數學直覺錯誤的來源分析及其蘊藏的教育價值

摘? ? 要：數學直覺是人腦對數學問題及其本質屬性的直接感悟，具有或然性特征. 如果直覺依靠的經驗出現錯誤，或是其背后所蘊含的邏輯出現錯誤，都可能導致直覺出現錯誤.仔細研究錯誤產生的原因，比如概念運用不恰當、不完全歸納、已有經驗局限性、模型運用不當、研究方法固化、負遷移、視覺圖像模糊隱蔽等，再巧妙地利用數學歷史發展進程中的直覺錯誤以及學生容易發生的直覺錯誤等資源創設情境，可以激發學生的學習積極性，使學生從經驗性直覺向理性直覺轉化，并學會用邏輯的方法來論證直覺.

關鍵詞：數學直覺;直覺思維;直覺錯誤

一、數學直覺的內涵及“或然性”特征

數學直覺是人腦對數學問題及其本質屬性的直接感悟.它以一定的知識經驗為基礎，不受固定邏輯規則約束，并以洞察、預見或者合情推理等直接推斷形式，對各種思想組合進行敏銳的分析、鑒別并選擇，從整體上把握數學事物的規律.

數學直覺思維一般表現為直念、靈感和想象這三種具體的形式.它不是有意識地按照周密確定的邏輯程序加以思考和判斷，也不一定有可靠的依據，而是人腦基于數學對象的有限信息，以其高度省略、簡化、濃縮的跳躍式方式，達到對數學問題的結構及其關系的某種突然的領悟和洞察.它是對數學問題中的未知量及其關系做出的一種似真判斷，因而其結論往往不完善，具有經驗性.如果直覺依靠的經驗出現錯誤，或是其背后所蘊含的邏輯出現錯誤，都可能導致直覺出現錯誤.因為直覺思維傾向于把信息以圖像形式進行編碼，比較隨意、靈活、多變，它不依賴于嚴格的證明，只依據事實鏈條中的少數幾個環節，一旦視覺化出現偏離，就會導致錯誤的結果.法國著名數學家彭加勒曾憑直覺斷言，不可能存在富克斯函數，結果證明他是錯誤的.因此，由直覺思維得出的結論具有或然性特征，不總是具有嚴格意義上的精確性，最終還需要邏輯或實踐加以檢驗.

二、數學直覺出錯的來源分析及其教育價值

數學教育應及時捕捉直覺錯誤背后的邏輯錯誤，研究其產生的原因，巧妙利用數學歷史發展進程中的直覺錯誤以及學生容易發生的直覺錯誤等資源創設情境，激發學生的學習積極性，使學生從經驗性直覺向理性直覺轉化，用邏輯的方法來論證某些直覺是錯誤的.以下筆者從認知視角探討數學直覺錯誤產生的原因及教育價值.

（一）概念運用不恰當引發的直覺錯誤

1.定義概念時未抓住事物的本質

有些概念的關鍵特征非常隱蔽，學生往往根據常見的一些事例，憑借直覺給出數學概念的定義，但經不起仔細推敲.而通過反例教學，可加深學生對基本概念的理解，發現并糾正學習中的錯誤，培養學生的創新能力和良好的思維品質.以棱柱的概念為例，教材中給出的棱柱概念包含三個要素：第一要素是“有兩個面互相平行”，這是學生非常認可的一個條件;第二要素是“其余各面都是四邊形”;第三要素是其余各面“每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”.對于第二、第三要素，學生往往認為可以壓縮成“其余各面都是平行四邊形”即可.如何才能讓學生明白“有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體未必是棱柱”呢？這就需要設計出反例，來說明確實有滿足這樣條件的非棱柱的幾何體.如圖1，該幾何體滿足面[MPNQ][?]面M′P′N′Q′，其余各面都是平行四邊形，但由這些面圍成的幾何體卻不是棱柱[1].

