一種改進的基于最大復相關熵準則的自適應濾波算法

邱晨 向詩雨

（西南大學 重慶市 400715）

早期的濾波算法是基于均方誤差準則的，如最小均方（least mean square, LMS）算法[1]和遞歸最小二乘（recursive least squares, RLS）算法[2]。基于均方誤差的濾波算法雖然在高斯噪聲環境下是比較理想的，但在非高斯噪聲環境下其性能會大大下降。為了適應非高斯噪聲環境，最大復相關熵準則（maximum complex correntropy criterion, MCCC）算法[3]作為一種局部相似性度量，近年來在復數域自適應濾波中得到了廣泛的應用。與經典的基于均方誤差的濾波算法相比，MCCC 不僅考慮了復數域，而且在非高斯噪聲環境下，特別是在脈沖噪聲的情況下，具有較好的魯棒性和收斂性。

然而，傳統MCCC 算法是基于最速下降理論的，不能較好地解決收斂速度和穩態值之間的矛盾。針對這個矛盾，本文基于不動點理論提出了一種改進的最大復相關熵準則（fixed-point maximum complex correntropy criterion, FPMCCC）算法，相較于MCCC 算法，所提出的FPMCCC 算法不再受限于自由參數，如算法中的步長，并且FPMCCC算法具有更快的收斂速度更快以及更小的穩態誤差。

1 MCCC自適應濾波算法

1.1 復相關熵

與相關函數類似，相關熵是一種相似度量概念，可以有效地抑制脈沖噪聲。復相關熵將相關熵的定義域從實數域擴展到復數域，對于給定的兩個復隨機變量C1=X1+jY1和C2=X2+jY2，C1和C2的復相關熵統計量[3]定義為：X1，Y1，X2和Y2都是實變量，代表取均值操作，為高斯核函數。

對于復數域的高斯核，核函數定義為：

其中，σ 為核寬。

1.2 MCCC自適應濾波算法的原理

定義算法使用的系統模型為：

與此同時，MCCC 算法的代價函數由下式給出：

基于最速下降理論，由（4）可推導出MCCC 算法的權重向量的更新方程為：

圖1：算法之間的性能比較

μ 為算法中的步長。當核寬σ →∞時，MCCC 算法退化至CLMS 算法。

2 改進的MCCC自適應濾波算法

由于傳統MCCC 算法是基于最速下降理論的，其不能較好地解決收斂速度和穩態值之間的矛盾。針對這個矛盾，本文基于不動點理論對MCCC 算法進行來改進，提出的FPMCCC 算法能較好地解決收斂速度和穩態值之間的矛盾。

通過使用矩陣求逆定理[4]，（7）可以寫為：

圖2：風力信號大小

圖3：算法之間的性能比較

最后，FPMCCC 算法的權重向量的更新方程為：

3 仿真結果分析

在實際應用中，噪聲往往是非高斯的，為了體現FPMCCC 對非高斯噪聲的優越性能，在仿真實驗中均采用服從標準對稱α 穩定(symmetric α-stable, SαS)分布的脈沖噪聲，α 取值為1.5。在非高斯噪聲情況下，本文進行了系統辨識和風力預測仿真實驗，對比了FPMCCC、MCCC 以及文獻[5]中的CLMS 之間的性能優劣。假定自適應濾波器的階數m=5，隨機生成權重其中代表的實部和虛部，N(μ,σ2)代表著具有均值μ 和方差σ 的正態分布。各實驗分別進行100 次獨立的仿真實驗。

3.1 系統辨識

3.2 風力預測

為了進一步體現算法的現實應用性，將提出的FPMCCC 算法應用于一步風力預測。風力數據來自文獻[6]，利用包含南北和東西向風速讀數的數據，生成如下復數形式的風力信號（圖2）：

為了證明FPMCCC 算法的魯棒性，風力序列被脈沖噪聲污染，同時利用依據均方誤差通過圖3 可以得出FPMCCC 算法仍具有最快的收斂速度及最低的穩態誤差。

4 結語

鑒于傳統基于最速下降理論濾波算法無法解決收斂速度和穩態值之間的矛盾，本文基于不動點理論提出了改進的基于最大復相關熵準則得自適應濾波算法。通過理論推導和仿真驗證，將FPMCCC算法與現有算法的性能進行了比較，與現有算法相比，本文提出的FPMCCC 算法在非高斯噪聲環境下具有更好的收斂速度、更低穩態誤差。