數學猜想助解中考數學題的教學案例分析與思考

毛成卿

(浙江省余姚市馬渚鎮初級中學 315450)

寧波市近幾來的中考數學題呈現出大題的題目結構和知識點有全面覆蓋的特點，尤其是對于一些壓軸問題的分析，有助于幫助數學教師利用猜想的方式，找到應對數學解題困惑的思路，一線數學教師需要時刻緊跟考試的思路變化和其步伐，從而能夠在更為簡潔的表述語境之下，以更加有針對性的教學手法指導學生的實際學習，并能夠使其解題思路更加清晰.

一、猜想與歸納之間的關系

從題目表述和提示層次方面進行猜想，歸納是猜想的延伸部分，歸納和猜想之間的關系聯系非常緊密.當一個問題涉及到不同的題目選項時，有時可能會故意給考生設置迷惑選項，而簡單地將題目的中心思想提煉出來，從特殊的情形入手反而可以簡化考生的思路，找到解決問題的根本途徑，這種研究問題的方式是以歸納猜想的方法作為考試題目破解之法的應用過程.寧波市近幾年的中考試題在最后出現的大題，也就是壓軸題，往往是一道大題連著三道小題，其語言層次較為簡潔，邏輯認定比較清晰，可以從歸納和猜想的角度入手來進行問題的解答；近幾年來的寧波市數學中考題都是層層遞進的關系，前面的問題往往是為后面的問題做鋪墊，不能忽略不同題支之間的關系，后面的問題的設定和深化，具有一定的難度，教師要逐步引導學生實現知識層面的拓展.因此，可以從前面的鋪墊向后面的能力部分猜想和轉化.

以寧波市中考2016年第26題的問題設置為例：

求點B的坐標；2.當OG=4時，求AG的長；3.求證：GA平分∠OGE；4.連接BD并延長交x軸于點P，當點P的坐標為(12，0)時，求點G的坐標.

從題目的設定中猜想發現，小題目的設問并不是非常困難，對于學生來說基本上可以通過基礎知識直接解答，后面的題有一定的思維難度，但是并不是很難，對于學生來說只要綜合數學知識，就可以通過猜想驗證優化解題思路，當然最后一道題有一定的難度，具有選拔的功能，也是區分學優生的重要依據之一.

二、并用類比拓展數學猜想

類比的方式與數學猜想之間的關系也是比較緊密的，類比的方式可以通過已知條件對于思路有一定延展性的，或者比較類似的研究對象進行觀察和比較，當然對于考生來說，中考時借助舊的知識與新的知識之間進行類比也是一個不錯的辦法.很多學生都對于考試中的題目進行研究和猜想，如果其中一個研究對象具有類似的性質，那么很有可能在判斷其解題思路的時候，會考慮把題目和解題方法之間進行同類比較，嘗試確定解題思路.在數學題的解題過程中，尤其是對有一定難度的中考試題，類比往往具有引領性的指導作用，發現題目和知識點之間的相通之處，可以嘗試確定基本解題思路，或者以特定的定理來沖擊解題的方向.

寧波近幾年的中考題目中數學知識含量十分豐富，題目具中有較強的融合性.例如：2017年寧波市中考的數學題有一道新定義題，此題對特殊的四邊形和圓進行了比較完美的考查，數學知識的邏輯性展現的比較豐富，非常詳盡的考察了直觀的數學邏輯，將不同類型的三角形三個邊的關系和三角形與圓的性質等數學知識融合進方程式，其考查方式是比較新穎的，而且對于學生在數學題目閱讀方面的能力能進行很好的考查.

學生只有較好的知識儲備，結合數學思維，就能將角、邊、圖形與圖像的問題解決，留意外在的題目形式和題目考查內核之間的關系，為提升學生的綜合素養和知識運用能力，利用類比的方式解決問題，將同類問題放在一起進行思考.

