評析近兩年高考題中“復數”題的命題規律

陸漢俊

(江蘇省邗江中學(集團)北區校維揚中學 225009)

仔細分析近兩年的高考數學題，歸納發現“復數”一章在內容的呈現上難度降低了很多，尤其最值問題近兩年都未涉及.但即便如此，有不少學生遇到復數題，方法還是不靈活，錯誤率較高.為了能幫助學生進一步把握好高考中的復數題，提高得分率，現將近兩年高考中的復數題的類型歸納、分析如下：

一、復數的基本概念

例1(2020年浙江卷)已知a∈R，若a-1+(a-2)i(i為虛數單位)是實數，則a=( ).

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2

分析按照復數作為一個實數來列式進行求解.

解析因為(a-1)+(a-2)i為實數，所以a-2=0，解得a=2.故選C.

評析主要考查了復數的基本概念,考查了基本的理論分析和邏輯求解問題的能力.

二、復數的基本運算

例2 (2019年江蘇卷)已知復數(a+2i)(1+i)的實部為0，其中i為虛數單位，則實數a的值是____.

分析本題依據復數乘法的運算法則，先求得復數的最簡形式,然后令其中的實部為0，列方程可得解.

解析因為(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i，令a-2=0，得a=2.

評析本題重點考查了復數實部的定義和復數乘法的運算法則,充分考查了學生的綜合邏輯推理轉化和分析求解的能力.

三、復數的幾何意義

例3(2020年北京卷理數)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(1,2)，則i·z=( )．

A. 1+2i B. -2+i C. 1-2i D. -2-i

分析本題首先根據復數的幾何意義得出z=1+2i,其次根據復數乘法的法則得出結果.

解析由題意，得z=1+2i，所以iz=i-2.故選B.

評析本題重點考查了復數的幾何意義及復數乘法的運算法則，進一步考查了學生的數形結合思想.

四、共軛復數的概念

A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i

評析本題注重對復數的運算法則和正確理解共軛復數的概念的考查,很多學生比較容易出現理解或計算上的錯誤.

五、復數模的定義及運算

分析本題首先根據復數的除法運算法則(分母實數化)求出z,其次再由復數模的定義求出|z|的值.

評析本題著重考查了復數的除法運算法則(分母實數化)和復數模的定義，考查了學生的綜合運用知識解決問題的能力.

六、復數模的幾何意義

例6(2019年全國Ⅰ卷理數)設復數z滿足|z-i|=1，z在復平面內對應的點為(x，y)，則( ).

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

分析本題根據復數的模的幾何意義得出點(x,y)和點(0,1)之間的距離為1,從而得到圓的方程.

故選C.

評析本題著重考查了復數的模的幾何意義，進一步滲透了直觀想象的數學學科素養和數形結合思想．

七、復數模的綜合應用

分析1 令z1=a+bi,(a∈R,b∈R)，z2=c+di,(c∈R,d∈R)，根據兩個復數的模都等于2及復數相等的結論可求得ac+bd=-2，代入|z1-z2|公式中可求出正確的答案.

分析3運用公式|z1-z2|2+|z1+z2|2=2(|z1|2+|z2|2)

所以a2+b2=4，c2+d2=4.

所以(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4.

所以ac+bd=-2.

所以|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|

評析解法1主要運用了復數相等時的結論、復數模的定義及復數減法的運算法則；

解法2著重測試了數形結合的數學思想方法；

解法3是公式或結論的靈活運用.說明：多掌握公式和結論，尤其在解決選擇題和填空題時會發揮強大的力量，達到事半功倍的效用.

總之，通過對近兩年高考題中的“復數”題的全面分析，可以看出《數系的擴充與復數的引入》這一章重點考查：復數的概念、復數的幾何意義、共軛復數的定義、復數的模的定義及模的幾何意義.考查的難點是復數模的綜合應用.我想，只要緊扣定義，掌握好幾何意義，加大運算能力的培養，同時在難點上精練精析，就一定能解決好“復數”高考題.