基于主成分分析法的珠磨機研磨效果評價

朱玉田，歐陽智婉，劉釗

（同濟大學，上海 201800）

0 引言

珠磨機是現代工業中制備超細粉體的主要設備之一，在碳酸鈣、礦石、高嶺土及新材料超細研磨等領域廣泛應用[1-2]。珠磨機工作時，高速旋轉的攪拌器帶動研磨腔內的介質一起運動，物料在研磨介質間的碰撞、摩擦、剪切作用下被粉碎[3]，研磨介質的運動特征影響物料在腔內的粉碎過程，而流場流動的特征可近似反映研磨介質的運動。目前，國內外許多學者采用數值仿真的方法研究磨機流場，通過流場的速度、湍流強度、湍流耗散率以及湍動能等指標來定性分析磨機研磨效果。Blecher.L等[4]通過仿真攪拌球磨機研磨腔的流場，得到研磨腔內能量分布情況，推斷能量耗散影響磨機的研磨效果。Graeme.L[5]仿真研究了Netzsch臥式珠磨機的研磨腔流場，提出將黏性耗散率作為局部研磨效果的評價指標。龔曙光[6]仿真研究了不同分散盤結構對湍流強度分布和湍流耗散率的影響，以湍流強度和湍流耗散率數值大小來評價研磨效果優劣。張宏偉[7]對葉輪式介質攪拌磨機的流場進行數值模擬，認為流場能量的分配和傳輸是影響研磨效果的因素，其中研磨腔內流場的能量分布基于湍流強度、湍動能這兩個指標分析，能量傳輸利用率則是基于湍流耗散率計算。這些研究主要是分析湍流強度、湍動能和湍流耗散率等指標在研磨腔流場中的變化規律，還沒有綜合的評價研磨腔內各點研磨效果的評價指標。

本文以W型臥式珠磨機作為研究對象，研磨腔內的混合體是研磨介質、物料與溶劑組成的料漿，其中研磨介質是氧化鋯珠，料漿種類是重質碳酸鈣，仿真時將混合流體假設為均一單相流進行研究。通過軟件對珠磨機研磨腔流場進行仿真計算，輸出研磨腔內各點湍流強度、湍動能、湍流耗散率這三個研磨指標的數值，由于這三個指標僅可描述研磨腔內流體運動的部分特征，單個指標無法描述流場的全部信息，具有一定的局限性。本文應用主成分分析法將這三個研磨指標綜合為一個綜合指標，綜合指標盡可能多的保留三個研磨指標的信息，為定量評價研磨腔內各點的研磨效果提供依據，對珠磨機的結構設計改進具有指導意義。

1 研磨效果主成分分析法的評價指標

主成分分析法是一種將多個相關的指標轉化為少數幾個主成分進行定量綜合評價的方法[8-10]，主成分分析法可將多個具有一定相關性的原有指標重新組合為幾個互不相關的綜合指標，且可以從中取出盡可能多的反映原系統信息的綜合指標[11]，評價更客觀、準確。

1.1 評價指標的確定

珠磨機研磨腔內物料的粉碎機理可分為碰撞粉碎機理、摩擦粉碎機理以及剪切粉碎機理這三種，研磨介質的運動影響物料的粉碎過程，從而影響珠磨機的研磨效果。結合珠磨機研磨腔內物料的粉碎機理及軟件仿真結果，建立研磨效果評價體系如圖1所示。

圖1 珠磨機研磨效果評價體系

1.1.1 湍流強度x1

湍流強度是湍流脈動速度與平均速度的比值，是雷諾數的函數，代表研磨腔內流體流動運動的混亂劇烈程度，可間接反映物料的研磨效果，計算表達式如下：

式（1）中，I為湍流強度；是湍流平均速度；是湍流脈動速度。

1.1.2 湍動能x2

湍動能表示水流摻混的劇烈程度，珠磨機工作時，研磨腔內流體帶動研磨介質做無規則運動，湍動能越大，研磨腔內流體運動混亂程度越高，研磨介質之間的碰撞頻率越高，研磨效果越好。湍動能與湍流強度有密切關系，計算表達式如下：

