切線法加工非球面的軌跡控制方法設計

賀海霞，尚春民，李新

（長春理工大學，吉林 長春 130022）

0 引言

目前，計算機技術與現代機床數控系統的結合使加工制造技術達到一個全新的高度[1]?，F如今數控加工技術正在向高的質量、高的效率和高的智能方向發展。在數控機床控制系統中，數控插補算法精度將在機床加工過程中占據主導作用，決定了機床加工的精度和效率，這是因為數控插補算法在一定程度上可以彌補工件精度的缺陷[2]。針對非圓曲線軌跡控制方法有：單圓弧插補、雙圓弧插補、等間隔插補、自適應步長插補以及混合插補等。但是大多數插補方法均是采用直線段或圓弧線段等去逼近零件軌跡曲線，類似這種利用直線或圓弧逼近得到的曲線并不是光滑連續的。

由于上述傳統插補方法對非圓曲線插補時存在一定的局限性。在對子午截面曲線插補時，上一個插補周期的信息，能夠預測下一個插補周期的信息，能構成非線性函數的映射關系，為此在切線法理論基礎上引入神經網絡，在非球面工件加工中，為了改善神經網絡的函數收斂速度較慢和容易出現局部極優的問題，對其連接閾值和權值使用遺傳算法優化，提高了神經網絡的插補性能[3]。

1 神經網絡軌跡控制插補模型的建立

1.1 切線法軌跡成形原理

如圖1所示，切線法加工光學工件軌跡成形原理，該加工方法是先將值分成份，得到函數值，然后將得到值代入非球面曲線方程中得到相對應的值，這樣就得到非球面成形軌跡曲線上個節點。在非曲面軌跡曲線上對給定的任意一點，可用這一點的切向法線長度，法線與對稱軸的交點到曲線頂點的距離和點繞X軸的轉角來表示成形軌跡曲線的特性。這種控制方法的核心是使磨輪在加工過程中始終與非球面理想面形輪廓軌跡相切，同時加工系統控制磨輪在工件表面移動過程中，需要協調移動平臺沿X軸和Y軸的位移量配合磨輪軸的旋轉平臺移動的角位移量來實現切線法加工軌跡控制[4]。因此為了使磨輪能準確沿非圓曲線運行，實現軌跡曲線的光滑連續性，在切線法理論基礎上引入遺傳-神經網絡數控軌跡控制方法。

圖1 切線法加工非球面原理

1.2 基于神經網絡的預測模型

神經網絡非線性插補模型中每一插補周期插補坐標是前一插補信息的非線性映射函數。建立網絡模型時引入多個插補信息，可以提高插補的精度，同時網絡的初始權值選擇是否合適將決定BP網絡的收斂速度及精度。因此，在進行零件加工時，執行機構的進給速率是給定的，但進給速度的方向不斷變化，使得在各軸上的分速度不斷變化。為了完成插補，要計算插補點位置坐標、各軸速度及初始權值的確定。

（1）輸入層、隱層和輸出層選取。為了提高插補精度引入多個控制信息，經過綜合考慮切線法成形原理X、Y軸速度單調性，神經網絡結構模型輸入層節點數設置為4個，分別為插補點位置坐標xi-1、yi-1，X、Y軸速度v（xi-1）、v（yi-1），輸出層節點有4個，分別為下一個插補點位置坐標xi、yi,切線角θi、法距ρi。依據Kolmogrodv定理，隱層節點數是2m+1，其中m=4為輸入層的節點數，所以隱層節點數是9。

（2）初始權值選取。由于BP網絡自身選取缺陷，不能快速定位到全局出現的最優解區域。所以運用遺傳算法自身全局性優點定位最優解區域范圍，使得神經網絡在收斂速度和精度上顯著提高。

（3）激活函數選擇。因為BP神經網絡是運用在非球面運動軌跡非線性函數逼近，所以為了保證隱層輸入值在[-1,1]中，在輸入層和隱層兩者中用Sigmoid激活函數；在隱層和輸出層中用purelin激活函數，取值范圍為任意值。圖2是建立的BP神經網絡網絡結構模型。

圖2 BP神經網絡網絡結構模型

本文為了提高收斂速度和插補精度，應用Matlab軟件編程在線訓練神經網絡數據樣本，下面對網絡參數進行設定。

（1）學習速率的選擇：選擇恰當的學習速率，能夠保證神經網絡的穩定性和收斂性。選擇較大的學習速率，網絡穩定性差。反之，較小的學習效率，將會使其收斂速度減小。因此，一般取值范圍在[0.01,0.7]中選用學習速率，綜合考慮整個計算過程，本文的學習速率選為0.4。

