期教材的異同，在異同的比較中，得到啟示或建議。小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，雖然會隨著歷史的發(fā)展動態(tài)地發(fā)生變化，但有許多知識是相對不變的。比如，人民教育出版社（以下簡稱人教社）1959年出版的高級小學(xué)課本《算術(shù)》第一冊（暫用本）中有乘法分配律這一內(nèi)容，人教社2014年出版的《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（四年級下冊）》中也有這一內(nèi)容。這樣我們就可以對乘法分配律這一節(jié)課的教材作縱向的比較研究。研究這節(jié)課在不同歷史時期的教材中是如何編寫的，各有什么特點(diǎn)，它們的異同對我們今天的教材編寫與教學(xué)活動會有什么啟示和建議。

2.橫向比較研究

教材的橫向比較研究是指對同一時期出版的不同版本的教材進(jìn)行比較研究。在做橫向比較研究時，可以只對多套教材中的正文部分進(jìn)行比較，也可以只對多套教材中的練習(xí)部分進(jìn)行比較。在練習(xí)的比較中，關(guān)于“習(xí)題難度比較研究”是一線教師比較容易做到的。在比較習(xí)題難度時，需要建立一個習(xí)題難度的分層次標(biāo)準(zhǔn)，也就是把我們平時所說的哪些習(xí)題比較容易或比較難，進(jìn)行一個更為客觀的描述，把不同難度的習(xí)題分成水平一、水平二等不同的水平等級。建立了各水平層次的衡量標(biāo)準(zhǔn)后，可以從數(shù)量和質(zhì)量兩個方面對教材中的習(xí)題進(jìn)行分層次研究，最后得到啟示與建議。這樣的研究成果分享后，有利于教材編寫者更好地編寫教材，執(zhí)教者更好地用教材教學(xué)。

無論是做縱向比較研究，還是做橫向比較研究，都可以運(yùn)用不同教材提供的文本，對學(xué)生、教師做一些測試、訪談或調(diào)查等實(shí)證研究。這樣可以在原來憑經(jīng)驗(yàn)、憑理論、憑思辨判斷的基礎(chǔ)上，增加用數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷的維度，使得出的結(jié)論更科學(xué)，建議更具體。比如，乘法分配律這一內(nèi)容，在人教社1989年和2014年出版的兩版教材中，開頭都是一個應(yīng)用題（問題情境），1989年版的教材是求4套課桌椅的總價，2014年版的教材是求25個小組的總?cè)藬?shù)。在這兩個問題情境中，哪一個情境圖更有利于學(xué)生得出乘法分配律，或者說哪一個情境更好，可以憑經(jīng)驗(yàn)或思辨進(jìn)行判斷，但如果再增加測查數(shù)據(jù)，就會使得出的結(jié)論更科學(xué)。要進(jìn)行優(yōu)劣判斷，就要根據(jù)這個情境承擔(dān)的功能，先建立“好的”標(biāo)準(zhǔn)：（1）能夠獨(dú)立正確解決這個應(yīng)用題的學(xué)生數(shù)要多一些;（2）因?yàn)橄Ｍ玫筋愃疲?0+5）×4=10×4+5×4這樣的算式，而左右兩邊實(shí)際上是用兩種不同的方法解決同一個問題得到的，所以能夠用不同方法解決同一個問題的學(xué)生數(shù)要多一些;（3）學(xué)生與教師喜歡的程度要高一些。而后再選擇兩個無顯著性水平差異的班級，讓學(xué)生分別獨(dú)立去解決上述兩個問題，正確率如何？用兩種不同方法解決同一個問題的學(xué)生數(shù)是多少？教師與學(xué)生更喜歡哪一個版本？理由是什么？這些問題都可以通過測試、問卷調(diào)查和訪談得到回答，進(jìn)而可以更好地研究各版本教材的特點(diǎn)，甚至優(yōu)劣。

眾所周知，好教材有利于教師的教和學(xué)生的學(xué)。研究哪一個版本的教材學(xué)生的自學(xué)效果比較好，也是教材研究的一個維度。研究路徑可以粗略地描述為：（1）前測，確定水平相當(dāng)?shù)膬蓚€班;（2）兩個班的學(xué)生分別自學(xué)不同版本的教材;（3）后測，比較自學(xué)后的水平;（4）讓學(xué)生寫一寫在自學(xué)中，覺得教材哪些地方不太看得懂，哪些地方有點(diǎn)難;（5）把兩版教材提供給同一個班的學(xué)生，讓他們選擇更喜歡哪一版教材，并寫一寫理由。完成上述工作后，再對學(xué)生的自學(xué)效果與喜歡程度等做定量與定性的分析，寫出研究結(jié)果并分享，能夠給教材編寫者與執(zhí)教者以啟示。

