三角網格間斷有限元法彈性波模擬精度分析

韓德超 劉衛華 司文朋*

(①中國石化石油物探技術研究院，江蘇南京 211103；②中國石化地球物理重點實驗室，江蘇南京 211103)

0 引言

地震波數值模擬對認識地震波傳播規律和分析干擾波形成機理具有重要意義，因此常被用于優化觀測系統和指導處理解釋[1-5]。此外，地震波數值模擬也是逆時偏移和波形反演的重要內核[6]。目前已有許多基于波動方程的數值模擬方法，如：有限差分法(FDM)[7-10]、偽譜法(PSM)[11-12]、有限體積法(FVM)[13-14]、無網格法[15]、有限元法(FEM)[16-18]，譜元法(SEM)[19-23]和間斷Galerkin有限元方法(DGFEM)[24-27]。FDM因容易編程實現、易于并行等特點，目前應用最廣泛。但是FDM對起伏地表的適應性有限，且準確模擬地表自由邊界較為困難。PSM同樣也存在邊界條件難以準確模擬的問題，且三維計算需要全局通信，難于實現并行。FVM和FEM都可以使用非結構化的三角形(三維是四面體)網格以適應復雜的地表結構，且天然滿足自由邊界條件，但是FVM的高階計算難于實現，較少應用于地震波模擬。FEM則需要存儲大型稀疏矩陣并求逆，對計算資源要求極高。SEM和DGFEM是對FEM的改進。SEM使用GLL(Gauss Lobatto Legendre)插值點得到對角形式的質量矩陣，從而避免了矩陣求逆過程。但是經典的SEM使用的是四邊形(三維是六面體)網格，對復雜地表的刻畫缺乏靈活性。DGFEM在單元內部使用有限元方法處理，而在單元邊界上使用FVM的數值流通量的方式。DGFEM集合了有限元方法的網格靈活性和高精度，同時又可以逐元求解，降低了對計算資源的消耗且便于并行計算。

數值穩定性、數值頻散以及耗散問題是研究波動方程數值解的重要內容。有限元方法因使用的網格形態比較靈活，所以一般需構建周期性網格進行分析。四邊形網格的模擬精度分析因為周期網格構建容易、基函數可以解耦等原因，已有大量研究[16，28-32]。而對于三角形網格的數值精度研究較少，劉少林等[33]和曹丹平等[34]分析了經典FEM在不同形態的周期性三角形網格中的聲波方程頻散和穩定性條件，也有少量的關于三角形網格的SEM頻散分析研究[35-37]。對于四邊形網格的DGFEM，De Basabe等[38]分析了不同基函數對數值精度的影響；賀茜君等[39]分析了Runge-Kutta(RK)時間格式的頻散和穩定性；Meng等[40]分析了不同基函數對頻散和穩定性的影響。對于三角形網格的DGFEM，Hu等[41]分析了半離散聲波方程的頻散和耗散，但未考慮時間格式；K?ser等[42]從實驗角度分析了彈性波任意高階導數法(Arbitrary high-order derivatives，ADER)時間格式的數值收斂率，但未分析頻散和耗散；Delcourte等[43]分析了蛙跳(Frog-leap，FL)時間格式的基于中心數值流的收斂率；He等[44]分析了聲波方程RK和ADER時間格式的數值精度。

本文針對彈性波的數值模擬精度問題，通過構造任意等腰三角形單元組成的周期性網格，可以方便地分析各種形態的三角形單元對數值模擬精度的影響。從理論和數值計算上分析了基于局部Lax-Friedrichs數值流和3階總變差不增的Runge-Kutta(簡稱TVD RK)時間格式的三角形網格DGFEM彈性波模擬的數值頻散、耗散和穩定性，可為基于三角形網格的DGFEM彈性波模擬提供參數選取指導。

1 數值模擬方法

二維各向同性介質中的彈性波速度—應力方程為[42]

(1)