2.概念準確但理解不到位

數學概念理解上出現的偏差，往往會導致在對事物的判斷上產生直覺錯誤.學生只有準確把握數學概念的內涵，才能恰當地運用數學知識，科學地分析、解釋大千世界中的數學現象.例如，連續5次擲一枚硬幣，認為“如果前4次都正面朝上，那么第5次正面朝上的可能性不大”，就是對概念的理解不到位.事實上，概率刻畫的是事件發生的可能性大小，而不是實際一定要發生什么，這個問題源于對概率概念的曲解.對于平均數問題，統計上常采用“掐頭去尾平均數”，從而減少極端值對平均數結果的影響.統計學不只用算術平均數，還常用眾數、中位數、方差、均方差、變異系數等指標進行測量.

（二）不完全歸納引發的直覺錯誤

對于操作性知識，人們基于已有的大量成功經驗，總結出貌似成功、“放之四海而皆準”的程序步驟，而其直覺背后往往存在著瑕疵.教材也不例外.反例構造能夠推動數學學科的發展，在數學教材的發展和完善中具有同等重要的作用.教師要能引領學生，敢于挑戰教材權威，發現其紕漏，重建其科學性.例如，求函數零點近似解的一種計算方法——二分法，到底何時“終止計算”？從熟悉的大量事實出發，教材認為，當區間的兩個端點按照給定的小數“所取的近似值相同”時，這個相同的近似值就是函數[y=f（x）]的近似零點，此時計算終止.筆者曾構造了一個反例，即“求函數[f（x）=][x3-0.45x2-0.45x-1.45]的一個正實數零點（要求零點精確到0.1）”，按照“所取的近似值相同”為結束運算的條件，但根本終止不了計算.可見“所取的近似值相同時計算終止”這種說法具有很大的局限性，不能保障每一個函數求近似零點都能取得成功.

（三）已有經驗局限性引發的直覺錯誤

1.已有數學經驗的局限性

直覺以已有的知識和經驗為基礎，往往認為反常規的結論是錯的，因此相關知識與經驗的局限性可能誘發錯誤直覺.直覺出錯既能引起學生的好奇心，使學生全神貫注地投入到數學探究當中，也能讓學生體會到數學家敢于掙脫既有觀點的束縛、鍥而不舍地追求真理并不斷創新的精神.例如，古印度國王欣然同意國際象棋發明者的要求，在棋盤的第1～46個格子里依次放上[21～246]顆麥粒，經計算這些麥粒總顆數高達[264-1]，其金口玉言難以兌現.又如，把一張普通的紙對折30次，感覺其厚度不會超過喜馬拉雅山的高度，是因為學生只有線性增長、二次函數增長等數學經驗，而缺乏指數函數爆炸式增長的數學經驗.再如，沒有極限的思想，就會拒絕接受“0.9的循環小數等于1”，而拼命維護自己的“0.9的循環小數小于1”的錯誤直覺.

2.已有生活經驗的局限性

人們的日常生活經驗，往往使人產生潛在的假設，引發直覺的錯誤.與“重的物體下降速度快” 類似，“將兩個圓的半徑延長同一個數值，半徑大的圓的周長增加量大”這樣的結論也是錯誤的.這類違反生活常識的出乎意料的問題，恰好能夠誘發學生的好奇心，激發其探究興趣，成就邏輯的魅力，讓學生從經驗性直覺向理性直覺轉化.運算和推理是數學的精髓，可以超越人的直覺和感覺經驗，準確掌握事物，它能夠辨別真偽，讓人免受蒙騙.