式（2）中，k為流體的湍動能。

1.1.3 湍流耗散率x3

湍流耗散率是分子粘性作用下由湍動能轉化為分子熱運動動能的速率，是粘性和速度梯度的函數。湍流耗散率的計算表達式：

式（3）中，ε為湍流耗散率；μ為流體動力粘度；為粘性耗散函數。

粘性耗散函數與研磨腔內流場的速度梯度有關，速度梯度越大，研磨腔內相鄰流層間的速度相差越大，流層間研磨介質相互碰撞的能量越高，研磨效果越好[12]。當珠磨機研磨腔內流體的粘度一定時，湍流耗散率可近似表征珠磨機的研磨效果。

研磨效果定量評價涉及湍流強度、湍動能以及湍流耗散率三個指標，根據前述分析，原指標之間存在一定的相關性，可以解釋為三者間存在信息重疊，因此可應用主成分分析法將原三維評價系統轉化為一維評價系統，得到一個評價珠磨機研磨效果的綜合評價指標。

1.2 基于主成分分析法的珠磨機研磨效果綜合評價指標計算

在Solidworks中建立珠磨機的三維模型[13]，W型珠磨機三維示意圖如圖2所示，圓柱狀轉子內外側的軸向和周向上等間距的布置圓柱形的銷釘，轉子周向上分布四個循環通孔，增強研磨腔內流體的循環流動。應用軟件仿真時，流場計算節點分布在整個研磨腔流域中，隨機選取n個節點的原始指標計算結果為數據源，主成分的基本計算方法如下：

圖2 研磨腔三維示意圖

珠磨機研磨效果評價中涉及的三個指標分別為：湍流強度x1、湍動能x2以及湍流耗散率x3，記作x=（x1，x2，x3）T，每個樣本點的原始評價指標記作xi=（xi1，xi2，xi3）T，i=1,2,3,…,n，構成評價珠磨機研磨效果的3×n階原始數據矩陣X：

由于研磨腔流場仿真計算結果中直接選取的三個指標量綱不同，且數值差異較大，不適宜直接進行分析計算，將原始樣本矩陣X基于Z-Score法標準化，標準化后的樣本矩陣Z：

式（6）中，

標準化后的樣本矩陣Z的協方差矩陣C為實對稱矩陣，其對角線上的元素為各指標的方差，非對角線上的元素是指標兩兩之間的協方差。根據實對稱矩陣的性質，可知C一定可以找到3個特征值λ1，λ2，λ3，λ1≥λ2≥λ3，對應3個單位正交特征向量e1，e2，e3，按列組成矩陣E（e1e2e3），有：

主成分方差貢獻率aj=λj/（λ1+λ2+λ3），j=1，2，3，累計方差貢獻率為：當前k個主成分累計方差貢獻率達到85%～95%時，可認為前k個主成分基本包含原系統的信息，第j主成分的計算表達式為：

2 基于仿真樣本的綜合指標確定

2.1 珠磨機研磨腔流場分析

W型珠磨機研磨腔流場某截面如下圖3所示，轉子上均勻分布有銷釘和通孔，流體在研磨腔內做繞主軸周向旋轉和軸向運動。

圖3 研磨腔流場某截面示意圖

轉子為非回轉體結構，珠磨機工作時，研磨腔內流體形態在時間和空間上不斷變化，轉子轉動90°是一個小周期，研磨腔流場是一個周期性變空間瞬態流場，選用有限體積法求解研磨腔流場的瞬態問題。

2.2 基于仿真樣本的綜合評價指標

應用流體仿真軟件求解轉子轉速為800r/min工況下的研磨腔流場，將CFD-POST后處理軟件計算得到湍流強度、湍動能、湍流耗散率的數值作為主成分分析法的數據源，從整個研磨腔中隨機選取100000個計算節點作為樣本點，提取每個樣本點的3個指標數值，組成原始數據矩陣X如下表1所示：

