巧借幾何直觀　構(gòu)建深度課堂

蔡玉秀

[摘 要]幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是將抽象的數(shù)學(xué)原理和知識(shí)通過直觀的幾何圖形展現(xiàn)出來，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的重要方法。用簡(jiǎn)易的圖案表示抽象數(shù)學(xué)原理中的數(shù)學(xué)符號(hào)或文字描述，從而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。本文從利用直觀教具，提供感性認(rèn)識(shí);運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，厘清算理算法;借助直觀圖形，理解數(shù)量關(guān)系;依托信息技術(shù)，加深問題理解這四部分內(nèi)容，深度研究借助幾何直觀構(gòu)建深度課堂的教學(xué)策略。

[關(guān)鍵詞]幾何思維;直觀理解;深度課堂;構(gòu)建方法

小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，教師在教學(xué)中要靈活轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，突破重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)教學(xué)難關(guān)，開拓學(xué)生解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的思路。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要借助幾何直觀，將抽象、冗雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)化，直觀形象地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，引導(dǎo)學(xué)生掌握理清題干思路的方法，借助幾何直觀思維理解抽象數(shù)學(xué)知識(shí)，尋找高效的解題思路，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量，形成良好的空間觀念，提高運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)思維能力等。

一、利用直觀教具，提供感性認(rèn)識(shí)

小學(xué)幾何知識(shí)屬于直觀幾何范疇，直觀的演示是了解數(shù)學(xué)本質(zhì)的手段，也符合小學(xué)生數(shù)學(xué)的心理規(guī)律。所以在探究圖形面積計(jì)算的教學(xué)中，要充分利用教具的直觀演示，將教學(xué)內(nèi)容寓于一定的情境當(dāng)中，化抽象為形象，不僅能激活學(xué)生的思維，也能有效降低教學(xué)難度。例如在教學(xué)《平行四邊形的面積》時(shí)，我先出示一個(gè)長(zhǎng)方形框架，提問：這是什么圖形？它的面積怎樣求？學(xué)生不難答出“長(zhǎng)方形的面積長(zhǎng)寬”。然后我把框架一拉，問：這又是什么圖形？你認(rèn)為它的面積該怎樣求呢？結(jié)果出現(xiàn)兩種猜想：①平行四邊形的面積底鄰邊，②平行四邊形的面積底高。接著我繼續(xù)拉框架，讓學(xué)生觀察。在拉動(dòng)的過程中“底和鄰邊的長(zhǎng)度沒有變化，但圖形的面積卻越來越小了，可見猜想①是錯(cuò)誤的”。教師利用直觀教具呈現(xiàn)圖形，使學(xué)生通過觀察圖形演示，理解長(zhǎng)方形向平行四邊形變化的過程中面積的改變，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致面積發(fā)生變化的決定因素是平行四邊形的高。由此，學(xué)生能夠探究出平行四邊形面積的正確計(jì)算方法。

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，厘清算理算法

雖然學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活緊密聯(lián)系，但算理的理解不能僅停留在實(shí)物層面，要讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)物——圖形——算理”的過程。因?yàn)閳D形相對(duì)實(shí)物更具有普遍性，可以為學(xué)生厘清算理算法，能夠引導(dǎo)學(xué)生克服干擾，較好地理解運(yùn)算本身，深度分析運(yùn)算原理。所以在計(jì)算教學(xué)時(shí)，教師要適時(shí)借助數(shù)形結(jié)合呈現(xiàn)直觀的圖形，能引導(dǎo)學(xué)生分析直觀圖形中的抽象數(shù)學(xué)算理，有效提升學(xué)生的算理理解能力，使學(xué)生掌握計(jì)算方法，提高運(yùn)算能力。

例如在教學(xué)《十幾減9》時(shí)，如：15-9=□。為了幫助學(xué)生理解“退位減”的算理算法，我畫了個(gè)15個(gè)○表示數(shù)字“15”，（左邊10個(gè)○表示十位上一個(gè)十，右邊5個(gè)○個(gè)位上五個(gè)一），提問：個(gè)位上的5減9夠減嗎？（不夠），那10減9夠減嗎？引導(dǎo)學(xué)生探究出計(jì)算15-9=□，要先用10-9=1，再把1+5=6，這樣借助圖形的直觀幫助學(xué)生深刻理解用“破十法”來計(jì)算“退位減”的算理算法，效果很好。

