特殊圖象解選擇題

葉文明 李 陽(yáng)

(浙江松陽(yáng)二中 323406)

李陽(yáng)(1991-)，男，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

選擇題是高考三大題型之一,在高考中占有相當(dāng)大的比重.不少學(xué)生數(shù)學(xué)得分之所以不高,關(guān)鍵在于選擇題的得分不理想所致.選擇題的解法多種多樣,其中數(shù)形結(jié)合是及其重要且常見(jiàn)的解法.具有圖形特征的選擇題常用這種方法,當(dāng)題目已知沒(méi)有圖象或已給的圖象不易解決,不夠清晰時(shí),常可構(gòu)造符合題目已知條件的特殊圖形輔助解題,從而避免小題大做,在有限的時(shí)間內(nèi)盡可能提高解題效率.

圖1

例1(2020年浙江省高中學(xué)業(yè)水平考試模擬卷六)如圖1,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,E，F(xiàn)分別是棱AD，BP上的動(dòng)點(diǎn),且滿足AE=2BF,則線段EF的中點(diǎn)的軌跡是( ).

A.一條線段 B.一段圓弧

C.拋物線的一部分 D.一個(gè)平行四邊形

解析解決此題常規(guī)方法為作輔助線,利用三角形的相似解決.但很多學(xué)生面對(duì)已給圖形毫無(wú)思路,無(wú)從著手,為此可構(gòu)造滿足已知條件的特殊圖形來(lái)解決.

圖2

如圖2,在正方體中取P-ABCD,則四棱錐P-ABCD符合已知條件.不妨令邊長(zhǎng)為2,AE=4t,BF=2t.如圖2建立直角坐標(biāo)系,則E(2,4t,0),F(0,0,2t),于是EF中點(diǎn)H(1，2t,t).因?yàn)辄c(diǎn)H的橫坐標(biāo)x=1,即點(diǎn)H過(guò)點(diǎn)(1,0,0),且與x軸垂直的平面上.即如圖所示的虛線正方形MNOQ上.又縱坐標(biāo)y與豎坐標(biāo)z滿足y=2z,它是正比例函數(shù),圖象是一條直線,從而正確答案為A.

圖3

例2(2019學(xué)年浙江麗水期末監(jiān)控卷)如圖2,在三棱錐P-ABC中,PB=BC=a,PA=AC=b(a

A.α+∠PCA+∠PCB>π,2α<∠PAC+∠PBC

B.α+∠PCA+∠PCB<π,2α<∠PAC+∠PBC

C.α+∠PCA+∠PCB>π,2α>∠PAC+∠PBC

D.α+∠PCA+∠PCB<π,2α>∠PAC+∠PBC

解析解決本題需用到內(nèi)角和、二面角、線面位置等相關(guān)知識(shí),稍顯繁瑣.但如圖4構(gòu)造特殊圖象,本題將迎刃而解.

圖4

由已知條件,不妨令△PBC和△PAC分別為等腰直角三角形和等邊三角形,為此可構(gòu)造如圖4所示的長(zhǎng)方體.

事實(shí)上,本題構(gòu)造如圖5所示的正方體更易得出正確答案.

圖5

解析常規(guī)解法為利用已知條件得出λ與μ的關(guān)系式,然后利用基本不等式消元得出正確答案.但很多學(xué)生不能在有限的時(shí)間內(nèi)得出λ與μ的關(guān)系.其實(shí),本題若構(gòu)造符合條件的特殊梯形更易得出結(jié)論.

圖6

如圖6構(gòu)造直角梯形,并建立坐標(biāo)系,為了計(jì)算方便,不妨設(shè)AB=6.由已知易得A(0,0),B(6,0),C(3,3),D(0,3),E(5,1).

圖7

解析本題以空間幾何體為載體,結(jié)合向量設(shè)計(jì)題目,體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).常規(guī)解法是利用已知得出向量共面,再通過(guò)輔助線得到x,y的關(guān)系,最后利用基本不等式即可解決問(wèn)題,主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化能力,但是很難想到.為此可構(gòu)造如圖8的正方體.

圖8

所以(2x+1)+(2y+2)=5.

所以,正確答案選B.

圖9

A.2 B.4 C.6 D.8

圖10

解析本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)及向量的運(yùn)算,屬中檔難度.考慮到選擇題的特點(diǎn),不妨如圖10令O,A,B三點(diǎn)共線,并建立坐標(biāo)系.則A(4,0),B(2,0),P(3,t).于是,P=(3,t),a=(4,0),b=(2,0),所以p·(a-b)=6,正確答案為C.

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思想。本文通過(guò)經(jīng)典例題精彩地演繹了已知圖形與特殊圖形之間的轉(zhuǎn)化，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易，提高了這一類選擇題的解題效率,有助于開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)解題新思維.