（2）期望誤差值的確定：期望誤差值是在Matlab編程過中，依據具體非球面零件的技術要求而確定。經過比較幾個不同的期望誤差值訓練結果，在考慮機床所得達到的加工精度要求，本文最終確定最佳的網絡期望誤差值為。

（3）網絡訓練最大步數的確定：若訓練誤差不能符合期望誤差精度值或已達到訓練最大步數時，最大訓練步數將終止網絡在線樣本訓練。由于本文已經在BP網絡訓練之前，已經提前優化了網絡連接權值，所以在線訓練次數控制在400次范圍之內都能使得網絡收斂。為了提高本文的非球面軌跡插補精度，所以選擇在線網絡訓練次數為400次。

1.3 基于遺傳算法優化的神經網絡模型

遺傳算法是一種并行隨機搜索，在選擇的訓練樣本數據中尋找出最優解，并且是模擬基因遺傳學和生物進化論的方法[5]。

遺傳算法的目的是優化BP神經網絡連接層之間的權閾值，所得最優的權閾值將直接賦值于BP神經網絡中，然后在對其進行預測，能夠有效補償BP神經網絡局部極值的自身缺陷[6]，預測精度得以顯著提升，在一定程度上縮短訓練時間，從而實現了優化神經網絡模型的目的。

遺傳算法優化的主要設計步驟如下。

（1）初始參數設定。種群規模為20100，交叉概率一般取值范圍為0.250.9，變異概率一般取值范圍為0.0010.2，算法終止代數為3001000。

（2）適應度函數。因為遺傳-神經網絡最后目標是使目標函數值最小，所以建立與神經網絡目標函數相對應的適應度函數即：

（3）選擇運算。目前，在遺傳學中，比較常見遺傳選擇算子主要有二種[7]。一是適應度比例方法,它是運用隨機采樣的方式，并且是有放回的，雖有自身的缺點容易產生誤差，但也有其自身優勢簡單方便，所以被廣泛運用。二是最優保存方法，雖然可以找出群體中的最優個體，但在這種片面的，因為其只尋找最優個體的同時破壞掉整個種群的多樣性，將一些不是最優的同時對種群有用的個體拋棄掉，這樣操作會導致最終解陷入局部收斂中[8-10]?；诙N選擇算子原理，本文采用另一種新穎思想算子，可以在選擇出最優解得同時不會陷入局部極值。具體分析步驟如下：

第一，首先計算出每個個體適應度值的初始種群；

第二，接下來就是按照上一步計算出的適應度值的大小由小到大對個體進行排序操作；

第三，將上一步計算排序好的個體再進行均分成四段；

第四，因為上一步分成的四段質量由前到后是依次變好的。所以按照優多劣少的原則由前到后每段按照0.4、0.6、0.8和1的比例進行選擇，這樣就可以在保存最優個體的同時還兼顧了種群的多樣性問題；

第五，將上一步選擇出的四段種群再重新組合成個新的種群；

第六，因為新種群的選擇方法不是按照百分之百的比例進行篩選的，自然個體數量會有所較少，所以可以從末段中選擇個體數量等于原種群損失的個數；

第七，將末段中選擇出的個體補足到第五步中新組合的種群中得出最終的新種群。以便于對上述思想具有有效的理解下面以個體數為20的種群為例對其思想進行圖形表示。

第一，初始種群數20

8 5 6 12 3 9 15 2 4 10 20 7 14 21 11 13 25 22 17 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

第二，對種群個體適應度進行從小到大排序

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 19 20 21 22 25 8 5 9 2 3 12 1 6 10 15 4 16 13 7 19 20 11 14 18 17