例如，良鄉塔始建于隋代，唐代重修，高44.5米.北京市房山區昊天學校就坐落在古老的良鄉塔下.該校學生對良鄉塔早已司空見慣，而將其編成一道數學題，卻可以引起學生強烈的反響：

設想地球是一個表面光滑的球，有一條很長的繩子，恰好繞良鄉塔基座所在經線的地球一周.把這根繩子再接長400米，圍成一個和上述圓共面且同心的大圓，問這個大圓是穿過良鄉塔還是越過良鄉塔的頂端（圖略）？

想象往往是科學發現的“思想實驗室”.在日常生活中，對于400米的長短，學生有著豐富的經驗，因為這就是400米標準操場一圈的距離.憑直覺想象，只接長400米的繩子，其形成的圓與地球之間的空隙應該是極小的.可事實并非如此，“空隙”處容納一座高44.5米的良鄉塔綽綽有余.這超越了人的直覺經驗，甚至是對人的直覺的反叛.學生眼望著良鄉塔，第一時間的感觸是“這怎么可能呢”？教師不妨讓學生計算、驗證.

邏輯是數學這座“高樓大廈”堅不可摧的可靠保證，是數學神奇力量的源泉.扎實的基礎知識和基本技能是邏輯思維的前提，也是直覺判斷的源泉.事實上，設地球半徑、繩子接長后圍成的圓的半徑分別為[r]，[R]，則地球這個圓、繩子接長后圍成的大圓周長分別為[2πr]，[2πR].設這兩個圓的周長的差[2πR-2πr=l]，則[R-r=l2π].取[l=400]，則[R-r=4002π≈63.66>44.5]，可見繩子能夠越過良鄉塔的頂端.當然，還可以口算繩子恰好過塔尖時，繩子需增加的長度為[2πR-2πr=2π（R-r）=2π×44.5<2π×50=100π≈314<400]，可見繩子能夠越過良鄉塔的頂端.盡管無法實際操作驗證，但通過推理，能夠幫助人們突破感官、經驗、常識的局限性.“總而言之在數學創新中，既需要邏輯思維，也需要直覺思維和靈感思維，而且只有三者有機地結合起來，才能引導出成功的數學發明.”[2]

（四）模型運用不當引發的直覺錯誤

對于可能性大小的問題，概率模型選擇不當，可導致直覺預測不準確.教師要善于提出具有吸引力、挑戰性的問題，在教給學生更傳統、更正式的演繹和證明方式之前，培養他們對材料的直覺理解才是首要任務[3].通過實驗，可使抽象的概念和復雜的計算形象化、具體化，引起學生的興趣，顛覆學生的認識，引領學生選擇正確的模型解決問題.例如，一年按365天來計，若某學校同年級同年出生的學生有366人，根據鴿籠原理，至少有兩個人在同一天出生，這是一個確定性的必然事件.又如，若某班有50名學生，至少有2人生日相同的可能性很大，大到幾乎是百分之百。學生直觀上很難認同這一觀點，因此課上可以當場做“生日實驗”：按照1～12月出生的先后順序分成12組，同一個月出生的學生自報出生具體日期.只要很短的時間，往往就可證實有兩個及其以上學生生日相同.當然，也可以提前將學生出生的月日形成4位數，在課堂上用計算機按照升序或降序來排列，瞬間就可能發現有些學生的出生日期相同.本題不能用鴿籠原理這個模型解決問題，而應該用對立事件的概率模型進行計算.可以推出在[n]個人中，至少兩人生日相同的概率計算公式為：[Pn=1-An365365n]，進而[P50≈0.97].

（五）研究方法固化引發的直覺錯誤

1.數學手段選用不當

命題人本著多想一點、少算一點等理念設計數學問題，對于“大數據”處理，主觀上認為善于借助運算工具，可以使問題迎刃而解.但此想法往往存在隱患，極易誘發直覺上的錯誤.教師要引導學生，讓他們明白既要“善假于物”，也要對所借助的工具進行審慎思考，知其個性，不盲目運用.例如：

根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與[MN]最接近的是（? ? ）（參考數據：lg3≈0.48）

[8.26×1092，MN-1073]= [33611080-1073]≈1.74·1092，則[1093-MN>MN-1073].該結論還可以通過嚴格推理論證而得（此處略），從中可以看出應選C而不是D.

