多粒子GHZ糾纏實驗中Fisher信息的保真度方法獲取

李 巖

(太原師范學院物理系，晉中 030619)

1 引言

隨著多粒子體系量子糾纏的快速發展[1-5]和激光冷卻操控技術的日益進步[6，7]，以量子態糾纏或壓縮為基礎，實現高精度的物理參數估計成為了量子計量學的核心研究內容[8，9]，與此同時也促進了相關領域的快速發展，如原子干涉儀[10，11]，量子磁力計[12]，量子傳感[13]，量子模擬[4，5，14]等.在量子計量學中，Fisher信息充當著非常重要的角色，不僅對待測參數的誤差精度進行了限定[8，9]，如標準量子極限、海森堡極限，也對實現該精度的量子態糾纏進行了判定[15，16].基于參數估計理論中的無偏差估計和克拉美羅下界定理[17]，待估參數(如相位)的精度極限可表示為，F(θ)為體系的Fisher信息，表示對待測相位信息的認知程度，Fisher信息值越大表明對其掌握越準確、測量精度也越高.2009年，意大利科學家A.Smerzi研究員和L.Pezzè博士在探究Fisher信息的糾纏判定功能時發現，當分離量子態的Fisher信息大于體系所包含的粒子數目N時，可以判定體系含有量子糾纏，以該量子態作為試探態開展量子精密測量，其測量精度會超越標準量子極限，甚至逼近于海森堡極限[15].因此，開展Fisher信息在理論和實驗上的有效獲取成為了量子精密測量中不可或缺的研究內容.

Fisher信息是關于條件概率分布的函數，對概率分布的依賴性較強.一般地，條件概率分布的獲取較難，特別是在統計模型未知的情況下，條件概率的解析表達式很難得到，導致Fisher信息的獲取變得困難[18]，但從實驗的角度出發，條件概率的獲取并非難事，Fisher信息也可以從中得到.2014年，德國科學家在利用扭曲和轉動(Twist and turn)哈密頓量實現Rb87原子非高斯態的糾纏實驗中，首次采用了海林格距離(Hellinger distance)方法進行了Fisher信息的獲取，通過二階曲線擬合成功地抽取了系統的Fisher信息[19].與海林格距離方法類似，保真度也是用來反映概率分布之間差異的[20]，在量子力學中，量子態的保真度用來刻畫量子態之間的相似程度[21]，如衡量量子態在傳輸過程中的成功率[22]，刻畫量子態的相變[23]等，甚至可以用來進行量子態的糾纏判定[24]，它可以用來獲取系統的Fisher信息嗎?最近有學者提出可以利用動態保真度方法(洛施密特回波，Loschmidt echo)來獲取系統的Fisher信息[25]，但結合具體實驗數據的分析研究并未給出.基于常見的宇稱測量模型，本文對多粒子Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)糾纏實驗中Fisher信息的保真度方法獲取進行了系統的研究，通過對已有宇稱測量實驗數據[3-5]的蒙特卡洛模擬、保真度計算、曲線擬合等過程，獲取系統的Fisher信息，并將其與海林格距離方法的結果作簡單比較[26]，研究表明，保真度方法可以有效地獲取量子系統的Fisher信息，當體系所含粒子數目較少時，采用高階擬合方法獲取Fisher信息，反之，則采用二階擬合方法.文章第二部分介紹了宇稱測量模型及其在干涉儀和量子糾纏相干性獲取中的應用.第三部分從概率統計和量子力學的角度出發，闡述了保真度與Fisher信息之間的區別與聯系，給出了保真度獲取Fisher信息的表達式.第四部分為本文的核心部分，我們對多粒子(光子、超導量子比特、中性原子)GHZ糾纏實驗中的Fisher信息進行了保真度方法獲取，并將其與理論計算的最優Fisher信息進行對比.最后一部分對文章進行總結.

