跳頻信號參數估計的核函數優化及仿真*

孫文璐

（陸軍工程大學，江蘇 南京 210001）

0 引 言

跳頻通信技術是軍事通信系統中一種常用的通信技術，也是我軍開展軍事偵察任務時必須考慮的一類通信手段。本文主要針對跳頻信號的頻點、跳頻周期和跳頻時刻等參數的估計方法進行研究，重點改進了在模糊函數域中，濾除交叉項所使用的核函數，旨在進一步提升低信噪比環境下的跳頻信號參數估計的成功率，降低各參數的估計誤差，為后續的通信干擾等工作打好基礎。

1 問題描述

跳頻信號是一種常見的非平穩信號，它的載波頻率一般按照收發雙方事先約定的規律隨時間周期性跳變。單個跳頻信號在獨立的跳頻周期內具有載波頻率恒常的特點，所有可能的載波頻率（也稱頻點）的集合就是這個跳頻信號的頻率集合。跳頻信號的時域波形函數[1]為：

式中：s0(t)表示跳頻信號每一跳的信號分量；T表示整個觀測時長；TH表示一個跳頻周期；αTH表示頻率跳變時刻；fk表示第k跳的載波頻率。

跳頻信號的參數估計，通常是指估計跳頻信號的頻點、跳頻周期和頻率跳變時刻等參數。本文針對這3個參數的估計算法進行了研究。

2 基于模糊函數的核函數設計

分析一個跳頻信號的時頻域特征，通常將該信號的解析信號轉換到時頻域中，再對其時頻分布進行分析。根據解析信號的定義，跳頻信號s(t)的解析信號x(t)可寫作：

解析信號x(t)的維格納-威爾分布（Wigner-Ville Distributions，WVD）一般定義為[2]：

式中：x*(t)表示x(t)的復共軛函數。

跳頻信號的WVD是在時頻域對其解析信號的雙線性變換作關于τ的快速傅里葉變換（F ast Fourier Transform，FFT），表示的是原有信號在時頻域的能量分布情況，如果對解析信號x(t)的雙線性變換作關于t的FFT，即

則可獲得信號在時偏和頻偏平面（又稱相關域）的能量分布情況，該函數被稱為信號的模糊函數[3]。根據定義可知，WVD與模糊函數可通過二維FFT進行轉化。

維格納分布的優勢在于能夠比其他時頻分析方法更準確地保留跳頻周期和頻點參數，但其也具有明顯的缺陷，即存在大量的交叉項干擾。為了克服WVD中的交叉項干擾，通常需要在模糊函數域內設計一種核函數，對模糊函數中的交叉項進行濾除[4]。由于跳頻信號的載波頻率具有短時恒常的特點，其模糊函數能量通常呈現出自項圍繞原點集中分布，而交叉項遠離原點分散且關于原點中心分布的特點[5]。利用能量分布的這一特性，選擇合適的核函數即可有效濾除大部分的交叉項分量。

對信號的模糊函數作加權的二維FFT，即

式（6）表示信號在時頻域的能量分布函數，其中的加權函數被稱為核函數。核函數的設計應當做到在盡量保留自項的同時，濾除最多的交叉項。因此當核函數趨近完美時，重構出的時頻域能量函數應當趨近于跳頻函數WVD的自項分量。

本文在前人基礎上提出一種優化的核函數。現將其定義為：

式中：a、b、c、d為自適應參數。c=d=1時，此核函數退化為前人設計的核函數[6]，可以看做是本研究中優化后的核函數的一個特例。接下來對4個參數進行分析。

由于rect(·)控制時延方向的核函數寬度，當頻偏為0時，時延軸只存在自項，因此參數b的取值為2TH時，能最多地保留自項分量。參數c、d決定了核函數的弧度，與a參數共同決定了核函數的紋理與形狀。由于Sa(·)在頻域是振蕩函數，核函數與a、b、d這3個參數并不存在單調遞增或單調遞減的關系，因此需要引入一種評價核函數優劣的評價機制。

3 基于熵測度評價的核函數優化

在時頻域，一個信號的時頻聚集性越強，其能量則更貼合信號真實的時頻位置；而在時頻聚集性相同，信號時頻分布的交叉項能量越小，則時頻分布的能量也能更多地集中在真實的信號項附近。因此，無論是時頻聚集性，還是交叉項的嚴重程度，都可以通過時頻平面上能量分布的稀疏性加以描述。信息熵能夠非常好地判斷時頻分布的稀疏程度，進而評價時頻分布的優劣。對于同一信號，通常希望其時頻分布的信息熵盡量小。

當核函數參數取最優解時，能量域信息熵可以獲得最小值[7]。這里使用一種歸一化Renyi熵[8]對能量域進行不確定性測定。離散類時頻分布的歸一化α階Renyi熵的定義如下：

式中：n=1,2,3,…,N；N表示時域采樣點數；k=1,2,3,…,K；K表示頻域采樣點數；P(n,k)表示點處的能量。當α＞1且α為奇數時，Renyi熵均可正確反映信號時頻域能量分布的集中情況：為了降低運算量，通常α可取3，此時信號的3階Renyi熵可以(n,k)寫為：