為什么會出現選項上的歧義呢？問題出在題目所給的對數參考數據精度太低，導致對數值“失之毫厘”，還原成的真實值時“謬以千里”，這遠遠超出人們的直覺.對數實現了由乘、除、冪到加、減、乘的驚人轉換，使人們從大量繁復的乘除冪運算中解放了出來，顯示了數學文化的威力，但對數使用不當，也可能引來致命性的直覺上的錯誤.

2.機械地數學化生活問題

凸顯數學的應用價值、解決經濟生活中真實問題的數學問題，雖情境新穎別致，但稍有不慎，就有可能直覺出錯，背離命題的初衷.“學習過程必須以學生為主體，讓學習者‘在場，以學習者的現實生活為基礎，通過體驗真實，允許學習者自由暢想.”[4]可以把封閉問題按照開放性問題來處理.

例如，北京市某中學的一道基于真實情境的考題為：

某網店在2015年元旦開展慶新年網購促銷活動，規定“全場6折（原價的百分之六十）”，在元旦當天購物還可以再享受“每張訂單金額（6折后）滿300元時可減免100元”.某單位在元旦當天欲購入原價48元（單價）的商品42件，為使花錢總數最少，他需要下的訂單張數為（? ? ）

A.1? B.2? C.3? D.4

乍一看題目，推算方法無非是用有理數的加減乘除運算.提供的參考答案為C.猜測其思路如下：

打6折后的單價為[48×0.6=28.8]（元），10件打6折后花錢數為288元，11件打6折后的錢數為288+28.8=316.8（元）.因為此時已滿300元，可減免100元，所以實際上花錢316.8-100=216.8（元）.因為[42=3×11+9]，故他需要下3張訂單，這3張訂單購買的件數分別為11，11，20，故選C，單位實際付費[48×0.6×42-3×100=1209.6-300=909.6]（元）.

然而在講評該題時，卻出現了很多意想不到的問題.有學生認為答案D也對，可以下4張訂單，購買的件數分別為11，11，11，9.學生經過討論，認為將“他需要下的訂單張數”改為“他需要下的最少訂單張數”，就能避免歧義問題的出現，唯一答案就是C了.但有一位“智者”學生認為，要是購入商品44件（比原計劃多購入2件），這4張訂單購買的件數都為[11]，事實上花費的錢數為[48×0.6×44-4×100=867.2]（元）.花錢少，還多得2件商品，此法需要下4張訂單，答案就只能選D，就不是提供的答案C了.

教育家顧明遠先生指出：“數學教學不是單純地向學生傳授數學的定理和公式，不是簡單地讓學生做題，而是傳播人生觀、世界觀、價值觀，傳播中華優秀文化的重要途徑.” [5]教師面對此種教學情境，要怎樣實現這樣的教學理念呢？這給了人無限的遐想！

（六）負遷移引發的直覺錯誤

1.類比產生負遷移

一些表面特征相似的問題也會導致錯誤的類比和范疇化，這時已有的知識經驗就成為問題解決的障礙.如類比實數乘法對加法的分配律，將對數、三角運算也實施分配率，得到[sin（α+β）=sinα+sinβ]，[loga（M+N）=][logaM+]

[logaN].其“潛邏輯”是錯誤的，認為[sin]與[α+β]、[loga]與[M+N]中存在乘法關系.向量的運算與實數運算的相似性很強，類比實數運算的結論可能得出錯誤的向量結論.對此，教師可以通過特例檢驗法，來糾正學生的錯誤認識.

