單時滯廣義Lorenz系統(tǒng)Hopf分岔分析及控制

王申鵬，趙佳偉，孔林雁，朱鋒

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620）

0 引言

1963年，氣象學(xué)家Lorenz[1]首次提出了一個關(guān)于大氣對流的簡化三維自治模型。Lorenz系統(tǒng)將三維系統(tǒng)最復(fù)雜的形態(tài)以最簡單的形式展現(xiàn)出來，為非線性學(xué)科的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。隨后發(fā)現(xiàn)了一系列類Lorenz系統(tǒng)，如Chen系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]、廣義Lorenz系統(tǒng)[4-5]系統(tǒng)等。在過去短短幾十年里，廣義Lorenz系統(tǒng)在各方面已有深入的研究。文獻(xiàn)［6］分析了四維廣義Lorenz系統(tǒng)的動力學(xué)，用一個變量描述了對流磁化流體中的磁場分布；文獻(xiàn)［7］通過廣義Lorenz系統(tǒng)共振性的研究得到了解析首次積分和廣義有理首次積分的存在性，根據(jù)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法得到了系統(tǒng)奇點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［8］研究了一類不確定非線性系統(tǒng)的全局魯棒輸出跟蹤控制問題，通過對四階廣義Lorenz系統(tǒng)的混沌控制，證明了該控制策略的有效性；文獻(xiàn)［9］基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，進(jìn)一步研究了廣義Lorenz系統(tǒng)的邊界問題，對于混沌控制、混沌同步、混沌吸引子維數(shù)的估計以及其他工程應(yīng)用具有重要意義。

時滯是在測量過程中信號傳遞有時間延遲且無法避免的現(xiàn)象，例如通信線路中信號堵塞，交通運(yùn)輸中傳遞擁堵，管道運(yùn)輸中流體運(yùn)動，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中察覺時滯等一系列問題。文獻(xiàn)［10］提出了基于時滯估計技術(shù)的仿人機(jī)器人的時滯控制，實(shí)現(xiàn)了無模型轉(zhuǎn)矩控制，完成了精確跟蹤控制和人機(jī)交互安全性的要求；文獻(xiàn)［11］設(shè)計了一種偏微分方程的參數(shù)化控制器，其構(gòu)成的有界線性變換可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)與目標(biāo)系統(tǒng)的雙向變換，解決了具有Dirichlet邊界條件和內(nèi)部時滯控制的熱方程的鎮(zhèn)定問題；文獻(xiàn)［12］研究了時滯擾動類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔問題, 推廣了已有文獻(xiàn)的研究成果；文獻(xiàn)［13］分析了時滯Lü系統(tǒng)的Hopf分岔問題，提高了Lü系統(tǒng)的實(shí)際擬合度，減少了其不確定條件；文獻(xiàn)［14］研究了DPS系統(tǒng)Hopf分岔的穩(wěn)定性及時滯控制問題，得出了線性反饋控制器可對DPS系統(tǒng)進(jìn)行時滯控制,非線性反饋控制器可實(shí)現(xiàn)分岔解的穩(wěn)定性控制。

從理論研究方面來看，研究非線性系統(tǒng)，尤其是廣義Lorenz系統(tǒng)，加入時滯擾動項(xiàng)后的Hopf分岔及控制問題的相對較少。本文以文獻(xiàn)［15］提出的廣義Lorenz系統(tǒng)為例，在新系統(tǒng)的第二個方程中增加一個時滯擾動項(xiàng)，根據(jù)文獻(xiàn)［16］提出的分析方法，得出系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的時滯參數(shù)，并給出分岔?xiàng)l件，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證理論正確性。最后對時滯系統(tǒng)進(jìn)行線性反饋控制，得出其反饋系數(shù)的選擇區(qū)間，擴(kuò)大控制器的作用范圍，以實(shí)現(xiàn)有效控制，為接下來該時滯系統(tǒng)的電路設(shè)計等實(shí)際應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