式中：λ、μ為拉梅常數；ρ是密度；σxx和σzz為正應力，σxz為剪切應力；vx和vz分別為質點速度的x和z分量；S1～S5表示外力震源。將式(1)改寫成一階線性雙曲偏微分方程矩陣形式，有

(2)

式中：u=(σxx，σzz，σxz，vx，vz)T；P、B是式(1)中彈性參數的矩陣形式。

1.1 空間離散

DGFEM的空間離散需要將計算空間劃分成不重疊的子區域，即單元。本文討論二維三角形網格，直接給出式(2)的DGFEM空間離散格式[36]

(3)

(4)

1.2 時間離散

間斷有限元求解有多種時間離散方法，如ADER、LF和RK法。ADER法將時間導數轉化到空間導數的計算上，可以達到時間和空間任意精度，但是實現復雜[42]；LF時間格式通常和中心數值流一起使用[43，46]，且可以使用更大的時間步長從而提高計算效率，但是常用的LF時間格式精度只有二階。本文使用RK法。

式(3)可簡寫為關于時間的常微分方程

(5)

式中忽略了震源項，L是空間離散的線性系統。常用的3階TVD RK時間離散格式[25，39]為

(6)

2 數值穩定性及精度分析

2.1 基于三角形網格的理論分析方法

穩定性和數值精度的理論分析通常使用Von Neumann方法：假設研究區域為無界各向同性的均勻介質且無外力震源，分析平面波在研究區域的傳播問題。

首先假設計算空間剖分為以頂角為θ、腰長為h的等腰三角形為基本單元的周期性網格(圖1)，其中單元2-i是由單元1-i旋轉所得，除此之外，單元完全相同。因此將單元1-1和單元2-1稱為母單元，其他單元稱為子單元。為了簡化，將相鄰的兩類三角形組合在一起分析[41]，即圖1中單元1-1和單元2-1作為整體進行分析。假設母單元中的邊界順序如圖1b所示，子單元邊界順序同母單元。

圖1 周期性三角形網格剖分示意圖

考慮平面簡諧波

Aexp(-iωt)exp(ikx)=A(t)exp(ikx)

(7)

則各子單元內的平面波與母單元平面波的相位關系如表1所示。假設波的傳播方向與x軸夾角為γ，則kxh=2πδcosγ，kzh=2πδsinγ，其中k為波數矢量，δ=h/W是采樣率，W是波長。

表1 各子單元與母單元的平面波相位關系

忽略震源項，單元1-2和單元2-1的間斷Galerkin有限元法的半離散方程(式(3))可以寫為

(8)

式中

(9)

(10)

其中的子矩陣Γ11、Γ12、Γ21、Γ22表達式見附錄A。

2.2 穩定性分析

模擬時在網格尺寸h和介質速度cP已定的情況下，時間步長需滿足Δt≤αmaxh/cP，其中α為Courant數，αmax=ΔtmaxcP/h是最大Courant數。DGFEM的3階TVD RK方法可以寫成[33]

(11)

(12)

式中ωh是與三角形腰長h有關的數值圓頻率?？梢钥闯觯?exp(-iωhΔt)是矩陣G的特征值。為了使模擬穩定，矩陣G的譜半徑必須小于等于1，即|β|≤1[34]。需要注意的是，求解式(13)的特征值，系統會得到20N個特征值，要求每個特征值都滿足|β|≤1，可用迭代方法求得最大Courant數αmax[40]。αmax越小說明模擬過程的穩定性越差，反之穩定性越強。

αmax隨θ的變化曲線如圖2a所示，可見，當單元過于狹長或扁平時模擬的穩定性較差。圖2b為一、二、三階單元αmax隨r/h(r為內切圓半徑)變化曲線，可知，各階單元的αmax與r/h滿足線性關系，其斜率分別為0.6137、0.3535、0.2683，約等于2/(2p+1)，其中p為單元階次。由Δt=αh/cP可知，Δt與三角形內切圓半徑r也滿足線性關系，即Δt∝2/(2p+1)r/cP。

