哥德巴赫猜想的Python驗證

王德貴 丁大為

哥德巴赫猜想，是世界近代三大數學難題之一。華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數學家。1936—1938年，他赴英留學，師從哈代研究數論，并開始研究哥德巴赫猜想，驗證了幾乎所有的偶數猜想。1966年，華羅庚的學生陳景潤在對篩法做了新的重要改進后，證明了“1+2”，他證明了任何一個充分大的偶數，都可以表示為兩個數之和，其中一個是質數，另一個或為質數或為兩個質數的乘積，被稱為“陳氏定理”，這在當時影響很大，但之后就再也沒有什么研究進展了。

一、哥德巴赫猜想內容

哥德巴赫猜想，是數學史上和質數有關的數學猜想，影響了一代又一代數學家。

1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了一個大膽的猜想：任何不小于3的奇數，都可以是三個質數之和（如：7=2+2+3。當時1仍屬于質數）。

同年，6月30日，歐拉在回信中提出了另一個版本的哥德巴赫猜想：任何偶數，都可以是兩個質數之和（如：4=2+2。當時1仍屬于質數）。

這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。由于1已經不歸為質數，所以這兩個猜想分別變為：

任何不小于7的奇數，都可以寫成三個質數之和的形式;

任何不小于4的偶數，都可以寫成兩個質數之和的形式。

20世紀，隨著計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對于更大的數依然成立。但自然數是無限的，無法判斷是否存在某一個足夠大的偶數，成為哥德巴赫猜想的反例，但數學家們仍在不斷的探索中，尋求著各種不同的解決方法。

如果想了解更深入的知識，大家可以參考相關資料。今天我們只利用Python做基本驗證。

二、創意來源

在Python學習過程中，嘗試解決一些問題，特別是世界數學難題，不僅是一種樂趣，同時也能學到數學知識，了解一些數學發展歷史，也可以提高學生的學習興趣和學習積極性，更能加深理解程序的優化與調試。

三、設計思路

“關于偶數的哥德巴赫猜想”，我們可以將要分析的任一正整數減去一個質數，然后看看結果是不是也為質數，這是一種方法;還有一種方法就是遍歷質數，看看有沒有符合條件的兩個質數。

“關于奇數的哥德巴赫猜想”，我們可以將要分析的任一正整數減去一個質數，然后看看結果是不是也為質數，這是一種方法;還有一種方法就是遍歷質數，看看有沒有符合條件的三個質數。

這幾種方法的基礎都需要把正整數范圍內的質數先求出來。我們用列表形式將質數存儲，計算和訪問很方便。

四、Python驗證

1.關于偶數的哥德巴赫猜想

任何不小于4的偶數，都可以寫成兩個質數之和的形式。

這個猜想的理解是，4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+

7，12=5+7……有無數個，我們無法一一列舉，通過編程也只能驗證有限范圍，否則運行時間將無限延長。

（1）方法一：遍歷質數列表，取出兩個質數驗證

程序有兩部分，一是建立質數列表，二是在列表中確定有沒有滿足條件的質數。有一組則程序結束，并顯示出來（圖1）。

也可以利用自定義函數，程序如圖2。

要求出不小于這個偶數范圍內的質數，于是把質數獲取做了自定義函數，利用列表把質數列舉出來，然后便于下一步計算和驗證。

輸入不小于4的偶數后，調用自定義函數，把這個范圍內的質數放在列表里，然后利用枚舉算法，在列表中取兩個數，驗證是否等于輸入的偶數，如果等于偶數，即輸出。

這兩個程序運行結果是完全一樣的，它們都是在質數列表里任意取兩個數，驗證其和是不是等于輸入的偶數。

（2）方法二：判斷偶數與質數的差是否為質數

這種方法減小了時間復雜度，運行速度更快，程序如圖3。

測試結果如圖4。

2.關于奇數的哥德巴赫猜想

任何不小于7的奇數，都可以寫成三個質數之和的形式。

根據前面的驗證，修改程序，便可以驗證“關于奇數數的哥德巴赫猜想”。即多加一重for循環，同時判斷輸入數與兩個質數之差是否也為質數，如果是，則輸出算式，程序結束（圖5）。

驗證結果如圖6。