1 廣義Lorenz系統(tǒng)判定

新三維二次型混沌系統(tǒng)可用以下形式描述：

其中a=11，b=1.8，c=20。此系統(tǒng)可表述為:

由于a12a21=0，根據(jù)廣義Lorenz系統(tǒng)的定義[4]，系統(tǒng)（1）屬于該定義的范疇。

2 時滯系統(tǒng)分析

在系統(tǒng)（1）的第二個方程中添加時滯項(xiàng)，時滯方程如下：

其中：x，y，z為狀態(tài)變量；a，b，c為系統(tǒng)參數(shù)；τ為時滯參數(shù)。當(dāng)ab＜0時，有唯一平衡點(diǎn)E0(0,0,0)；當(dāng)ab＞0時，有三個平衡點(diǎn)E0(0,0,0)、兩個非零平衡點(diǎn)關(guān)于y軸對稱。

2.1 穩(wěn)定性分析

根據(jù)文獻(xiàn)［12］方法并結(jié)合規(guī)范型定理和Hopf分岔理論[17]，對平衡點(diǎn)E0進(jìn)行分析，在該點(diǎn)處將系統(tǒng)（2）進(jìn)行線性化，可得：

系統(tǒng)（3）對應(yīng)的Jacobi矩陣為：

相應(yīng)的特征方程為：

命題1：若τ=0，則系統(tǒng)（3）在平衡點(diǎn)E0處局部漸近穩(wěn)定。

證明：將τ=0代入特征方程（4），可得：

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知，當(dāng)p1+p3＞0，p5＜0，(p1+p3)(p4-p2)+p5＞0時，方程（4）所有特征根均有負(fù)實(shí)部。將對應(yīng)參數(shù)代入上述不等式，即：

可知，若時滯參數(shù)τ=0，則系統(tǒng)（3）在平衡點(diǎn)E0處局部漸近穩(wěn)定。

2.2 分岔分析

本節(jié)進(jìn)一步討論系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生Hopf分岔的條件。

設(shè)τ＞0時，為特征方程的一對純虛根，取代入特征方程（4），可得：

令實(shí)數(shù)和虛數(shù)分別等于0，

將等式兩邊移項(xiàng)，平方后相加可得：

命題2：式（7）至少有一個正實(shí)根。

根據(jù)式（6）可得：

下面給出系統(tǒng)（3）在該點(diǎn)處產(chǎn)生Hopf分岔的條件：

命題3：如果

證明：對特征方程（4）兩邊求導(dǎo)可得：

根據(jù)特征方程（4）可得：

將式（10）代入式（9）可得：

即：

將式（13）代入（11）可得：

可知：系統(tǒng)(2)在時，產(chǎn)生超臨界Hopf分岔。

3 數(shù)值仿真

通過對含時滯擾動項(xiàng)的系統(tǒng)（2）進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證上一節(jié)中結(jié)論正確性。根據(jù)式（5），令a=-1，b=1，c=2，則系統(tǒng)（2）轉(zhuǎn)化為：

利用MATLAB軟件，將上述數(shù)值代入時滯系統(tǒng)中進(jìn)行仿真分析，得到在不同時滯序列下的狀態(tài)相圖。當(dāng)時滯參數(shù)τ=1.35時，系統(tǒng)時間序列圖如圖1所示。從圖中觀察到：x、y、z隨著時間t的增大而均趨近于0，即趨近于平衡點(diǎn)E0（0,0,0），所以系統(tǒng)（14）在平衡點(diǎn)E0處漸近穩(wěn)定，結(jié)論（Ⅰ）正確。當(dāng)時滯參數(shù)τ=1.79時，系統(tǒng)時間序列圖如圖2所示。從圖中觀察到：x、y、z隨著時間t的增大而逐漸遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)E0（0,0,0）,并產(chǎn)生周期性運(yùn)動，形成有雙吸引子的極限環(huán)，所以系統(tǒng)（14）在平衡點(diǎn)E0（0,0,0）處不穩(wěn)定，存在極限環(huán)且該極限環(huán)持續(xù)穩(wěn)定，結(jié)論（Ⅱ）正確。

