建立在“追問方程本質(zhì)含義”基礎(chǔ)上的教學(xué)嘗試

劉錫萍 王曉燕

摘要：方程思想的核心在于對數(shù)量間關(guān)系的建模和轉(zhuǎn)化歸納。本文闡述了在這一思想指導(dǎo)下開展的教學(xué)嘗試：首先創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識數(shù)量間存在不同的關(guān)系，初建模型;然后在對數(shù)量間不同關(guān)系的分類中，構(gòu)建方程概念;最后在動態(tài)情境中解釋應(yīng)用，理解等量關(guān)系，體會方程本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：方程思想? 數(shù)學(xué)建模? 小學(xué)高年級

方程是小學(xué)高年級數(shù)學(xué)知識中的重要內(nèi)容。教學(xué)“方程的意義”時，大多數(shù)老師喜歡從等式的教學(xué)入手，讓學(xué)生理解方程的意義。但長期的教學(xué)實踐讓我們認(rèn)識到，實施這樣教學(xué)后，學(xué)生對方程含義的理解是表面的、形式化的、膚淺的！從形式上看“方程確實是一種等式”，但透過現(xiàn)象看本質(zhì)，我們認(rèn)識到“方程是對數(shù)量間相等關(guān)系進(jìn)行描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是對含有未知量的數(shù)量間相等關(guān)系進(jìn)行描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式”。

既然方程是對數(shù)量間相等關(guān)系進(jìn)行描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式，那對方程意義的認(rèn)識必然要建立在“數(shù)量間關(guān)系”的基礎(chǔ)上，其核心思想在于對數(shù)量間關(guān)系的建模和轉(zhuǎn)化歸納，那對方程意義的認(rèn)識也必然要讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實問題情境——數(shù)學(xué)模型——解釋與應(yīng)用”的全過程。基于這樣的認(rèn)識，我們有了以下的教學(xué)嘗試。

一、教學(xué)片段

（一）片段一：創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識數(shù)量間存在不同的關(guān)系，初建模型

1.情境導(dǎo)入：如果把兩個梨子和一個菠蘿分別放在天平的兩邊，猜一猜，可能會出現(xiàn)怎樣的結(jié)果。

根據(jù)學(xué)生的回答，說明天平兩邊的質(zhì)量會有三種不同的關(guān)系。

【初步感知到數(shù)量之間存在著不同的關(guān)系。而方程正是描述數(shù)量間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，這樣導(dǎo)入有利于學(xué)生對方程意義的自主建構(gòu)。】

2.師：請大家繼續(xù)觀察，（課件出示：如果梨子每個200克，菠蘿400克）這樣的兩個梨子和一個菠蘿分別放在天平兩邊，可能會怎么樣呢？（課件演示稱的結(jié)果）

3.師：如何用數(shù)學(xué)式子表示天平現(xiàn)在的狀況呢？

生：200+200=400

4.師：想一下式子左右兩邊各表示什么？等號又說明什么？

生1：左邊是兩個梨子的質(zhì)量，右邊是一個菠蘿的質(zhì)量。

生2：等號表示左右兩邊是相等的關(guān)系。

【由于學(xué)生對200+200=400的認(rèn)識更多的還是停留在以往加法算式的層面上，學(xué)生們根據(jù)以往的經(jīng)驗認(rèn)為它僅僅是一種運算。因此教師有意識地突出左右兩邊之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到這個式子表示兩個梨子的質(zhì)量和一個菠蘿的質(zhì)量是相等的，理解左右兩邊所表示的相等關(guān)系。和導(dǎo)入時一樣，突出的是數(shù)量之間的關(guān)系。】

