幾何證明(1)
——教學(xué)設(shè)計(jì)

王安華

(山東省寧陽(yáng)縣第六中學(xué) 271412)

課題：專題復(fù)習(xí)—幾何證明(1)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)例題探究學(xué)習(xí)，掌握證明線段相等的基本方法.

2.通過(guò)例題探究學(xué)習(xí)，總結(jié)添加輔助線的基本方法.

3.通過(guò)一題多解，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化以及綜合運(yùn)用能力.

4.培養(yǎng)學(xué)生推理能力，提高學(xué)生思維水平.

二、教學(xué)重點(diǎn)

構(gòu)造全等三角形，證明兩條線段相等.

三、教學(xué)難點(diǎn)

添加輔助線.

四、教學(xué)準(zhǔn)備

幾何畫板課件.

五、教學(xué)過(guò)程

1.知識(shí)回顧(6分鐘)

(1)哪些定理可以幫助我們證明兩條線段相等？(學(xué)生回憶后，部分同學(xué)展示，3分鐘)

主要有：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，等角對(duì)等邊，平行四邊形的對(duì)邊相等，角的平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等.

(2)等腰三角形、等邊三角形有什么性質(zhì)？(學(xué)生回憶，部分同學(xué)展示，3分鐘)

設(shè)計(jì)意圖：(1)通過(guò)回憶相關(guān)定理，為學(xué)生證明線段相等提供方向.

(3)回憶等腰三角形、等邊三角形性質(zhì)為例題學(xué)習(xí)提供基本知識(shí)和儲(chǔ)備.

2.新課學(xué)習(xí)(約27分鐘)

(1)新課引入：今天我們通過(guò)一個(gè)例題，來(lái)學(xué)習(xí)證明線段相等的一般方法.

(2)出示例題(課件出示)

例題如圖1，△ABC是等邊三角形，D是邊AB上一點(diǎn)，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE=DC，求證：AD=BE

(3)學(xué)生自主探究：(8分鐘)

設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生8分鐘的思考時(shí)間，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生先獨(dú)立思考，找到自己的解決辦法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力.

(4)小組討論(5分鐘)

設(shè)計(jì)意圖：小組討論5分鐘，在組內(nèi)展示自己的方法，獲得成功感，借鑒其他同學(xué)思路、方法，提高思維能力，同時(shí)幫助有困難的同學(xué)解決問(wèn)題

(5)小組展示(教師根據(jù)小組討論情況選擇發(fā)言)：(約5分鐘)要求學(xué)生重點(diǎn)展示方法(怎么做)和思路分析(為什么這么做，你是怎么想到的這個(gè)辦法？)

(6)教師點(diǎn)評(píng)(7分鐘)

教師根據(jù)學(xué)生展示情況，做好預(yù)設(shè)

①若學(xué)生出現(xiàn)預(yù)設(shè)方法中作等邊三角形一邊的平行線，引導(dǎo)學(xué)生思考在其他位置作平行線，得到不同構(gòu)圖方法并總結(jié).(作等邊三角形一邊的平行線，和另外兩邊相交，又會(huì)出現(xiàn)一個(gè)等邊三角形，得到線段相等)

②若學(xué)生方法中出現(xiàn)了教師預(yù)設(shè)中的方法4或方法5，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這種方法進(jìn)行思路分析，獲得直接構(gòu)造三角形全等的方法經(jīng)驗(yàn).

③對(duì)于教師預(yù)設(shè)方法6，根據(jù)課堂情況進(jìn)行選擇，若學(xué)生證明方法中出現(xiàn)，讓學(xué)生重點(diǎn)介紹方法選擇的思路源泉，給其他學(xué)生以啟迪.若學(xué)生證明方法中未出現(xiàn)，教師課根據(jù)課堂時(shí)間靈活掌握(或課下出示給學(xué)生).

例題解析：

方法1如圖2，作DM∥BC,與AC相交于點(diǎn)M.

①證明△ADM是等邊三角形，得到AD=DM

②證明△BDE≌△MCD得到BE=DM

由①②得到BE=AD

方法2如圖3，作DM∥AC，與BC相交于點(diǎn)M.

②證明△BDE≌△MDC,得到BE=CM

由①②得到BE=AD

方法3如圖4作EM∥AC,與AB延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M.

①證明△EBM是等邊三角形，得到BE=EM

②證明△EDM≌△DCA得到EM=AD

由①②得到BE=AD

方法4如圖5，作DM⊥AC,EN⊥AB，垂足分別是M，N.

證明△CDM≌△DEN，得到DM=EN

①證明△ADM≌△BEN得到BE=AD

(思路分析：構(gòu)造要證明的兩線段所在的直角三角形全等)

方法5如圖6，在CA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使DM=DC，(或以D為圓心畫弧，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M)證明△BED≌△AMD

(思路分析：構(gòu)造要證明的兩線段所在的三角形全等)

方法6如圖7，作DN⊥BC,垂足為N，交CA延長(zhǎng)線于M，連接EM

①證明AM=AD(思路源于魯教版七下110頁(yè)習(xí)題10.7知識(shí)技能1題)

②利用DN是EC的垂直平分線(三線合一)得到ME=MC,進(jìn)一步得到AM=BE

由①②得到BE=AD

3.變式練習(xí)(10分鐘)

(變式練習(xí)可根據(jù)前面例題完成情況出示或改為課下練習(xí).)

如圖8，△ABC是等邊三角形，D是邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE=DC，求證：AD=BE

4.課堂總結(jié)(2分鐘)

今天你有哪些收獲？

(重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：①證明線段相等的方法，②構(gòu)造全等三角形的方法，③作等腰三角形一邊的平行線與另兩邊相交，有什么作用？)

5.布置作業(yè)

(2015年煙臺(tái)中考試題)如圖9，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且DE=EC，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，連接EF.試證明：AB=DB+AF.