三、在構筑牢固數學基礎的同時，提升數學思維

數學的學習思維是鍛造一個人數學綜合素養重要的目標，猜想屬于數學思維的范疇，同時猜想又可以激發學生的學習興趣，尤其是在中考題目的設定中，由于有的題目確實具有一定的難度，對于學生來說，要把控題目的發展方向，一定要加深對于特殊性質的理解.數學的猜想是基于一定的數學事實基礎的，不能完全空想主義，以數學知識為基礎的猜想，結合適當的數學定理，能夠將類比歸納的方式滲透在數學學習的靈感之中.很多學生發現在日常的學習時，如果能夠打好每一步的數學基礎，在融合與變化的時候，就可以舉一反三、猜測新的題目內容.利用猜測辯證法在數學中的應用，可以推進數學方法論的研究，并且解密數學知識，證實特殊的數學猜想.比如，近幾年來，寧波中考的數學題目中雖然有很多不同的變化，但是這些變化往往是建立在基礎之上的，并不會盲目的變形，題和題之間的性質也有一定的趨同性，這對于學生的學習來說是比較有利的，學生能否真正的利用綜合分析能力進行知識遷移，將成為大部分考生非常重視的問題，所以在平時，一定要做好對于數學思維發展的積累，而不是一蹴而就的.

例如：在講《三角形的內切圓》這部分的內容時，教師要求圓與四邊形ABCD的各個邊都相切，切點分別是M，N，G，H，猜想AB+CD與AD+BC有什么數量關系，并證明你的猜想.這個題目，將“正方形的性質”“圓的性質”“內切圓的性質”等部分的知識都滲透其中，數學教師在平時應該通過大量的講解和同類問題的提醒轉換，幫助學生實習知識的結構更加具有含金量，在參考解答具體問題時并不是大海撈針，而是有目的有途徑的猜想，這一猜想的過程是符合其知識結構體系需求的，從而能夠在日常練習的過程中有目的地進行數學知識的學習和演練.

四、強調在數學思維培養的過程中，加入一些實驗的元素

數學實驗能夠呈現良好的數學思維，為了得到某種數學結論，在典型的實驗環境中利用特定實驗條件來進行猜想，也是一種比較常用的數學試題分析方法.在考試的時候，雖然不能真正的進行復雜的實驗，但是采用猜想的方式能夠鼓勵學生自主探索.很多學生提出問題、發現問題，并且驗證了自己原本的數學猜想，在這一過程中不僅能夠找到數學考試的規律性，而且還可以根據尋找規律的過程，舉一反三的解決更為復雜的問題，這種方式是可以通過反復的正向和反向思維達到解題目的的方法，在中考中往往能夠解決比較具有難度的考題.

比如：在三個不一樣的2*2方格選項中，通過實驗畫出三角形的方式，選擇合適的三角形，要求畫出的三角形和圖中的三角形，經過軸對稱之后，所得到的圖形是一致的.這對于學生來說，需要一定的空間邏輯思維能力，也可以利用演算紙來測試三個不同圖形的對應組合.但是這道題要求所有的陰影部分不能完全重復.

所謂的數學實驗，主要是指在實際操作的時候，學生可以通過多次猜想、演練、測試，在腦海中形成不同的印象.能夠得到最終的結論，一般是在特定的題目驗證過程中找到數學題目活動思維，并且通過數學實驗的驗證思路，推翻錯誤的選項，找到正確的選項.

結論：數學的猜想的運用有很多不同的思路，無論是通過歸納、類比還是數學實驗的想法，都需要學生能夠學會舉一反三.在特定的環境下，利用有規律性的猜想方式，不僅可以鍛造學生的數學思維，而且還可以引導學生通過考試之后自我反思，參與數學實踐，找到驗證和猜想的規律以及連接新舊知識的通路.從而能夠使得自身的數學思維能夠變得更為靈活，幫助學生適應中考題目的動態化發展.