2 宇稱測量模型

在量子力學中，宇稱算符是一個可觀測量，其期望值可表示為準概率相空間中的Wigner函數[27].宇稱測量是量子計量學中一種常見的測量方式，早在1996年美國科學家J.J.Bollinger教授就利用宇稱測量模型結合最大糾纏探測態實現了海森堡極限的頻率估計[28].在利用光學馬赫曾德干涉儀進行高精度的相位估計中，宇稱測量算符可表示為[29]

除此之外，宇稱算符測量還用于糾纏判定實驗[24]中量子態相干性的獲取，其平均值可以表示為

其中，Pj代表被測量子態包含j個自旋向上粒子|↑〉的概率，或表示含有j個激發量子態的概率[30].當實驗產生的多粒子GHZ糾纏態受外界因素影響時，宇稱算符的平均值表示為如下關系[3-5，24，30]，

其中，V代表量子態的相干性，也稱為可見度(vsibility)，θ表示可以調控的相位.同樣地，待測量子態只有偶數激發和奇數激發兩種狀態，故

這樣，宇稱測量的結果用概率表示為

上述式(5)和式(6)在下面多粒子GHZ糾纏實驗的Fisher信息保真度抽取中會用到，也是本文研究所要用到的條件概率分布，第四部分有詳細說明.

3 保真度與Fisher信息

從經典概率統計的角度出發，保真度可以表示為[20]

其中，pi={pi1，pi2，…，pim}和qi={qi1，qi2，…，qim}分別代表兩組相近的概率分布，f(pi，qi)也稱為概率保真度.在量子力學中，量子態可以用希爾伯特空間中的一組完備基展開，表示為其中的一個矢量，其物理意義對應于概率論中的概率幅，即概率的1/2次方[31].因此，量子態的保真度可以表示為兩個態矢量作內積的絕對值，即f(ψθ，ψθ+δθ)=|〈ψθ|ψθ+δθ〉|，其中，|ψθ〉可以代表式(7)中的由于本文僅考慮純態保真度的相關計算，所以混合態保真度部分不作過多介紹，有興趣的讀者可見文獻[32，33].

在量子測量實驗中，對物理參數的高精密測量最終會映射到與該參數有關的相位估計中[8，9]，具體表現形式為條件概率分布的獲取，即p(ξ|θ)=Tr[?ρ(θ)?M(ξ)]，?ρ(θ)表示含有相位θ信息的量子態密度矩陣，這里?M(ξ)表示正算符測度(Positive-Operator Valued Measure，POVM)，是待測物理量的算符表示，滿足完備歸一性，通常Fisher信息可以表示為

其中，p(ξ|θ)表示在給定相位θ條件下對可觀測量測量所得值為ξ的條件概率.將式(8)拓展到量子力學中，對測量算符?M(ξ)進行優化選取，就得到了Fisher信息的最大值，記為量子Fisher信息FQ(θ)[9].與保真度的物理意義一樣，Fisher信息也是用來表征近鄰量子態之間差別的，不同之處是，Fisher信息是用來衡量量子態之間的可區分程度，對差異進行細畫，表征量子態之間的統計速度[15，16，32]，即統計距離在概率空間的變化率，而保真度則用來計算量子態之間的宏觀區別，表征量子態之間的“躍遷概率”[34].

近鄰量子態測量后的條件概率保真度可以表示為

對其進行泰勒展開(保留高階項)，可得保真度與Fisher信息之間的關系式為[33]，

從上式可以看出，二階項系數包含系統的Fisher信息，高階項會對二階項起到修正作用[26].當δθ較小時，忽略高階項(三階項以上)，我們便得到了Fisher信息與保真度之間的關系，F(θ)=-4?f(θ)/?(δθ)2，也可記作Fisher信息等于4倍的保真率[33].顯然，若保真度f(θ)為1，則保真率為0，F(θ)也為零，表示近鄰量子態不可區分；若保真度不為0，則保真率越大，Fisher信息越大，近鄰量子態越容易區分.將該推理應用于干涉儀的相位估計中，則表明Fisher信息可以將量子態之間的差異(保真度)進行細化，依據克拉美羅下界定理，系統的Fisher信息越大，意味著待估參數的誤差精度△θ越小，量子態之間的差別刻畫地越精細.

