打造有“模”有樣的數學課堂

李蘭梅

模型思想是指學生在解決某類問題時發現的規律與方法，并適時加以總結，提煉成具有一般性與推廣性的結論。下面，筆者就如何培養學生的模型思想談些做法。

一、尋找“模”原型

“原型”的詞意是指事物原來的類型或樣子。模型來源于生活中的原型，是生活中的原型去掉非本質屬性后簡化抽象得來的。在小學階段有很多滲透模型思想的課例，如人教版教材在介紹新知之前，往往先通過情境設計進行一定的知識孕伏，讓學生先經歷“模”的原型，使之有了一定的認知與理解，然后再進行分類的專項學習。

如人教版一下“找規律”的內容，教材呈現的彩旗、小花、燈籠、小朋友的排列情境圖，這些內容與學生的日常生活離得很近。一看到圖，學生的生活經驗立馬被調動起來了。在學生完成教材中要求的圈出圖中的重復部分后，筆者讓學生嘗試用語言描述在圖中發現的“規律”。一年級學生的語言建模能力才剛剛開始，他們的回答往往是較為單一片面的語句，而這節課就是要把學生零散的、無意識的經驗整合起來，慢慢地過渡到用較為完整的、規范的數學語言來表達。

細心的教師不難看出，人教版一下“找規律”這一單元的情境原型，也是人教版二下“有余數除法”的數學原型，更是以后人教版五上“植樹問題”的數學原型。只要教師善于尋找模型的原型，把相應的例題稍加改動，就能使它成為經典的原型例題。只要在經典例題的每次使用時都能突出它應有的特點，也就能把模型的原型用好、用妙。

二、剖析“模”原理

有的教師一聽到“原理”一詞，以為都是高深的物理原理或化學原理等內容。其實，原理指的是事物普遍存在的基本規律。在小學數學教學中，原理指隱藏在教材中學生難以發現，也是學生接受起來有困難的知識部分。通俗地講，就是教材的重點與難點部分。作為一線教師，教學中不應走馬觀花地停留在傳授知識的淺表處，而是要帶著學生深入挖掘知識背后蘊藏的原理。

例如，人教版四下“雞兔同籠”是典型的數學模型問題，筆者在出示問題情境后，讓學生讀讀教材中的題目，感受古代數學問題的趣味性。但教材中呈現的是文言文，再加上數字又大，學生理解起來有一定的困難。筆者為學生翻譯過來后，讓他們先估一估雞、兔各有多少只。學生先是無序地猜測各種雞、兔只數的組合，在眾多回答中，有的學生感覺到雞兔的只數和頭腳的數量存在某種規律，并逐漸調整只數的搭配，從而找到了正確的答案。然后，筆者再組織學生小組合作驗證解決。原先的猜測法，經過數據調整搖身一變成為列表。在充分感知列表的基礎上，學生理解了兩種動物頭與腳之間的變化，明白了雞兔同籠是多種方法的糅合體。從直觀上看，安腳法與去腳法都是畫圖法;但本質上，安腳法、去腳法、抬腳法都是假設法。筆者引導學生經歷這幾種解題方法，并引導他們從列表中找到解題的依據，慢慢形成用假設法解題是較為科學的方法的認知。

其次，數形結合是模型呈現的重要方式。考慮到低段學生的認知特點，教材或者課件往往以生動形象的動畫來輔助教學。這樣既能引起學生的求知欲望，又能讓新知化繁為簡地順利展開。如人教版二下“萬以內數的認識”，筆者先是讓學生回顧數數的方法，學生回答可以一個一個地數，也可以五個五個地數……學生感受數數的方式是多種多樣的。隨之，筆者引導學生利用舊知的遷移，水到渠成地達成共識：可以一百一百地數。然后，筆者利用多媒體，借助方塊圖生動地展現了教材中的圖示，幫助學生構建“千”的概念模型，同時也溝通了個、十、百、千等計數單位間的十進制關系，為以后學習億以內以及億以上數的認識打下基礎。

三、形成“模”效應

所謂“模”效應是指經歷數學建模的學習過程，得到了深刻的認知體驗，不斷逼近數學知識的本質而形成的較為縝密、完善的知識體系，甚至能達到舉一反三的境界。在小學階段，人教版每一冊的數學教材都配有“數學廣角”的內容，教學時應引導學生在解決問題的過程中去經歷模型的形成過程，向學生滲透或者讓學生感悟數學方法，從中發現規律并把它們表示出來。

如人教版五上“植樹問題”，為了更好地幫助學生理解模型，有經驗的教師在教學結束后就直觀地展示出植樹模型的三種情況（兩端都種，兩端都不種，只種一端）。學生通過線段圖，一目了然地看到“棵樹”與“間隔數”之間的聯系與變化，有效地構建起植樹問題的數學模型。

再如，教學“兩位數加兩位數的加法”的內容，在學生口算匯報39+44的方法后，筆者適時推進：“大家的幾種口算方法都很好，但你們有沒有發現它們之間的相似之處？你們為什么會這樣算？”學生通過對比分析發現，只要湊成幾十幾加幾或湊成幾十幾加幾十就比較好算。通過不同方法的對比分析，學生理解了算理，找到適合自己“算得對又說得清”計算方法，避免了固定模式化地解題，也搭建起兩位數加兩位數進位加法的數學模型。

四、推廣“模”思想

模型思想的最核心之處莫過于培養學生的推理能力，發展他們的應用意識。在小學的教學中，有些內容的抽象性較高，考慮到學生的認知方式還以形象思維為主，因此教學中應運用教材中合適的例題來指導學生進行概念本質的對比分析，通過對比分析來感悟模型的應用場景。

如教學“面積”的內容，許多學生容易把周長與面積相混淆，不知道它們的區別。而有經驗的教師會設計一些計算周長與面積的對比練習，來幫助學生進一步感知周長與面積的概念。如人教版三下第69頁的第10題（題略），筆者先讓學生讀題，然后再猜測三個圖形的面積與周長的變化情況。隨之，讓學生自主進行解答，計算剩下部分的面積與周長各是多少，以此來幫助學生鞏固這兩個不同模型的建構方法。在講解環節結束后，筆者引導學生再次觀察比較，發現三個相等的圖形去掉同樣大小的部分后，剩下部分的面積是相等的，但周長卻不一定相等。以此向學生強調了面積之間是可以進行相加減、但周長卻不可以的注意事項。

再如，“加法運算定律”是學生在小學階段第一次系統規范地學習運算定律，加法交換律和結合律是學生以后學習其他運算定律的“典范”。因為這些運算定律不僅適用于整數，還適用于小數與分數計算。因此，為了引導學生成熟掌握規律并應用模型，在教學完分數加法的內容后，筆者針對加法運算定律而設計了運用加法運算定律的小數加法、分數加法拓展習題，讓學生通過習題解答與對比分析發現，這些習題都能運用到加法交換律和結合律，感悟到運算定律的普遍適用性與便捷性。這樣的教學，加深了學生對模型的認知，學生在對比分析中也推廣了模型的使用范圍。

（作者單位：福建省福州市長樂區漳港中心小學 ? ?責任編輯：王振輝）