5.課件演示：天平左邊換成兩個橘子（每個100克）。

師：這時候天平兩邊還會保持平衡嗎？為什么？

生：因為兩邊物體的質(zhì)量不相等了。

師：我們還可以用數(shù)學(xué)式子來表示出天平目前的情況嗎？

生：100+100<400或者400>100+100

師：現(xiàn)在我們在把天平左邊再放上一個梨子，梨子的質(zhì)量為x克，現(xiàn)在大家來猜一猜，天平兩邊的情況可能會怎樣？

生：200+x=400（表示為左右兩邊的質(zhì)量相等。）

200+x>400（表示左邊的質(zhì)量大于右邊的質(zhì)量。）

200+x<400（表示左邊的質(zhì)量小于右邊的質(zhì)量。）

師：從剛剛舉的這些例子來看，數(shù)量之間有關(guān)系嗎？有哪些關(guān)系呢？

生：大于、等于、小于。

生：相等或不相等。

師：我們用數(shù)學(xué)式子能夠非常簡潔且清晰地表示出數(shù)量間的不同關(guān)系。

6.師：不過生活情境中的數(shù)量關(guān)系的例子非常豐富，不僅僅限于質(zhì)量之間的關(guān)系，還有很多數(shù)量關(guān)系也可以用數(shù)學(xué)式子來表示，今天我就帶來了四個情境，我們一起看看。（圖略）

思考：圖中的數(shù)量之間有什么關(guān)系？請用關(guān)系式進(jìn)行清晰的描述。

（1）先獨立思考，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子記錄下來。

（2）四人為一組討論，每人一題說說自己所列出的關(guān)系式。

（3）大組匯報，可以選擇自己喜歡的情境，要求描述關(guān)系式后，說一說是怎么想的。

【方程是刻畫現(xiàn)實世界等量關(guān)系的一個有效的數(shù)學(xué)模型。本環(huán)節(jié)先讓學(xué)生利用天平來嘗試用數(shù)學(xué)符號和式子描述數(shù)量間存在的不同關(guān)系，初建數(shù)學(xué)模型;再讓學(xué)生在大量的生活情境中理解現(xiàn)實生活中存在著很多的數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生對方程意義的主動建構(gòu)提供豐富的感知材料。這個環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計，重點是引導(dǎo)學(xué)生理解實際問題中各個量的意義，分析數(shù)量關(guān)系，尋找等量關(guān)系。】

（二）片段二：在對數(shù)量間不同關(guān)系的分類中，構(gòu)建方程概念

1.引導(dǎo)分類

（1）師：看來生活中的很多情景都能用關(guān)系式來描述，而且用關(guān)系式來描述非常簡潔、清晰。但是這些關(guān)系式各有不同，這么多的式子放在一起，我們怎么來進(jìn)一步研究它們的特征呢？你有辦法嗎？

生：可以把它們分分類。

師：是啊，分類以后我們就可以一類一類更清楚地認(rèn)識它們了，這是認(rèn)識事物特征的一個好辦法。

（2）學(xué)生分組討論。

（3）匯報討論結(jié)果。

第一次分類可能出現(xiàn)的情況：不同連接符號、是否是相等關(guān)系、是否含有未知數(shù)。

（師適時指出：這一類表示兩邊相等的式子，我們可以叫它——等式。那么另一類就是不等式。）

師：剛才這幾種分法都是可以的，為了更清楚地認(rèn)識事物的特征，有時需要進(jìn)行幾次分類。如果把以上兩種分法結(jié)合起來就更好了。比如，我們可以先按照是否是等式，先分成兩類，在這個基礎(chǔ)上，再按是否含有未知數(shù)再次分類。大家也可以試試，在你剛才第一次分類的基礎(chǔ)上再進(jìn)行第二次分類。試試看！

（4）學(xué)生嘗試第二次分類

學(xué)生匯報：

第一類：200+200=400

第二類：200+x=400 x-56=60 4a=120

第三類：100+100<400 400>100+100 180>140

第四類：200+x>400 200+x<400 50+x>100

師：經(jīng)過兩次分類，我們得到了四類不同的式子。

2.概括概念

教師和學(xué)生一起找各類數(shù)學(xué)式子的特征，重點讓學(xué)生描述方程的意義。

揭示課題：方程的意義

【這一環(huán)節(jié)將分類思想和分類方法滲透于教學(xué)活動中。通過分類，學(xué)生在觀察、比較活動中對方程的意義有了一定的感悟和體驗。通過比較，抽象概括出方程的意義。這樣一方面能從形式上認(rèn)識到“含有未知數(shù)的等式是方程”，同時也能深刻感受到“方程是描述數(shù)量間相等關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是描述有未知量的數(shù)量間相等關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式”。后續(xù)教學(xué)中我們看到了學(xué)生對等式與方程的關(guān)系有了深刻領(lǐng)悟，有效突破了本節(jié)課教學(xué)難點。】

