解題中的“比”

【摘? ?要】解題是數學教與學的重要內容和活動。解題教學中經常采用的思路是從未知找已知、從已知算未知，這樣的思路將“算”視為解題的核心活動。事實上，解題過程是復雜的思維過程，如果將“關系”的眼光融入解題教學，可以生成更多并且更加簡捷的解題方法。同時，可以讓學生經歷看、想和做的過程。

【關鍵詞】關系;解題;比;比例;正比例;反比例

數學課程內容中的“比（Ratio）”至少有兩種意義，一種是“計算”的理解，把比視為除的運算;另一種是“關系”的理解，把比視為數或量之間的關系。[1]解題過程中，兩種理解會導致不同的解題思路和方法。

一、“解題”的理解

“解題”是數學教學中最為普遍的教學和學習的內容，也是學習數學過程中最為常見的活動。解題活動體現于課堂教學、家庭作業以及各種考試中，解題的成敗往往成為評判數學學習水平的依據。

解題教學中一般會將問題中的元素分為“已知（Given）”和“未知（Unknown）”，對問題進行分析與理解，普遍采用的模式是“從未知找已知”，這樣的過程也稱為“分析法”。比如一個行程問題所要求的未知量是速度，由于“速度等于路程除以時間”，因此就需要在已知條件中尋找路程和時間，如圖1所示。

該方法遵循的邏輯是“如果已知路程和時間，那么就可以求出速度”。解題則是反過來計算的過程，也就是“從已知算未知”的過程。如果在問題表述中尋找到對應的已知，則將已知數據代入相應公式進行計算得到未知。行程問題中，如果未知是速度，已知條件中已經明確給出相應的路程和時間，這時就可以套用公式“路程[÷]時間”計算出答案（見圖2）。

這種對解題的理解，是將“公式”視為解題的工具，將“計算”視為解題的方法，將計算結果的“正確”視為解題質量的標準。用這種“計算的眼光”解題，一旦“從未知找已知”失敗，那么“從已知算未知”就會出現困難，甚至無法實施。下面運用一個實例加以說明。

二、計算的眼光

馬克斯·韋特海默（Max Wertheimer，1880 —1943）是德國著名心理學家，格式塔心理學的創始人之一，生前與著名物理學家愛因斯坦為好友。他在與愛因斯坦的通信中，曾經提出過一個問題。

問題：一輛老舊汽車，行駛2英里路程，前半程1英里是上坡，后半程1英里是下坡。如果前半程1英里上坡速度不超過每小時15英里，那么后半程1英里下坡行駛多快，才能使得全程平均速度達到每小時30英里？[2]

愛因斯坦在回信中沒有給出問題的解決過程，只是給出結論，并且稱這個問題確實迷惑了自己，戲稱“我們是多么愚蠢”。為了行文方便，下面的討論把問題敘述為問題1的形式。

問題1：某人駕車從甲地到乙地辦事，計劃用平均每小時60千米的速度，可以按時到達。行駛到全程距離的一半時，發現前半程平均速度只有每小時30千米。為了按照原計劃時間到達乙地辦事，后半程需要加速行駛。那么后半程速度增加到每小時多少千米，才能按照原計劃時間到達？

如果把速度理解為路程與時間相除的運算結果（商），那么用計算的眼光看，求速度就需要先知道后半程的行駛路程和所用時間。而這兩個量在問題表述中都沒有出現，因此出現了條件不足的情況，也就是“從未知找已知”出現困難。此時可以采用的策略是通過“設數”補足條件，比如假設全程距離為“240千米”，這樣就把問題1改變為問題2。

問題2：某人駕車從甲地到乙地辦事，全程距離為240千米。計劃用平均每小時60千米的速度，可以按時到達。行駛到全程距離的一半時，發現前半程平均速度只有每小時30千米。為了按照原計劃時間到達乙地辦事，后半程需要加速行駛。那么后半程速度增加到每小時多少千米，才能按照原計劃時間到達？

這樣就可以直接套用公式“路程[÷]時間”，從已知算未知。

第一步：從甲地到乙地原計劃所用時間

240[÷]60=4（小時）

第二步：行駛到半程實際所用時間

（240[÷]2）[÷]30=4（小時）

第三步：后半程實際剩余時間

4-4=0（小時）

由于原計劃中的全程時間在前半程已經用盡，因此后半程無論怎樣加速，都無法按時趕到目的地。這個解題過程是將著眼點放在計算上，其特點是參與運算的數據必須齊全，有了足夠的數據，按照一定的程序逐步操作并完成。

類似于此，如果有了分數計算的經驗，還可以將全程距離設為“1”，那么到達半程行駛距離就是[12]。因此行駛全程計劃所用時間為：[1÷60=160]，行駛到半程實際所用時間為：[12][÷]30=[160]。由于行駛到半程所用時間與計劃行駛全程時間相同，因此后半程無論如何提速也無法按時到達。

以上做法遵循的思維方式是利用公式進行運算，是一種程序化的操作過程。行程問題中三個基本量分別為路程、時間和速度，其關系表現為如下的公式：

這些公式均顯示出行程問題三量之間的關系，這樣的關系可以實現“知二求一”的需要，即：

“知二求一”是一種“如果—那么”的因果推理，也就是“如果知二，那么求一”，其中“知二”是條件，“求一”是結果，具體可以表述為：

值得注意的是，“知二”是導致“求一”可能發生的條件，也叫作充分條件，但未必是必不可少的必要條件，“如果已知路程和時間，那么可以求出速度”，并不意味著“如果不知路程和時間，那么不能求出速度”。“知二求一”中的“知二”是“求一”的條件，但未必是唯一必要的條件。