圖2 不同階單元αmax隨θ(a)和r/h(b)的變化曲線

2.3 頻散和耗散分析

(13)

將ωh代入式(12)左側，可得

exp(ωiΔt)[cos(ωrΔt)-i sin(ωrΔt)]=βr+iβi

(14)

進一步可得

(15)

則數值頻散系數d和耗散系數d′可分別表示為

(16)

(17)

當d大于1時，相速度大于介質速度，相反則說明相速度小于介質速度。d越接近1，模擬精度越高。由于P波和S波具有相同的頻率、不同的空間采樣率，因此分別對P波和S波進行分析。

當Courant數α=0.03、平面波傳播方向角γ=0°時，計算θ分別為30°、60°、90°、120°時的二階和三階單元的P波和S波頻散系數d隨δ的變化曲線(圖3)。由圖3可以看出，二階單元在δ小于0.4時，P、S波頻散系數的相對誤差小于0.9%，三階單元的相對誤差則小于0.05%，體現了DGFEM的弱頻散特性。二階單元一個波長內有2～3個網格即可滿足頻散要求。此外，由二階單元的頻散結果可以看出，在γ=0°方向上傳播的平面波，θ為60°時頻散最弱，其次是30°、90°、120°；S波的頻散強弱相對關系與P波一致。不同形態(頂角θ不同)三階單元的縱波頻散相對關系與二階單元一致。

圖3 不同形態二階(a)和三階(b)單元的的P波和S波頻散曲線

圖4是一階單元和二階單元頻散系數隨傳播方向的變化曲線，由圖中可以看出，當單元為等邊三角形時，頻散系數隨傳播方向變化的周期為60°，且沿單元邊界方向傳播時頻散最小，而垂直網格線傳播時頻散最大。而經典有限元方法在等邊三角形網格中基本沒有數值各向異性。二者的區別可能是由DGFEM的數值流形式引起的。其他形態三角形單元的頻散系數隨傳播方向的變化以180°為周期。等邊三角形單元的頻散曲線更接近圓形，數值各向異性最弱，而其他形態的三角形單元的頻散多呈條帶狀，數值各向異性更強。在圖4b中，當θ=30°時頻散曲線在γ=15°和195°處頻散最大，即垂直于等腰三角形底邊的方向，最小頻散的方向為沿底邊方向；當θ=90°時，最大頻散的方向為γ=135°和225°，當θ=120°時，最大頻散的方向為γ=150°和330°，即沿底邊的傳播方向頻散最大，垂直于底邊方向頻散最小。

“人設”先行，架空了歷史，扭曲了情節。熱播的《延禧攻略》中，主角魏瓔珞的“人設”可謂鮮明至極：她聰明果敢、為人剛強，見招拆招、快意恩仇，以披靡之勢走向人生巔峰?！暗讓幽嬉u”“人人都愛我”等現實中無法實現的白日夢在其中得到代償，使得這樣的“人設”很是討喜。網劇情節有所夸張無可厚非，但如果為了凸顯“人設”而不顧歷史常識，違背起碼的生活邏輯，生造出在現實中不可能發生的情節，“人設”就失去了堅實的支撐與豐滿的內里，雖滿足了受眾一時的感官刺激，卻成了虛假而空洞的存在。

圖4 不同形態單元縱波頻散系數隨傳播方向角γ的變化曲線

θ分別為30°、60°、90°、120°時，計算二階和三階單元的網格P波和S波的耗散系數隨采樣率的變化曲線(圖5)，其中α=0.03。為了明顯區分曲線，圖5是模擬了200個時間步長后的耗散曲線(即exp(200ωiΔt))。由圖可見，隨著δ的增加，數值耗散越強；對于相同的δ，S波的耗散略小于P波，通常情況下，同一介質內的S波采樣率大于P波的采樣率；另外，隨著單元階數的增大，耗散的影響減弱。通常地震波需要模擬幾千甚至幾萬個時間步長，數值耗散將對模擬結果產生較大影響。