圖1 時滯系數(shù)τ=1.35的系統(tǒng)時間序列

圖2 時滯系數(shù)τ=1.79的系統(tǒng)時間序列

當(dāng)τ=1.5708時，系統(tǒng)（14）產(chǎn)生的極限環(huán)如圖3所示。從圖中觀察到：系統(tǒng)（14）發(fā)生了超臨界Hopf分岔，并且形成極限環(huán)，結(jié)論（Ⅲ）正確。

圖3 時滯系統(tǒng)(14)產(chǎn)生的極限環(huán)

4 時滯Hopf分岔控制

該時滯系統(tǒng)取a=-1，b=1，c=2時，在此處產(chǎn)生分岔。設(shè)計線性狀態(tài)反饋控制器控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量，可改變其分岔狀態(tài)，并對極限環(huán)的幅值產(chǎn)生一定的影響。在實(shí)際生產(chǎn)中，可采用阻尼減振器實(shí)現(xiàn)該線性控制器的功能。采用線性控制器為k（y=p）其中k為控制參數(shù)，該線性控制器對應(yīng)于平衡點(diǎn)E0(0,0,0)，因此控制器中的控制參數(shù)，可將控制器k（y=p）添加到系統(tǒng)的方程的第二項(xiàng)，得到如下的受控系統(tǒng)：

受控系統(tǒng)（15）的Jacobi矩陣為：

則線性部分的特征矩陣為：

可以得到該時滯受控系統(tǒng)的特征方程為：

將λ=iw0代入該特征方程中，根據(jù)并將a=-1，b=1，c=2，w0=1代入化簡后可得：

在調(diào)節(jié)整個系統(tǒng)的分岔參數(shù)過程中，k的取值范圍為-1＜k＜1，通過在該范圍內(nèi)取值，可對整個系統(tǒng)的分岔情況進(jìn)行調(diào)節(jié)。

為了驗(yàn)證線性反饋控制對于時滯系統(tǒng)的作用，利用控制項(xiàng)改變系統(tǒng)中的分岔參數(shù)，在仿真分析中采用The fourth order Runge-Kutta進(jìn)行驗(yàn)證，系統(tǒng)參數(shù)以及初值分別取a=-1，b=1，c=2和x(0)=1，y(0)=1，z(0)=20，步長h=0.01，k=0.1，圖5給出了受控時滯系統(tǒng)的分岔參數(shù)τ以及極限環(huán)的總體情況，可以看出分岔點(diǎn)由原來的1.5708 提前至1.5085，說明添加適當(dāng)?shù)目刂破骺梢詫r滯系統(tǒng)進(jìn)行提前控制，并且可以使得該受控系統(tǒng)與原系統(tǒng)相比，產(chǎn)生較大的幅值。

圖4 受控系統(tǒng)(17)的分岔參數(shù)相圖

5 結(jié)語

本文以一種新的廣義Lorenz系統(tǒng)為研究對象，通過在該系統(tǒng)中添加一個時滯擾動項(xiàng)，得出其時滯系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的分岔情況，運(yùn)用Matlab軟件,對一些系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行分析驗(yàn)證，表明該時滯系統(tǒng)會隨著參數(shù)變化而呈現(xiàn)出豐富的分岔行為。利用線性狀態(tài)反饋控制器對時滯系統(tǒng)進(jìn)行控制，使其在不改變平衡點(diǎn)的同時，將時滯分岔點(diǎn)由1.5708提前至1.5085。本文僅給出了當(dāng)廣義Lorenz系統(tǒng)某一輸入量受到擾動時，控制其時滯分岔點(diǎn)的方法，而多個輸入量同時受到擾動的情形較復(fù)雜，此問題與時滯系統(tǒng)的電路設(shè)計都是下一步需要研究的對象。