活用一次函數巧解坐標題

左效平 崔成進

一、用一次函數探解動點的坐標

例1（2020·河南）如圖1，在△ABC中，∠ACB = 90°，邊BC在x軸上，A（-2，6），B（7，0）. 正方形OCDE的兩邊分別在△ABC的兩邊上，將正方形OCDE沿x軸向右平移，當點E落在AB邊上時，點D的坐標為（ ）.

A. （1.5，2） B. （2，2） C. （2.75， 2） D. （4，2）

解析：由A（-2，6）知正方形OCDE的邊長為2. 設E（a，2），則D（a - 2，2）.

設直線AB的解析式為y = kx + b，則[-2k+b=6，7k+b=0，]解得[k=-23，b=143，]所以y = [-23]x + [143].

由點E（a，2）在直線AB上，可得a = 4，所以D（2，2）. 故選B.

解答要點：一是確定正方形的邊長與動點坐標的關系;二是用待定系數法確定直線的函數解析式;三是利用函數解析式與動點的關系求解.

二、用一次函數探解特定正方形頂點的坐標

例2（2020·甘肅·天水）如圖2，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，O是原點，E（2，3），則點F的坐標為 .

解析：過E作EB⊥x軸，垂足為B，過F作FA⊥EB，交BE的延長線于A，

易證△BOE ≌ △AEF，則AE = OB.

因為E（2，3），所以AE = OB = 2，BE = 3，則AB = 5，于是設F（m，5），

易求得直線OE的解析式為y = [32]x.

因為EF⊥OE，所以設直線EF的解析式為y = [-23]x + b，由E（2，3）在直線EF上可得b = [133]，

則y = [-23]x + [133]. 由F（m，5）在直線EF上，可得m = -1，則F（-1，5）. 故應填（-1，5）.

解答要點：一是構造一線三直角模型;二是運用互相垂直的兩直線的解析式中k值之積為-1，確定EF的解析式;三是根據點在圖象上求解.

同類演練：（2020·江蘇·常州）數學家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標幾何思想，主張取代數和幾何中最好的東西互相以長補短. 在菱形ABCD中，AB = 2，∠DAB = 120°，如圖3，建立平面直角坐標系xOy，使得邊AB在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，則點C的坐標是 .

答案：（2，[3]）