4 利用保真度方法從實驗數據中獲取Fisher信息

4.1 多光子GHZ糾纏實驗中Fisher信息的獲取

在二能級粒子組成的量子系統中，N粒子的GHZ糾纏態表示為[28]

其中，|0〉和|1〉分別代表粒子所處的量子狀態，如基態和激發態.在多光子GHZ糾纏態的產生實驗中[3]，為了獲得量子態的相干性，對測量算符進行了理論計算和實驗數據分析，其中為泡利算符.與式(1)對比，算符的本征值也為+1或-1，故可看作是宇稱測量算符的操作表示.考慮測量過程中噪聲的影響，其平均值表示為

其中，P(+1|θ)和P(-1|θ)分別為在給定相位θ條件下，宇稱測量算符測量值為+1或-1的條件概率，具體表示為式(5)和式(6)，將其代入Fisher信息的表達式(8)，便得到系統的Fisher信息為

對上式進行最大化，得到最優Fisher信息為

優化相位為θopt=π/(2N)+nπ/N，表示實驗上在相位θopt附近進行Fisher信息抽取時，可得到Fisher信息的最優值.此處，為了與理想情況下的量子Fisher信息FQ=N2(V=1)進行區分，將式(13)最大化所得的Fisher信息記為最優Fisher信息Fopt[26].基于以上論述，依據保真度的定義(9)及其與Fisher信息的關系(10)，我們便可通過條件概率p(+1|θ)或p(-1|θ)的獲取開展Fisher信息的擬合抽取研究.

首先，我們對多光子GHZ糾纏實驗中的宇稱測量數據進行獲取，即對文獻[3]圖2(d)中的最優相位θopt附近的數據點依次進行獲取，包括平均值及其誤差[26]；其次，對獲取數據點進行正態分布的蒙特卡洛數值模擬，得到更多數據，即條件概率，…，P(+1|θopt-δθ)，P(+1|θopt)，P(+1|θopt+δθ)，…，隨后將其代入公式(9)進行保真度計算；最后，利用保真度與Fisher信息之間的關系式(10)進行二階擬合或高階擬合獲取Fisher信息.

圖1給出了N=2和N=8光子GHZ糾纏實驗中保真度隨相位間隔δθ的變化情況，其中綠色圓點代表m=1000次蒙特卡洛數值模擬后計算得到保真度的平均值，誤差棒表示其誤差變化范圍.通過二階曲線擬合我們得到2光子的Fisher信息為Fe=3.442±0.317，該值與優化Fisher信息公式(14)所得值Fopt=3.463±0.002一致(V=0.930見文獻[4]).當相位間隔δθ較大時，需考慮高階項影響[26]，通過曲線擬合得到8光子的Fisher信息為Fe=19.562±5.172，接近于優化Fisher信息值Fopt=18.5344±1.997.將上述Fisher信息獲取結果與海林格距離方法所得結果進行對比[26]，兩者一致，進一步驗證了保真度方法能夠有效地獲取系統的Fisher信息.此外，從公式上看，二者在本質上沒有區別.

圖1 多光子GHZ糾纏實驗數據中Fisher信息的保真度方法獲取.綠色圓點表示保真度，誤差棒代表其標準差，紅色實線為曲線擬合結果，黑色虛線代表其誤差變化范圍.(a)N=2光子實驗數據中保真度隨相位間隔δθ=0.045π的變化.(b)N=8光子實驗數據中保真度隨相位間隔δθ=0.031π的變化.Fig.1 FI extraction from multi-photon GHZ experimental data by fidelity method.The green dots are the fidelity and the errorbar denotes the standard error，red line denotes the fitting result and black dashed lines mean the errorregion.(a)The fidelity of N=2 photons'data with respect to the phase intervalδθ=0.045π.(b)The fidelity of N=8 photons'data with respect to the phase intervalδθ=0.031π.

4.2 多超導量子比特GHZ糾纏實驗中Fisher信息的獲取

與多光子GHZ糾纏實驗中量子相干性的獲取過程類似，超導量子比特GHZ糾纏實驗中也采用了相同的方法[4]，其宇稱測量算符可以表示為其在量子態(11)下的平均值為V cos(Nθ+φ)，Peven和Podd分別代表通過探測得到奇數或偶數個量子比特處于態|1〉的概率.通過對糾纏實驗中宇稱測量數據的獲取，即最優相位θopt附近的數據(見文獻[4]中圖3(c))，蒙特卡洛數值模擬[26]及保真度計算，我們便可利用式(10)得到系統的Fisher信息.

圖2(a)和圖2(b)分別給出了N=3和N=10超導量子比特GHZ糾纏實驗中保真度隨相位間隔δθ的變化.基于二階曲線擬合方法(即忽略高階項)，我們得到3超導量子比特的Fisher信息為Fe=8.363±1.769(紅色實線，黑色虛線代表誤差)，其與理論計算所得優化Fisher信息Fopt=8.363±0.278一致，表明了保真度可以有效地獲取系統的Fisher信息.在10量子比特的Fisher信息抽取中，我們考慮了高階項的影響，通過擬合得到Fe=43.684±17.847，其與優化Fisher信息Fopt=43.56±4.224也一致(V值見文獻[4])，誤差部分有所偏差.