4 估計跳頻信號的參數

計算核函數參數取不同值時，能量域的Renyi熵，熵越小時對應的核函數參數就越接近最佳核函數參數，選擇熵出現最小值時的核函數參數對跳頻信號參數進行估計。參數估計算法的具體步驟如下：

（1）根據式（5），計算出跳頻采樣信號的解析信號 x(t)對應的窄帶模糊函數 Ax(τ,ν)；

（2）根據式（7）預置核函數并通過遍歷等方法尋找能使式（9）中熵取得最小值的核函數參數；

（3）按照式（6）重構出跳頻信號的WVD函數Px(t,f)；

（4）計算重構出的WVD函數在每一個采樣時刻n上沿頻率軸的能量最大的2%的能量值之和，獲得矢量y(n)；

（6）將y(n)出現波峰的位置記為p(m)，m=1,2,3,…,k，k為峰值的個數；

（7）估計跳變時刻：先求出峰值出現的平均位置：

再求出頻率跳變時刻：

（8）估計跳頻信號的頻率集：

式中：l=1,2,3,…,L；L表示估計出的跳頻頻點個數。

5 仿真實驗

為了驗證優化后的核函數在跳頻信號參數估計中的有效性，現對該算法進行仿真。已知一段跳頻信號，其頻點為0.52 kHz、1.5 kHz、0.24 kHz、1.82 kHz、0.82 kHz、2.24 kHz、1.20 kHz， 采 樣 頻率10 kHz，跳頻周期為0.05 s，跳頻時刻為0.02 s，采樣時間0.35 s。原始跳頻信號的WVD圖像如圖1所示，可以清晰地看見時頻能量域存在大量的交叉項，雖然很難直接將交叉項與自項直接區分開，但WVD的時域邊緣分辨率高的優勢非常明顯。

現分別在信噪比SNR=15 dB和SNR=-3 dB的環境下，進行跳頻信號參數估計的仿真實驗。

當SNR=15 dB時，信號的模糊函數如圖2所示，圖中信號的自項主要集中分布在模糊函數域的原點附近，且能量幅值較大，而大量交叉項則呈現出遠離模糊函數域原點的對稱分布。現將核函數參數設計為a=4、b=119、c=1、d=1，對跳頻信號的模糊函數用核函數加權后，如圖3所示，遠離原點的大部分交叉項可以直接濾除，但自項附近依然存在殘留的交叉項。將模糊函數域的能量分布進行二維FFT，使其轉換到時頻分布域，如圖4所示。即可清晰地觀察到時頻域內信號的能量分布情況，由圖4可以看出信號有6個完整的跳及1個不完整的跳。將圖4與圖1對比后發現，信號的跳頻周期及各跳對應的頻點相對準確。由信號在各時刻的沿頻率軸的能量峰值圖像（圖5）可以較為準確地讀取該跳頻信號的跳頻周期及各頻點，同時也可以計算出跳頻時刻為0.02 s。

當SNR=-3 dB時，信號的WVD圖像如圖6，與原始信號的WVD圖像相比，前者的自項與交叉項出現了嚴重的混疊現象，難以直接分辨。現將核函數參數設定為a=3、b=119、c=0.05、d=1.2，獲得加核函數后的信號模糊函數如圖7所示，進行二維傅里葉變換后如圖8所示，可以看出較為模糊的跳頻信號時頻圖像，再將圖像重構到時間-能量圖上時，如圖9所示，信號的跳頻周期、頻點及跳頻時刻等參數均無法直接從圖像中獲取。此時對根據跳頻信號參數估計的過程，最終恢復出跳頻周期為0.049 s，頻點為0.528 kHz（+0.008 kHz）、1.495 kHz（-0.005 kHz），0.254 kHz（+0.014 kHz）、1.822 kHz（+0.002 kHz），0.802 kHz（-0.018 kHz）、2.223 kHz（-0.017 kHz）、1.260 kHz（+0.006 kHz），跳頻時刻為0.022 s。

為了驗證新設計的核函數比原核函數具有更優化的性能，現分別計算兩個核函數的3階Renyi熵與信噪比的關系圖。如圖10，當原始跳頻信號完全相同時，分別計算a階Renyi熵；當熵相同時，在0 dB附近，優化的核函數可以獲得3 dB至5 dB的性能增益。

6 結 語

跳頻信號使用WVD方法進行參數估計時，最亟需解決的就是交叉項濾除的問題。本文提出的優化的核函數是前人研究基礎上，受跳頻信號自項具有時域有限支撐、頻域無限拓展的特性啟發[9]，將原有核函數中的一次函數優化為平滑的可變冪函數，使核函數形狀與信號自項更貼合，從而保留更多自項并濾除更多的交叉項。

本文中提出的核函數，依然存在進一步優化的空間，例如將函數設計為自適應核函數，將認為改變核函數參數優化為根據信號特點主動優化參數。另外，雖然在本算法中使用優化后的核函數比原算法獲得了3 dB以上的性能提升，但其使用范圍依然局限于高信噪比的環境中，在-10 dB以上的較低信噪比區間，能量峰值的個數及位置均不夠準確，需要進一步辨別優化。-10 dB以下的低信噪比環境，幾乎無法使用此算法準確地重構跳頻信號的WVD并估計跳頻、跳速及跳頻時刻等參數。因此，在低信噪比環境下，如何改進時頻分析類算法來估計跳頻信號的參數，依然是一個艱難的挑戰。