3.體會等式與方程的關(guān)系

師：聯(lián)系剛才的操作，說說自己對方程的理解。

……

師：如果畫這樣一個圖示，你能幫“方程”和“等式”找到它們準(zhǔn)確的位置嗎？

學(xué)生交流后回答，并說明理由。（教師完善圖示。）

再請學(xué)生看著填寫好的集合圖用語言描述方程與等式之間的關(guān)系。

（三）片段三：在動態(tài)情境中理解等量關(guān)系，體會方程本質(zhì)

師：剛剛我們說像1.8>1.4這類數(shù)學(xué)式子我們不能稱之為方程，為什么？

生：因為它既不是等式也不含有未知數(shù)。

師：過了幾年后，小明長大了也長高了，他長了x米，這時候爸爸說了“小明還是沒有我高”。這個能不能用方程表示？

生：不能，因為這里不存在等量關(guān)系。

（板書：1.4+x<1.8）

師：這時爸爸又說了“小明如果再長y米就和我一樣高了”，這里能用方程表示嗎？

師：我們只有找到數(shù)量中的相等關(guān)系，才能用方程表示。

（板書：1.4+2x=1.8）

【讓學(xué)生在一個動態(tài)的情境中再次體會只有找到數(shù)量間的相等關(guān)系，加深對新知的理解。】

二、總評

方程是從現(xiàn)實生活到抽象的一個提煉過程，一個用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實生活中特定關(guān)系的過程。方程思想的核心在于對數(shù)量間關(guān)系的建模和轉(zhuǎn)化歸納。相對于傳統(tǒng)的教學(xué)，本課做了大膽嘗試和探索。

（一）從直接認(rèn)識等式轉(zhuǎn)變?yōu)檎J(rèn)識數(shù)量間的不同關(guān)系

教師創(chuàng)設(shè)用天平比較物體質(zhì)量的生活情境，學(xué)生很自然地想到天平兩端物體質(zhì)量大小存在三種不同關(guān)系，并嘗試用數(shù)學(xué)式子進(jìn)行表述，引出等式與不等式。這樣可以突出對數(shù)量之間關(guān)系的理解，把對等式的理解建立在數(shù)量之間關(guān)系的基礎(chǔ)之上，而不是建立在數(shù)的運算基礎(chǔ)之上。

（二）從直接認(rèn)識方程轉(zhuǎn)變?yōu)閷γ枋霾煌P(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行分類后認(rèn)識方程

傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)習(xí)素材都是同質(zhì)的（都是等式），對概念的抽象概括過程就難以充分展開，難以建立起等式、方程、不等式等概念間的聯(lián)系，難以把數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化。本課教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了豐富多樣的生活情境，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)量間的不同關(guān)系，學(xué)生可以充分感知，廣泛體驗。接著，教師組織學(xué)生對它們進(jìn)行分類，得到四種不同的式子，這些式子間的關(guān)系緊密，既有同質(zhì)關(guān)系，也有從屬關(guān)系，還有并列關(guān)系。由于學(xué)習(xí)素材的豐富性和完善性，學(xué)生能有充分的思維活動，掌握概念間的相互聯(lián)系，在逐步的抽象概括中自主構(gòu)建出方程意義的本質(zhì)屬性。

（三）縱觀整節(jié)課教學(xué)，教師讓學(xué)生經(jīng)歷了“問題情境——數(shù)學(xué)模型——解釋與應(yīng)用”的全過程

首先是“問題情境——數(shù)學(xué)模型”的過程。本節(jié)課讓學(xué)生從研究問題情境中數(shù)量間的關(guān)系入手，寫出數(shù)學(xué)表達(dá)式;再組織學(xué)生對描述的各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分類，讓學(xué)生在分類過程中感受、體驗、對比、歸納，再概括出方程的意義。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)模型——解釋與應(yīng)用”的過程，培養(yǎng)了學(xué)生抽象概括的能力，發(fā)展了學(xué)生的演繹思維水平。

參考文獻(xiàn)：

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.