圖2 多超導量子比特GHZ糾纏實驗中Fisher信息的保真度方法獲取.綠色圓點表示保真度，紅色實線為擬合結果，黑色虛線代表其誤差范圍.(a)N=3量子比特數據中保真度隨相位間隔δθ=0.02π的變化.(b)N=10量子比特數據中保真度隨相位間隔δθ=0.01π的變化.Fig.2 FI extraction from multi-qubit GHZ experimental data by fidelity method.The green dots are the fidelity and red line is the fitting result，black dashed lines denote the error region.(a)The fidelity of N=3 qubits'data with respect to the phase intervalδθ=0.02π.(b)The fidelity of N=1 qubits'data with respect to the phase intervalδθ=0.01π.

4.3 多原子GHZ糾纏實驗中Fisher信息的獲取

在利用Rb87原子產生GHZ糾纏態的實驗中[5]，量子相干性也是通過對宇稱算符=的測量獲取的.實驗中產生的糾纏態在經過含有相位θ的交錯磁場作用后進行宇稱算符測量，結果表示為余玄關系，即=V cos(Nθ).與光子和超導量子比特中的表示一樣，Peven和Podd分別代表探測到偶數和奇數個原子處于量子態|1〉的概率，所以Fisher信息的獲取過程也類似.首先從實驗數據圖中獲取優化相位θopt附近的宇稱測量平均值及誤差(見文獻[5]中圖3(a))；其次，利用高斯型的蒙特卡洛模擬方法對數據點進行數值模擬；最后，利用公式(10)進行曲線擬合獲取Fisher信息.

與圖1和圖2類似，在圖3中我們給出了N=4和N=12原子GHZ糾纏實驗中Fisher信息的保真度方法獲取過程.通過對4原子的實驗數據獲取及模擬得到其保真度的平均值(綠色圓點)和標準差(綠色誤差棒)，采用高階擬合方式我們得到Fisher信息為Fe=8.637±1.744，理論計算得到優化Fisher信息為Fopt=9.217±0.267(V見文獻[5]).同樣地，12原子糾纏實驗數據中的Fisher信息為Fe=28.049±6.882，其與優化Fisher信息Fopt=30.735±2.528也相差較小.通過對上述三個實驗中Fisher信息的保真度方法獲取對比分析，我們得出保真度方法可以有效地獲取系統的Fisher信息；當粒子數目N較小時，可采用二階擬合方式來獲取系統的Fisher信息；當粒子數目N較大時，需采用高階擬合方式獲取Fisher信息.

圖3 多原子GHZ糾纏實驗中Fisher信息的保真度方法獲取，綠色圓點表示保真度，紅色曲線為擬合結果，黑色虛線表示其誤差范圍.(a)N=4原子實驗數據中保真度隨相位間隔δθ=0.044π的變化.(b)N=12原子實驗數據中保真度隨相位間隔δθ=0.02π的變化.Fig.3 FI extraction from multi-atom GHZ experimental data by fidelity method.The green dots are the fidelity and the red line denotes the fitting result，black dashed lines mean the error region.(a)The fidelity of N=4 atoms'data with respect to the phase intervalδθ=0.044π.(b)The fidelity of N=12 atoms'data with respect to the phase intervalδθ=0.02π.

5 結 論

綜上所述，本文首先研究了保真度與Fisher信息之間的區別與聯系，給出了保真度方法獲取Fisher信息的表達式.基于常見的宇稱測量模型，我們深入研究了多粒子GHZ糾纏實驗中Fisher信息的保真度方法獲取，通過與理論計算給出的優化Fisher信息對比，證明了保真度方法獲取Fisher信息的有效性.與此同時，我們發現當粒子數目較少時，可采用二階擬合方式獲取系統的Fisher信息；當粒子數目較多時，需考慮高階項影響，才能準確獲取系統的Fisher信息.隨著量子體系粒子數目的增加，對其進行集體性的相干操作將變得困難，實現足夠小相位間隔(δθ)的量子操作更是不易，因此在獲取大尺度量子系統的Fisher信息時，高階項的影響會變得重要，不能忽略.