表1 原始樣本矩陣X

按照式（6）對原始數據矩陣X進行標準化，標準化 后的樣本矩陣Z如表2所示：

表2 標準化后的樣本矩陣Z

由前述主成分的計算過程，在軟件中計算標準化后的樣本矩陣Z的協方差矩陣C，結果如下：

計算協方差矩陣C的特征值和對應的特征向量，結果如下表3所示：

表3 特征值和對應的特征向量

每一個特征值代表其對應的綜合指標保留原系統的信息量，為確定珠磨機研磨效果評價的主成分個數，計算各個特征值的方差貢獻率和累計貢獻率，結果如下表4所示：

表4 主成分方差貢獻率

由表4知，特征值λ1的方差貢獻率為89.133%，說明第一個主成分包含大部分信息，選取第一個主成分進行珠磨機研磨效果的評價即可。第一個特征值λ1對應的特征向量為：e1=（0.585 0.603 0.543）T，由式（8）計算第一主成分：

式（9）中，z1，z2，z3分別為研磨腔內某一點標準化后的指標值。第一主成分是隨機選取研磨腔內100000個樣本點計算得到的，樣本點數足夠多，包含了研磨效果三個指標的信息。與使用單個評價指標評價研磨效果相比，第一主成分是湍流強度、湍動能、湍流耗散率這三個描述珠磨機研磨效果且量綱不同的評價指標轉化后的綜合評價指標，保留原來三個指標的大部分信息，可直接將式（9）用于計算研磨腔內任一點的研磨效果綜合評價得分。

3 珠磨機研磨效果評價

珠磨機研磨腔流場是一個周期性變空間瞬態流場，達到穩定的工作狀態后，流場的變化為周期性變化。選取轉子穩定轉動后的流場計算結果，以圖3所示截面為例，計算該截面各點研磨效果綜合評價得分，可權衡該截面上各點的研磨效果。

提取圖3所示流場截面上的全部計算節點，輸出該截面上各點的坐標和3個原始評價指標數值，基于式（9）計算截面上各點綜合評價指標值，并在MATLAB中繪制截面各點綜合評價得分散點圖，能夠較直觀地判斷截面上不同位置的研磨效果，各點研磨效果綜合評價得分情況如下圖4所示：

圖4 某截面各點研磨效果綜合評價得分分布圖

根據顏色棒，截面上各點的顏色直觀反映該點的研磨效果綜合評價得分，得分高低與顏色棒相對應，顏色越淺，綜合評價得分越高，研磨效果越好。由圖4可知，棒釘和循環通孔出口右側附近的研磨效果好，轉子外側比轉子內側的研磨效果好，轉子右側與筒壁之間區域研磨效果不佳，其主要原因是轉子的轉動使得靠近銷釘處的流體速度增加，距離銷釘越遠，流體速度越小，銷釘附近物料研磨更加充分，而在循環通孔出口附近，研磨后較粗的物料顆粒與從進料口進入的料漿混合，研磨介質碰撞概率大，物料粉碎效果好。

4 結語

（1）珠磨機研磨效果評價涉及湍流強度、湍流耗散率和湍動能三個原始指標，在盡可能多的保留流場信息的基礎上，提出基于主成分分析法的珠磨機研磨效果綜合評價方法，得到800r/min轉速工況下的珠磨機的綜合評價指標計算式，可定量描述研磨腔各點研磨效果。

（2）選取珠磨機研磨腔某截面，應用綜合評價指標計算該截面各點研磨效果得分，繪制綜合評價得分分布圖，知轉子外側銷釘附近和循環通孔右側出口附近綜合評價得分較高，研磨效果好。

（3）由研磨腔某截面研磨效果綜合評價結果，確定綜合評價得分較低的區域，并依此對研磨腔結構提出改進建議，提高研磨效果。