圖5 不同形態二階(a)和三階(b)單元的的P波和S波耗散曲線

圖6為θ不同時，一階單元網格的exp(ωiΔt)隨傳播方向的變化曲線，其中α=0.03、δP=0.11、δS=0.20。由圖可見，耗散曲線的對稱性與頻散曲線(圖4)相同。單元頂角θ=60°時，耗散系數整體上更接近1。

圖6 不同形態一階單元的耗散系數隨傳播方向角γ的變化曲線

表2梳理了上述周期性網格的理論分析結果。表中數值各向異性是基于已比較過的單元形態。

表2 不同形態三角形單元的最大αmax及數值各向異性特征

3 數值實驗

首先通過模擬二維均勻各向同性介質平面波單頻成分分析不同形態單元的誤差。不考慮震源項，均勻各向同性介質中彈性平面波應力和速度分量的解析解表達式分別為

(18)

(19)

上式每個分量都包含一個沿著(nx，nz)T方向傳播的平面P波和S波。取t=0時刻的解析值作為數值模擬的初始條件。

分別用θ為30°、60°、90°的周期性網格進行均勻模型模擬，并對每個θ取其數值各向異性的兩個對稱軸的方向作為平面波傳播方向，即θ=30°時，取γ=15°或105°；θ=60°時，取γ=0°或30°；θ=90°時，取γ=45°或135°。等腰三角形單元的腰長h分別設置為10.0、12.5、20.0、25.0m。均勻模型尺寸為5000m×5000m，cP=4000m/s、cS=2000m/s、ρ=2000kg/m3；模擬頻率f0=40Hz，Δt=2ms，模擬時長tmax=250ms。

圖7為θ=90°、γ=45°時，tmax時刻的模擬波場與解析解的對比。由于沒有使用吸收和周期性邊界，所以取模型中沒有受到邊界反射干擾的區域。由圖7可以看出，使用一階單元且h=25.0m時的模擬波場與解析解在能量上有很大差異，模擬誤差主要來源于是數值耗散(縱波空間采樣率為0.25，橫波采樣率為0.5)。使用二階單元，h=10.0m時的模擬波場與解析解接近(縱、橫波的空間采樣率分別為0.1和0.2)。圖8為圖7深度為2000m處的波場，可見：二階單元h=10.0m和h=12.5m兩種網格的計算結果與解析解對應較好；當使用一階單元時，即使空間采樣率取0.1，也會產生很強的數值耗散。

圖7 θ=90°、γ=45°時tmax時刻的不同網格模擬的40Hz單頻波場與解析解的對比

圖8 θ=90°、γ=45°時tmax時刻、深度2000m處不同網格模擬的波場與解析解的對比

(20)

式中Ω為選取的計算區域。具體地，當θ=30°時，Ω為4600m≤x≤4900m，1200m≤z≤1400m；當θ=60°時，Ω為3500m≤x≤4500m，2000m≤z≤3000m；當θ=90°時，Ω為2000m≤x≤3000m，2000m≤z≤3000m。

圖9、表3給出了不同θ的一階和二階單元網格在不同傳播方向上的模擬誤差?？梢钥闯?，由于誤差主要受數值耗散的影響，對于相同θ，兩個對稱軸方向上的誤差相對關系與耗散隨傳播方向的變化曲線(圖5和圖6)一致；對于相同階次的單元，其網格尺寸與誤差在雙對數坐標系下呈線性關系：一階單元時，斜率約為2；二階單元時，斜率約為4；單元從一階提高到二階，網格越小，誤差減小越明顯。

表3 不同形態的一階和二階單元在不同傳播方向上的誤差統計

同時，計算了在一般性非規則網格中的3階TVD RK時間格式的DGFEM的誤差(圖9、表4)。圖10是誤差統計區域內的非結構性網格，呈無規律排列。圖9中非規則網格誤差曲線同樣表現為線性，而且在45°和135°兩個方向上沒有出現明顯的數值各向異性。

