轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學解題中的應用

崔亞瀾

(云南省大理大學教育科學學院 671003)

在解答某一數(shù)學題時，應將原題轉(zhuǎn)化為另一個比較熟悉、比較容易解決的問題上，下面以2019年貴陽市中考題第18題第(2)題為例.通過利用轉(zhuǎn)化思想(三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化、角與角之間的轉(zhuǎn)化、邊與邊之間的轉(zhuǎn)化)來進行解題.

一、試題及解法分析

題目如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，延長AD至點E，使DE=AD,連接BD.

(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；

這是一道中考數(shù)學題中經(jīng)典且常規(guī)的幾何題，考察學生對幾何圖形性質(zhì)的理解與運用.

解法一利用三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化

點評本解法的切入點是利用好cosA，關(guān)鍵是利用(同角的)正、余弦的平方關(guān)系sin2A+cos2A=1，從而實現(xiàn)sinA和cosA之間的轉(zhuǎn)換，這種方法只需作BE一條輔助線即可求解.在平面幾何題中，當一個角一定，又有三角函數(shù)值為定值時，通?？煽紤]利用三角函數(shù)之間的關(guān)系(平方關(guān)系、商的關(guān)系等)來解題，會有意料之外的收獲.

解法二利用角的轉(zhuǎn)化

思路1∠A轉(zhuǎn)化為∠CDE

證明如圖3，連接BE，交DC于H.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，故AB∥DC，所以∠A=∠CDE.

又AD∥BC，AD=BC，而AD=DE，所以DE∥BC，DE=BC，故四邊形BCED是平行四邊形.

思路2∠A轉(zhuǎn)化為∠HMB

證明如圖4，連接BE，交DC于H；過點H作HM∥BC.

因四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC∥HM,∠A=∠HMB.

點評利用三角形的中位線平行于底邊的關(guān)系，達到了邊和角的轉(zhuǎn)化，既能提供線段的位置關(guān)系(平行)，又能提供線段的數(shù)量關(guān)系(相等).

解法三邊的轉(zhuǎn)化

證明如圖5，連接BE，交DC于H；過點D作DM∥BE，交AB于M.因為AD=DE，即D是AE中點，故DM是△ABE的中位線，所以M是AB的中點，即AM=MB.

又AD=DB,故△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”,可得MD⊥AB,而MD是△ABE的中位線，所以BE=2MD.

點評由題目的已知條件AD=DB,可以得到等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，作輔助線MD，通過利用“三線合一”來建立線段之間的等量關(guān)系以及位置關(guān)系(垂直)，達到邊與邊之間的轉(zhuǎn)化，借助直角三角形尋求線段之間的關(guān)系解題.

二、賞析

以上這三種解題方法，運用了轉(zhuǎn)化的途徑，即“添線”.添加輔助線在幾何題中常常起著過河搭橋的作用，通過輔助線造成基本圖形，從而促使分散條件集中化、隱含條件明顯化，將已知元素聯(lián)系起來，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化還有“換元”等途徑.總的來說，本題目突出了“轉(zhuǎn)化”在中考數(shù)學中的重要性，在研究數(shù)學問題時，我們要以不變應萬變，不變的是知識，萬變的是問法.我們說轉(zhuǎn)化是客觀存在的，而轉(zhuǎn)化思想是主觀對客觀的反映，所以數(shù)學解題的過程就是一個通過轉(zhuǎn)化獲得問題解決的過程.其實，轉(zhuǎn)化思想還是數(shù)學學習過程中常用的思想方法，如司馬光砸缸、曹沖稱象等故事，都成功地運用了轉(zhuǎn)化的策略，是一切數(shù)學思想方法的核心.從這道題中我們可以看出，從多角度、多方位來看同一個問題，能培養(yǎng)中學生的數(shù)學思維，遇到幾何試題都可從“數(shù)”、“角”、“邊”三方面思考，嘗試求解.本題中值得注意的是，不論如何轉(zhuǎn)化，都保證了形變、量變而質(zhì)不變，所以在運用轉(zhuǎn)化思想時，重要的是保持轉(zhuǎn)化的原則，即轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵不管如何豐富，等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化、已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間，都可以通過轉(zhuǎn)化來獲得解決問題的轉(zhuǎn)機，但是不可以改變其本質(zhì).