魯棒迭代學習模型預測控制的實現研究

陳妮

（廊坊熱電廠 河北省深州市 065000）

迭代學習控制可以在對之前批次信息的應用下，實現對學習的優化，進而合理調整控制輸入軌跡，也就有助于顯著提高跟蹤性能能，提高跟蹤精度。所以這一控制方法在間歇過程控制中的應用較為廣泛，然而ILC 為典型開環控制，所以針對系統時域穩定性無法保障，也沒有足夠的實時干擾處理能力，在應用中需要結合系統反饋控制，以確保系統鎮定且對其外部擾動起到抑制作用。針對ILC控制器設計中，通常會忽視被控對象，但是系統收斂性直接受到被控對象數學模型的影響，所以在設計中一定要和被動對象數學模型收斂條件相符。其中就算是在魯邦反饋控制系統，實現了對ILC 控制器的設計，然而和魯棒性相關信息并沒有得到充分應用。想要對這一問題進行改善，本文在研究中在確保魯棒性性能加權函數技術上，實現了對單軸ILC 控制器的設計。并通過仿真分析實現對其應用性能的研究。

1 迭代學習控制

本次主要是考慮到CARIMA 離散時間系統模型中所描述的重復過程，具體表示為：

式中：

t——重復中不同個執行周期中的離散時間指標；

k——重復周期指標；

T——各執行周期的固定時間長度；

y(t,k)——重復過程第k 個執行周期的t 時刻輸出；

u(t,k)——重復過程第k 個執行周期的t 時刻輸入；

w(t,k)——重復過程第k 個執行周期的t 時未知擾動信號；

qt

-1——沿離散時間指標t 的單位平移算子；

?t——沿離散時間指標t 的單位平移算符，其?t=1-qt-1；

A（qt-1）——輸出信號算子多項式，定義為A(qt-1)=1-a1qt-1+...+ anqt-1；

B（qt-1）——輸入信號算子多項式，定義為B(qt-1)=1-b1qt-1+b2qt-1+ ...+bmqt-1。

單純從形式上來看，以上模型針對重復過程中的輸入、輸出以及擾動變量全部看成是t 和k 的函數，然而基于表征過程動態算子多項式能夠發現，模型僅對沿時間指標的動態特性進行了描述，忽視了沿重復指標k 狀態。在各個批次中，如果擾動信號w(t,k)均一致，代表重復過程動態和周期指標沒有太大關聯性，過程即為完全重復。針對以上公式（1）中所描述的重復過程，迭代學習控制律設計具體為：

圖1：單軸ILC 控制系統

圖2：輪廓誤差的均方根

式中：

l(t,k)——待設計的迭代更新律；

?tu(t,0)——初始周期控制增量信號。

以上提出的公式（1）和公式（2）共同組成的控制系統，即為迭代學習控制系統，在設計中重點即為實現確定合理迭代更新律，以能夠確保在重復過程中依照期望軌跡跟蹤性能，可以在重復過程中逐漸得到改善。

2 魯棒迭代學習控制器設計

在魯棒迭代學習模型中，為能夠降低各單軸跟蹤中存在的誤差，本次在魯棒ILC 控制器設計中，基于性能加權函數實現在各彈軸位置環的設計。在圖中yd(t)為期望輸出，y(t)和u(t)分別為實際輸出和反饋控制輸入。另外C(s)代表反饋控制器，對系統穩定性以及魯棒性提供保障；G(s)代表存在不確定性的被動對象，描述對象主要為：

式中：

Gn(s)——系統標稱矩陣；

?——未知不確定性函數，可以實現對；

Wu(s)——已知不確定性加權函數。

在C(s)設計中，基于魯棒控制理論中的混合靈敏性問題，相應的引理為：引理1：針對上圖1 中的反饋控制系統，G(s)描述詳情見公式（3）。由此可得這一系統魯棒充分必要條件為：

以上公式和以下公式一致：

式中：

S(s)——靈敏度函數，S(s)=1/(1+Gn(s)C(s))；

Gn(s)——已知性能加權函數；

T(s)——補靈敏度函數，T(s)=1-S(s)。

單軸ILC 控制系統詳情見圖1。

在單軸ILC 控制系統中，相應的迭代控制輸入vk(s)具體為：

如果v0(s)=0，跟蹤誤差Ek(s)的計算公式為：

式中：

k——迭代次數；

Q（s）——ILC 控制器下標。

將定理1 中的Q(s)更換為Wp(s)，也就能夠得到定理2。結合定理2，能夠在反饋控制器C(s)設計對性能加權函數Wp(s)應用，進而實現對ILC 控制器Q(s)的控制。在此過程中，不必針對Q(s)單獨設計，也可以實現對ILC 系統魯棒性以及收斂性的保障。但是如果Wp(s)幅值小于等于1 情況下，才能夠確保定理2 成立。如果不在這一條件下，剩余誤差和學習前誤差相比偏大，同時在反饋控制器設計中，為能夠降低跟蹤誤差，Wp(s)幅值一般均會在1 以上。所以針對這一問題，進行了修改，即為定理3。

定理3：針對上圖2 中的ILC 系統，迭代學習律見公式（6），如果k →∞情況下，系統的收斂充分必要條件具體為：

通過引理1 和相應的公式能夠得出：

由于C（s）可以實現對反饋控制系統魯棒性的保障，因此以上公式（8）的成立即可以實現對系統充分必要條件成立的保障，具體為：

通過公式（9）能夠發現，Q（s）階次和Wp(s)階次相比應該偏大，所以Q（s）截止頻率和Wp(s)相比應該偏小，以能夠實現對曲線下方提供保障。

3 實驗仿真分析

基于Matlab 中的魯棒工具箱實施反饋控制器計算，具體為：

CCC 控制器具體表示為：

期望輸出軌跡呈現出四葉草，各單軸的期望輸出表示為：

假設在各次迭代中，系統擾動屬于是-10～10N 的隨機值。初始輸出假設為ux0(t)=uy0(t)=0，迭代次數設置為8。對其實施迭代發現，就算是被動對象模型不確定模型受到了隨機擾動的影響，然而各個控制器均可以實現對各單軸跟蹤誤差的降低，且收斂為0。其中輪廓誤差均方根詳情見圖2，從圖中能夠發現，所完成的CCC 控制器Kc(s)可以顯著降低輪廓誤差，同時在ILC 作用下也能夠確保其基本收斂為0。

本次系統設計的反饋控制器、魯棒ILC 控制器針對CCC 控制器實施圖形輪廓跟蹤看出，期望輪廓和實際輪廓在連續實施8 次迭代后，基本實現重合，從這一點可以看出本次設計的控制器可以實現對輪廓的精確跟蹤，預測控制效果好。

4 結語

本次研究所得結論：

（1）結合不確定直驅系統魯棒性條件以及魯棒收斂條件，實現對單軸ILC 控制器的設計，且完成直驅XY 平臺系統模型建構，實現優化設計

（2）這一模型在應用中，和傳統ILC 控制器相比，顯著提升了跟蹤精度及輪廓精度。仿真結果顯示這一方法更具有預測控制正確性。