二、一套教材的分析研究

對一套教材中某一節(jié)課的分析與研究，通常有以下兩種類型。

（一）在整體視角下，對一節(jié)課的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析研究

一節(jié)課的教材常常不是孤立存在的，它是整個單元或整套教材的一部分，從整體的視角出發(fā)研究一節(jié)課的教材，就會有“全局觀”或“整體觀”。所以在研究一節(jié)課的教材時，需要分析這一節(jié)課的教材在整個單元或整個教材體系中的地位與作用，看一看這節(jié)課教學(xué)的知識點(diǎn)的“來龍去脈”。比如，研究“乘法分配律”這節(jié)教材，它不但是“運(yùn)算律”這個單元的一部分，而且這個知識點(diǎn)，在整套教材中都有滲透和應(yīng)用。可以在整套教材的研究視角下，看“乘法分配律”的“前世今生”。通過梳理會發(fā)現(xiàn)，在沒有學(xué)習(xí)乘法分配律以前，教材中已經(jīng)有很多地方應(yīng)用了乘法分配律。比如，有教材把乘法分配律的新課教學(xué)放在四年級，但在二、三年級學(xué)習(xí)一位數(shù)、兩位數(shù)乘法時，已經(jīng)多次應(yīng)用乘法分配律來說明算理。這種多次“未學(xué)先用”的情況非常特殊，需要編者和執(zhí)教教師引起足夠的重視。通過這樣的研究也進(jìn)一步引出一個可以更深入研究的問題：是不是可以在二、三年級教學(xué)乘法分配律？我們的研究表明這是可行的。

在整體觀念下，可以提出與這節(jié)課教材整體上相關(guān)的問題，并做更深入的研究。比如，學(xué)習(xí)了乘法分配律后，可以提出問題：學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法對加法的分配律后，他們會自覺地遷移到乘法對減法的分配律嗎？在整數(shù)范圍內(nèi)得出的乘法分配律，學(xué)生會遷移到小數(shù)和分?jǐn)?shù)中嗎？乘法對加法存在著分配律，有多少學(xué)生會認(rèn)為除法也存在著分配律？對這些問題可以做進(jìn)一步的深入研究。比如，關(guān)于“除法是不是有分配律”的教學(xué)，可以設(shè)計(jì)以下問卷（如圖2）對學(xué)生進(jìn)行測試和訪談。在測試與訪談的基礎(chǔ)上，分析學(xué)生的認(rèn)知水平。

（二）在局部視角下，對一節(jié)課的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析研究

在分析研究一節(jié)課的教材時，不但要有“整體觀”，而且要有“局部觀”。這里的局部觀是指要對教材中的每一個部分進(jìn)行仔細(xì)的研讀，使得思考不斷深入。對教材的“局部”可以從以下兩個方面入手進(jìn)行深入研究。

1.不斷提出問題

要使自己的思考不斷深入，可以采用提問的方法，即面對教材一個又一個的局部，不斷地提出問題，也可以不斷嘗試憑經(jīng)驗(yàn)或?qū)嵶C去解決問題，提出問題與解決問題的過程，會使思考深入。這樣的研究無論對教材的編寫，還是對教學(xué)的設(shè)計(jì)都將是十分有益的。比如，人教版教材在編寫“乘法分配律”這一內(nèi)容時呈現(xiàn)了“小學(xué)生植樹”的問題情境圖。在情境圖下方，用“對話”的形式給出了兩條信息：“一共有25個小組，每組里4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹。”“每組要種5棵樹，每棵樹要澆2桶水。”在這兩條信息的下面給出一個問句：“一共有多少名同學(xué)參加了這次活動？”面對這個局部，可以提出以下問題。

（1）學(xué)生看到這樣的信息，能夠由條件和問句組成數(shù)學(xué)問題嗎？能夠正確選擇條件與問句進(jìn)行匹配的學(xué)生數(shù)是多少？占全體學(xué)生的百分比是多少？

（2）有多少學(xué)生受到了“每組要種5棵樹，每棵樹要澆2桶水”這一信息的干擾？這些學(xué)生組成的問題是怎么表達(dá)的？

（3）在回答“一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動”這個問題時，學(xué)生需要列式計(jì)算。有多少學(xué)生用分步式？比如，列式計(jì)算的過程是25×4=100，25×2=50，100+50=150。有多少學(xué)生能夠列出綜合算式？

（4）教師是希望學(xué)生列分步式，還是列出綜合算式解決這個問題？如果題目中增加“要求列綜合算式解決”是不是列綜合算式的學(xué)生數(shù)會增加？如果會，會增加多少？增加的學(xué)生是能力比較強(qiáng)的，還是能力比較弱的？原因是什么？

（5）在解決這個問題時，可以用兩種方法解決：方法一：25×（4+2）=150;方法二：25×4+25×2=150，用方法一、方法二的學(xué)生數(shù)各是多少？在實(shí)際教學(xué)中，當(dāng)用方法一、方法二的學(xué)生數(shù)各占多少比例時比較理想？

