日歷中的學問

高峰

日歷與人們的日常生活密切相關，蘊涵著豐富的數學問題。大家有沒有發現日歷中的數學知識呢？

例1 在如圖1所示的某月日歷中，用一個長方形的方框圈出任意3×3個數。

圖1

（1）如果從左下角到右上角的“對角線”上的3個數字的和為54，那么這9個數的和為? ? ? ? ? ? ? ? ，在這9個日期中，最后一天是? ? ? ? ? ? ? ? 號;

（2）在這個月的日歷中，用方框能否圈出“總和為207”的9個數？如果能，請求出這9個日期最后一天是幾號;如果不能，請推測下個月的日歷中，能否用方框圈出;如果能，請推測圈出的9個數中最后一天是星期幾。

【解析】（1）我們可以設中間的數字為a，根據日歷中數之間的關系，得到其余兩個數分別為（a-6）、（a+6），由3個數的和為54，得（a-6）+（a+6）+a=54，所以a=18，即中間的數是18。再根據9個數的和是中間數的9倍，可以知道這9個數的和是18×9=162，并且最后一天是18+1+7=26（號）。

（2）能。設中間的數為x。根據9個數的和是中間數的9倍可以得9x=207，所以x=23。做完還需檢查一下，中間數是23，這個月是可以框出3×3九個數的，故9個數中最后一天是31號，星期四。

【點評】同學們可牢記2×2、3×3的幾個數之間的規律，以增加解題的速度。第（2）問算出中間數時，要檢查一下，在這個月是否可以框9個數，在例2中我們將體會到不能的情況。

例2 把正整數1，2，3，4……排列成如圖2所示的表，從上到下分別稱為第1行、第2行……，從左到右分別稱為第1列、第2列……用圖3所示的方框在圖2中框住16個數，把其中沒有被陰影覆蓋的四個數分別記為A、B、C、D。 設A=x。

圖2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

（1）在圖2中，2017排在第? ? ? ? ? ? ? ? 行第? ? ? ? ? ? ? ? 列。

（2）A-B+C-D的值是否為定值？如果是，請求出它的值;如果不是，請說明理由。

（3）將圖2中的奇數都改為原數的相反數，偶數不變。

①設此時圖2中排在第m行第n列的數（m、n都是正整數）為w，請用含m、n的式子表示w;

②此時A+B-C-D的值能否為3918？如果能，請求出A所表示的數;如果不能，請說明理由。

【解析】（1）每一行都是8個數，用2017除以8得252余1，說明2017在253行第1列。

（2）觀察圖2的數字規律，再根據圖3中A、B、C、D的位置，若設A=x，那么我們可以得到B=x+24，C=x+27，D=x+3，則A-B+C-D=x-（x+24）+（x+27）-（x+3）=x-x-24+x+27-x-3=0，所以A-B+C-D的值為定值，這個定值為0。

（3）①方法一：若n是奇數，w=-n-8（m-1）=-n-8m+8;

若n是偶數，w=n+8（m-1）=n+8m-8。

方法二：w=（-1）n·（n+8m-8）。

②不能。理由如下：若A+B-C-D=3918，結果是正數，從四個數位置上看出A、B 與C、D異號，說明此時A、B必是正數，C、D是負數。因為A=x，則B=x+24，C=-（x+27），D=-（x+3）。所以A+B-C-D=x+x+24+x+27+x+3=4x+54=3918，解得x=966。因此A所表示的數應為966。因為966=8×120+6，說明此時A在第121行第6列。根據圖3四個數的位置，那么D 、C就在第9列了，但表格只有8列，實際上是框不到C、D的，不符合實際，所以A+B-C-D的值不能為3918。

【點評】此題是日歷題的變形，4×4數中找規律，難度逐步增大。第（3）問中求出x=966時，很多同學可能就直接回答“能”了，此時還需考慮到實際情況。我們通過計算發現A在第6列，那么將框不到C、D這兩個數，所以和不能等于3918。考慮到實際情況，才能做對。同學們在解題過程中要注意“陷阱”，做到全面思考，不留遺憾。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區勵才實驗學校）