第三，對排序好的個體進行分段

2 3 4 5 6 8 5 9 2 3

7 8 9 10 11 12 1 6 10 15

12 13 14 15 17 4 16 13 7 19

19 20 21 22 25 20 11 14 18 17

第四，每段分別按比例隨機選擇得到個體數量

6 4 11 9 7 3 9 15 6 12

17 15 13 12 19 7 16 4

19 20 21 22 25 20 11 14 18 17

第五，選擇出的個體

6 4 11 9 7 17 15 13 12 19 20 21 22 25 3 9 15 6 12 19 7 16 4 20 11 14 18 17

第六，確定由于不完全選擇而丟掉的從末端選擇個體

17 19 20 21 22 25 19 20 11 14 18 17

第七，組合得到新的種群

6 4 11 9 7 17 15 13 12 19 20 21 22 25 17 19 20 21 22 25 3 9 15 6 12 19 7 16 4 20 11 14 18 17 19 20 11 14 18 17

經過這種選擇算子，可以提高算子的選擇最優個體能力，收斂速度由于計算量的減少而得到提高，收斂性也得到提高。

（4）交叉運算。在生物學原理的基礎上，交叉運算是在模仿生物染色體基因重組過程。在生物學中，交叉是指不同的種群個體進行交配，子代可以擁有雙方有利于子代生存的遺傳物質。具體運算是不同的可行解通過交換部分編碼得到下一代可行解編碼的過程，并且同時可以保留上一代的優秀可行解。

（5）變異運算。變異（Mutation）：生活在大自然中的生物，他們會隨著生活環境的改變而發生變化。在遺傳算法模仿生物特性中，他屬于最基本遺傳進化操作的其中之一，專業術語稱其為變異運算操作。在遺傳算法中，變異是指下一代可行解編碼發生突變，產生不同與上一代的可行解編碼的過程，從而使得遺傳算法自身賦有自動并行全局隨機搜索及其不斷更新最優解列表的能力。圖3是GA-BP算法的具體流程圖。

圖3 GA-BP算法的具體流程圖

2 仿真結果及分析

用上述的遺傳-神經網絡對函數進行擬合操作，然后與BP神經網絡模型函數擬合插補結果進行比較，檢驗其算法訓練過程、插補曲線與原曲線擬合以及插補誤差曲線情況。以一種二次非圓曲線進行網絡訓練，從[0，4]作為數據樣本區間。然后選擇幾個有代表性的樣本點組加入網絡，在樣本集中選擇具有樣本所有特征的點進行訓練。遺傳算法參數：變異概率，交叉概率，種群個體20。綜合上述，BP網絡模型結構的輸入層為4，隱層為9，學習率為0.4，最大訓練終止次數為400次，訓練精度。機床進給速度為。運用Matlab軟件對學習網絡進行優化和樣本訓練并對待插補曲線檢驗。表1為部分訓練數據。

表1 第一象限部分訓練數據樣本

圖4 BP算法訓練過程

圖5 遺傳-神經網絡算法訓練過程

表2 訓練結果比較

仿真結果表明，采用未提前優化樣本的BP神經網絡算法，經過800步迭代訓練最后達到的誤差結果是，網絡運行時間為75s，該算法網絡訓練的誤差曲線下降趨勢緩慢，收斂速度慢，訓練時間長。因此相反，遺傳-神經網絡算法經過300步的迭代訓練最后達到的誤差結果是，達到了允許精度，網絡運行時間為43s，該算法網絡訓練收斂速度快，縮短了網絡訓練時間，減少了迭代次數，降低了訓練誤差。有效驗證了該算法在切線法加工非球面軌跡控制插補的準確性和優越性。

由圖6可以知道，遺傳-神經網絡算法可以有效的控制非球面曲線的軌跡，實現對非圓曲線的插補。由圖7可知，該算法經過網絡訓練后所得到的數據與實際曲線數據之間存在一定的偏差，從曲線誤差值可以看出，最大訓練誤差小于0.4，達到切線法加工非球面零件誤差補償加工技術要求。

圖6 遺傳-神經網絡插補數據與原曲線

圖7 誤差插補曲線圖

3 結語

首先初步確定神經網絡的插補模型，再利用遺傳算法對神經網絡連接權重優化，從而使得網絡收斂速度加快，最后完成遺傳-神經網絡非球面加工軌跡控制插補模型。通過實例仿真可以看出，運用BP神經網絡算法的訓練誤差下降趨勢比遺傳-神經網絡算法緩慢或出現過度吻合，并且誤差下降過程中存在多個局部極值點。而遺傳-神經網絡算法訓練誤差曲線坡度大下降趨勢明顯，全局搜索能力強，未見出現多個局部極值點，縮短插補周期，收斂速度加快，訓練誤差更低，有效驗證了該算法在切線法加工非球面軌跡控制插補的準確性和優越性。