表4 非結構網格中一階和二階單元在45°和135° 方向上的誤差

圖9 不同θ的時一階和二階單元網格在不同傳播方向上的模擬誤差隨網格尺寸的變化曲線藍色、紅色和紫色線分別代表頂角為60°、30°、90°的周期性網格結果，綠色為非規則網格結果

圖10 模擬使用的非結構性網格

應用上述均勻各向同性介質模型進行點源激發模擬，以更加直觀地說明網格對DGFEM的波場特征的影響。震源為主頻40Hz的Ricker子波，時間步長Δt=8ms。圖11為h取不同值時一階直角三角形周期性網格與一般非結構化網格模擬得到的0.3s時刻的vz波場快照對比。圖12為二階直角三角形周期性網格與一般非結構化網格模擬得到的0.3s時刻的vz波場快照對比。由圖11可以看出，當網格階數為一時，隨著網格尺寸的增加，兩種網格的波場能量總體都有所下降。由h=20.0m的直角三角形周期性網格模擬的波場快照(圖11a右和圖12a右)可以看出，在135°和315°方向，縱波和橫波的波形變寬，旁瓣更加明顯，能量比45°方向弱很多，這是數值耗散所致。而在圖11b右和圖12b右所示的h=20.0m的一般非結構化網格模擬的性網格的波場快照上，觀察不到明顯的方向差異，說明非結構數值各向異性不明顯。圖12b右中有部分雜亂的波場，這是由于網格尺寸增大導致的點加載的震源噪聲。通?？梢詫⒄鹪匆愿咚狗植嫉姆绞郊虞d在震源點附近的一定范圍內以減弱這一噪聲[27]。

圖11 h取不同值時一階直角三角形周期性網格(a)與一般非結構化網格(b)模擬的0.3s時刻的vz波場快照對比

圖12 h取不同值時二階直角三角形周期性網格(a)與一般非結構化網格(b)模擬的0.3s時刻的vz波場快照對比

4 結論

本文通過構造周期性三角形網格模型，分析了基于Runge-Kutta的間斷Galerkin有限元方法的穩定性條件、數值頻散以及數值耗散，得到以下結論和認識。

(1)DGFEM穩定模擬的最大時間步長Δtmax與單元內切圓半徑存在線性關系。分析結果表明，等邊三角形的穩定性條件最寬松。

(2)從理論和實驗角度說明了基于局部Lax-Friedrichs數值流的DGFEM的弱頻散和強耗散特性，且在不同傳播方向上，二者都表現出方向各向異性。數值各向異性呈雙軸對稱性。等邊三角形網格的數值各向異性最弱，而直角三角形和鈍角三角形網格表現出的數值各向異性較強。一般的非結構性網格由于網格排列沒有一定規律，因此沒有表現出明顯的數值各向異性，說明在網格生成時，應盡量避免鈍角三角形和呈大面積排列的直角三角形，以減小數值各向異性的影響。

(3)誤差分析顯示，模擬誤差與網格尺寸在雙對數坐標系下呈線性關系。數值實驗表明，模擬誤差主要來源是基于局部Lax-Friedrichs數值流的數值耗散。實驗中，使用一階單元模擬的波場均有較強耗散。而選取二階單元，一個橫波波長內包含四個單元則耗散明顯減弱。

關于其他數值流形式的頻散和耗散特性，以及其對模擬精度的影響仍需進一步研究。

附錄A 矩陣Γ11、Γ12、Γ21、Γ22的具體表達式

式(11)中子矩陣Γ11，Γ12，Γ21，Γ22分別為

(A-1)

(A-2)

(A-3)

(A-4)

其中

(A-5)

(A-6)

(A-7)

(A-8)

(A-9)

(A-10)

(A-11)

(A-12)

(A-13)

(A-14)