2.從具體到抽象負遷移

觀察具體數學對象的關系結構特征，往往可以將其拓展升華為適用范圍更廣的一般結論，有時直覺上該結論似乎對，但經不起推敲.教師要引導學生認真辨析拓展后的結論是否成立，不能人云亦云.例如，將具體的方程求解問題的結論“方程[（x2-4）（x2-1）=0]的解集，可以從求方程[x2-4=0]的解集與方程[x2-1=0]的解集的并集而得到”，遷移到抽象的方程求解問題的結論，得到“若方程[f1（x）=0]與[f2（x）=0]的解集分別是[F1]、[F2]，[f（x）=f1（x）f2（x）]，方程[f（x）=0]的解集是[F]，那么[F=F1?F2]”.但這個結論是錯的，舉例為證：如[f1（x）=x2-1]，[f2（x）=lgx]，則[f（x）=（x2-1）lgx]，[F1=-1， 1]，[F2=1]，請注意[f（x）]的定義域為[（0， +∞）]，因此[F=1]，并沒有得到[F=F1?F2].因而該直覺的結論是錯誤的.

（七）視覺圖像模糊隱蔽引發的直覺錯誤

1.難以觀察到的函數圖象

利用高科技軟件，作出來的函數圖象似乎千真萬確，但它們也可能欺騙人們的視覺，真相可能隱藏得非常深，稍不留神，就可能產生錯誤的結論.教師應該首先引領學生進行邏輯上的思考，然后做出大膽猜測，最后再借助軟件觀察結果，而不能以軟件代替思考.例如，在幾何畫板中作出[y=2x]與[y=x10]的圖象，容易發現它們共有兩個交點A、C（如圖2）.但事實上，在第一象限還有1個交點B，它在比較“遙遠”處，幾何畫板都難以看到.通過Desmos軟件，花費大量的時間后，可以找到這個交點B（如圖3，注意為了能夠表示出這個交點，圖中橫、縱坐標單位長是不一致的），可觀察到B的橫坐標接近60，縱坐標高約[5×1017].事實上，交點B的存在性是可以進行邏輯證明的（此處略）.

2.視覺難以辨認出來的細微區別

人們似乎認為，看到的東西應該是千真萬確的.但這種直覺也可能是錯誤的，看到的東西未必為真，也可能被欺騙.教師要引導學生，既能直觀感知數學對象的特征，還能進行深入的邏輯分析，辨別真偽，揭露出表相后面的真相.例如，圖5的“長方形”是由圖4的正方形剪、拼得到的，兩者的面積應該相等，但是“長方形”的面積是65.比正方形多1.實際上，圖5并不是長方形，拼得的“對角線”附近其實是“有縫”的，請看筆者從幾何畫板中按真實尺寸作出的圖（見圖6），其實中間的縫隙，是因為A、B、C三點在給定的3，5，8數據下不共線， M、N、P三點同樣不共線.也就是說∠ABC是一個非常接近平角的鈍角，∠PNM也是.對此，我們可以結合相似三角形的性質用反證法邏輯推理給出證明.

三、結語

數學直覺出現的錯誤并不可怕，深挖直覺錯誤背后的邏輯錯誤，反而能夠調動學生的積極性，培養學生的創造性.而由于數學工具運用不當出現的偏差，恰好能啟示學生，要準確運用已知的先進工具，并且要在已有工具的基礎上，不斷推陳出新.教師要不斷挖掘數學直覺錯誤方面的典型案例，引領學生在直覺中發現和創造，在邏輯中形成嚴謹的思維習慣.[□][◢]

參考文獻：

[1]王淑香，宋勁松，李春雷.一個“美輪美奐”的棱柱概念反例圖[J].教學月刊·中學版（教學參考），2009（8）：50-51.

[2]佟健華.數學創新思維的魅力[J].數學教育學報，2000（3）：39.

[3]杰羅姆·布魯納.布魯納教育文化觀[M].北京：首都師范大學出版社，2011：63.

[4]殷世東.課堂教學活動邏輯：詩性邏輯[J].教育研究，2017，38（10）：103.

[5]顧明遠.數學很有趣[J].人民教育，2016（10）：73.