導致某事發生的條件，其“充分性（Sufficient）”指的是“有之則必然，無之仍可然”，“必要性（Necessary）”指的是“有之未必然，無之必不然”。“知二”具有“求一”的充分性，但不具有必要性。因此求速度，除了已知路程和時間，還可能存在其他方法。

三、關系的眼光

對于行程問題中的路程、時間和速度，僅視為是知二求一的運算關系是不夠的，三者實質是依賴與制約的協變關系（Covariation）。當其中一個量確定不變時，另外兩個量之間分別表現為正比例或反比例關系。所謂正比例關系，指的是兩個變量存在“此升彼漲”或“此降彼落”的關系，一個量增加或減少，另外一個量也隨之增加或減少，而且增加或減少的倍數相同;所謂反比例關系，則是指兩個變量存在“此起彼落”或“此落彼起”的關系，一個量增加或減少，另一個量隨之減少或增加，增加或減少的倍數相同。

用關系的眼光看，前面的問題1不需要“從未知找已知”的分析過程，也不需要“從已知算未知”的計算過程，而是要著眼于事件的變化過程，從整體把握量的變化與協變規律。

前半程的計劃速度是每小時60千米，實際速度是每小時30千米。這句話描述的是前半程速度從計劃到實際的變化，從計劃速度改變為實際速度，兩個速度的關系可以用同類量之間的比，描述為實際速度與計劃速度的比“30∶60”。

這個比意味著前半程速度降低為計劃速度的一半（[12]），對于前半程這個確定的距離來說，運用速度與時間的反比例關系，實際所用時間就要加倍，即成為計劃時間的2倍，也就是前半程實際所用時間已經是計劃所用時間的2倍了，意味著行駛全程的一半所用時間，已經是計劃到達目的地的時間了，因此后半程無論如何加速，也不可能按時到達了。

這樣的思維過程不同于前面計算的眼光，是從實際速度與計劃速度之間的關系（比），利用速度與時間的反比例關系，想到實際時間與計劃時間的關系（比），進而通過這個時間的關系得到問題的結論。像這樣從比與比的關系獲得判斷的思維過程，也叫“比例推理（Proportional Reasoning）”。

從前面的分析過程和結論可以發現，前半程速度降低為計劃速度的一半或[12]，是無法按時到達的臨界點，前半程實際速度小于或等于每小時30千米，都無法按時到達。如果前半程實際速度大于每小時30千米，那么應當通過后半程的加速，可以實現按時到達。比如將前面問題1中前半程速度“30千米/小時”改變為“40千米/小時”，得到問題3。

問題3：某人駕車從甲地到乙地辦事，計劃用平均每小時60千米的速度，可以按時到達。行駛到全程距離的一半時，發現前半程平均速度只有每小時40千米。為了按照原計劃時間到達乙地辦事，后半程需要加速行駛。那么后半程速度增加到每小時多少千米，才能按照原計劃時間到達？

同樣運用從比到比的關系眼光，此時前半程速度為每小時40千米，前半程實際速度與計劃速度的比為“40∶60”，也可以用分數表示為比值[23]，那么前半程所用時間與計劃時間的比為“3∶2”，也就是前半程實際所用時間是計劃時間的[32]。全程確定不變的時間是2，那么后半程還有2-[32]=[12]的時間，因此后半程可用時間減少為計劃的一半。為了按時到達，速度就需要提高為計劃速度的2倍，也就是將計劃速度的每小時60千米加倍，變為每小時120千米。

這樣的解題過程并沒有使用路程、時間和速度三量之間“知二求一”的運算，其中的“[4060=23]”是前半程實際速度與計劃速度之間的關系;“[2-32=12]”是把全程時間視為2，進而求出后半程剩余時間為計劃時間的一半;“[60×2=120]”是對后半程計劃速度加倍。

整個解題的思維過程依據的是在全程和半程距離確定不變的前提下，運用“速度與時間成反比例”的關系，從前半程實際速度與計劃速度之間的比，推理出前半程時間與計劃時間之間的比;進而得到后半程計劃時間與實際時間的比，最后推理出后半程實際速度與計劃速度的比。

因此可以說，整個解題的思維是從關系到關系的推理過程，而不是“知二求一”的計算過程。事實上，解題過程蘊含著復雜的思維活動。這樣的思維活動不可能用“從未知找已知”和“從已知算未知”概括。從教學的角度看，對關系的認知重在比較的思維活動，偏向于質性的推理，而運算側重于程序化的操作，更強調規則的執行。

數學教學的終極目的是數學教育，教育的目的是人的發展。綜上可以看出，作為數學課程內容中的“比”，不同于像“分數”或“三角形”這樣的概念，代表某類對象的名稱。“比”的實質是人對數或量及其關系的看法、想法和做法，因此數學教學應當讓學生親身經歷這種看、想和做的過程。

參考文獻：

[1]郜舒竹. 釋“比”[J]. 教學月刊·小學版（數學），2021（6）：1-5.

[2]LUCHINS A S， LUCHINS E H. The einstein-wertheimer correspondence on geometric proofs and mathematical puzzles[J]. Mathematical Intelligencer， 1990，12（2）：40-41.

（首都師范大學初等教育學院? ?100048）