（6）同時運(yùn)用方法一和方法二，也就是運(yùn)用了兩種方法解決問題的學(xué)生數(shù)是多少？如果增加“要求用兩種方法計(jì)算”這樣一個要求，用兩種方法解決問題的學(xué)生數(shù)是不是會增加？如果是，會增加多少比例？增加的學(xué)生是能力比較強(qiáng)的，還是比較弱的？

（7）能夠正確列出算式的學(xué)生中，有多少知道算式中每一個數(shù)的含義？每一步計(jì)算解決了什么問題？不能正確列出算式（包括沒有列出算式和列出錯誤算式）的學(xué)生的主要困難是什么？比如，有沒有學(xué)生把“4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹”理解成“4個人挖坑，4個人種樹”？

（8）有多少學(xué)生能夠根據(jù)兩個等式25×（4+2）=150，25×4+25×2=150，得出一個新的等式25×（4+2）=25×4+25×2？有多少學(xué)生能夠用“因?yàn)椤浴边@樣的表達(dá)方式陳述得到一個新等式的推理過程？

（9）讓學(xué)生列出具有乘法分配律樣子的等式：①25×（4+2）=25×4+25×2;②25×4+25×2=25×（4+2）時，有多少學(xué)生列的是①式？有多少學(xué)生列的是②式？

（10）讓學(xué)生觀察具有乘法分配律樣子的等式時，是①式更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是②式更容易？理由是什么？

（11）以上這些問題，教師是如何回答的？他們的回答與學(xué)生的實(shí)際情況“吻合”程度如何？

從理論上說，可以對教材的每一個局部內(nèi)容提出類似于上面這樣的問題，在這些問題中，有些是教材編寫者特別要注意的，有些是執(zhí)教者要特別關(guān)注的。有了這些問題，我們也就有機(jī)會選擇自己感興趣的部分問題做更為深入的研究。

2.通過測試、訪談或問卷調(diào)查解決問題

解決由教材提出的問題有多種途徑，可以憑經(jīng)驗(yàn)解決，可以找理論解決，也可以對學(xué)生、教師做測試、訪談或問卷調(diào)查，通過實(shí)證研究解決問題。比如，青島出版社出版的《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（四年級下冊）》在編寫乘法分配律這一內(nèi)容時，要求學(xué)生根據(jù)情境提出問題（如圖3）。

這是教材的一部分，可以對這個局部進(jìn)行深入研究。如可以研究：根據(jù)這個情境，學(xué)生會提出什么問題呢？提出的問題與乘法分配律有關(guān)嗎？有多少比例的問題與乘法分配律相關(guān)？與乘法分配律相關(guān)的問題，學(xué)生有能力解決嗎？等等。可以帶著這些問題對學(xué)生做測試，并對測試的結(jié)果進(jìn)行分析;還可以在教師中進(jìn)行調(diào)查，讓教師寫一寫學(xué)生可能會提出哪些問題，再對教師認(rèn)為學(xué)生可能提出的問題進(jìn)行分類，與學(xué)生實(shí)際提出的問題進(jìn)行比較，看一看“吻合”程度。帶著問題走向?qū)嵶C研究，在與學(xué)生和教師的交流中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)一步去研究和解決問題，這就是“教學(xué)研究在深入”。

應(yīng)該說，憑經(jīng)驗(yàn)、憑理論、憑思辨解決問題都很重要，但僅有這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，如果可能，還需要對學(xué)生和教師進(jìn)行測試、訪談或問卷調(diào)查，做這樣的實(shí)證研究后，我們對教材的研究就會更加客觀深入。

綜上所述，在對一節(jié)課的教材進(jìn)行比較研究時，需要建立研究的分析框架，根據(jù)分析框架對教材做縱向或橫向比較研究。對一套教材進(jìn)行研究時，可以從整體視角出發(fā)弄清這節(jié)課的地位與作用，梳理知識線索，從而獲得啟示與建議。提出問題會讓思考更深入，帶著問題對學(xué)生或教師做一些測試分析，做問卷調(diào)查或訪談研究，在與學(xué)生和教師交流的過程中，又可能發(fā)現(xiàn)新的問題。這種實(shí)證研究的方法更加尊重事實(shí)，強(qiáng)調(diào)精確，推崇理性和邏輯，也會進(jìn)一步提升教師的經(jīng)驗(yàn)與理論水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋運(yùn)明，李明振，李鵬，等.小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題編寫特點(diǎn)研究[J].課程·教材·教法，2014，34（2）.

[2]張文宇，張守波.海峽兩岸小學(xué)數(shù)學(xué)教材分?jǐn)?shù)內(nèi)容例題的比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（3）.

[3]趙杏梅.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級下冊[M].石家莊：河北教育出版社，2012.

（浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院? ?310003）