數(shù)形結(jié)合在溝通算法、算理中發(fā)揮著重要的作用。教材中還有很多借助數(shù)形結(jié)合直觀說明算理的例子，如兩位數(shù)乘兩位數(shù)、運(yùn)算定律、異分母分?jǐn)?shù)加減法等。它們都可以充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的直觀素材，促進(jìn)算法、算理的理解與溝通，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

三、借助直觀圖形，理解數(shù)量關(guān)系

借助圖形，學(xué)生可以對(duì)數(shù)量關(guān)系清晰地把握。由于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的身心發(fā)展尚未成熟，他們的抽象邏輯思維還有待于開發(fā)，所以在解決問題時(shí)，往往要借助直觀圖形來幫助探究解題思路和方法。比如“動(dòng)物們排隊(duì)做游戲，從左邊數(shù)，小熊排在第個(gè);從右邊數(shù)，小熊排在第個(gè)，這排小動(dòng)物一共有幾只？”很多同學(xué)一看題目，馬上列出算式：3+4=7（只），這時(shí)我并不著急給出對(duì)或錯(cuò)的結(jié)論，而是讓學(xué)生畫出示意圖，用“○”表示小動(dòng)物，小熊用“◎”表示。學(xué)生動(dòng)筆畫出示意圖如下：○○◎○○○，數(shù)一數(shù)發(fā)現(xiàn)只有6只動(dòng)物，學(xué)生意識(shí)到自己算錯(cuò)了，但不知道原因。此時(shí)我拋出這三個(gè)問題：（1）從左邊數(shù)，小熊排在第3個(gè)，這個(gè)小動(dòng)物中小熊有沒有算在內(nèi)？（2）從右邊數(shù)，小熊排在第4個(gè)，這個(gè)小動(dòng)物中小熊有沒有算在內(nèi)？（3）小熊只有一只，卻算了兩次，所以總只數(shù)會(huì)比實(shí)際多幾只？因此正確的算式應(yīng)該是3+4-1=6（只）。為了讓學(xué)生更加清楚地掌握算理，指著算式我再追問“為什么要減1，這個(gè)1指的是誰(shuí)？”這樣借助示意圖的直觀講解，給學(xué)生留下了深刻的印象，相信學(xué)生今后在解決類似的易錯(cuò)題時(shí)就不會(huì)再出錯(cuò)了。

小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生，雖說他們已經(jīng)具備了一定的抽象邏輯思維能力，但在解決很多稍復(fù)雜的應(yīng)用題中，仍會(huì)被多種因素影響，導(dǎo)致解題節(jié)奏被打斷。所以，教師要借助線段圖的直觀來幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，找到解題方法。比如行程問題：王敏和陳東二人驅(qū)車從兩處地點(diǎn)相對(duì)而駛，王敏的速度是每分鐘行320米，陳東的速度是每分鐘行310米，二人在全程中點(diǎn)50米處遇到，求兩處地點(diǎn)之間的距離。這道題如果不畫線段圖，很多同學(xué)會(huì)誤以為相遇時(shí)王敏比陳東多行50米，就導(dǎo)致解題錯(cuò)誤了。但是線段圖（如圖）可以直觀看出兩人相遇的地點(diǎn)距中點(diǎn)50米，也就是王敏的行駛路程超過了中點(diǎn)50米，而陳東還沒有駛到中點(diǎn)，離中點(diǎn)還有50米，所以王敏比陳東多行駛的路程是50+50=100（米）。已知王敏每分鐘比陳東多行320-310=10（米）。用100÷10=10（分鐘），這就是兩人所行的時(shí)間，即相遇時(shí)間，再用“速度和×相遇時(shí)間=總路程”就使問題得到了解決。所以恰當(dāng)選用線段圖、示意圖、集合圖等，可以幫助學(xué)生理清題意，找到解題思路，然后再解答，使每一步算式都有理有據(jù)，從而促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展。

作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要方式，幾何直觀可以有效幫助學(xué)生提升解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的效率。因此，教師要重視學(xué)生的幾何意識(shí)培養(yǎng)，在教學(xué)中融入幾何直觀的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生多嘗試運(yùn)用幾何思維辯證地看待具體數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在幾何數(shù)學(xué)素養(yǎng)的輔助下，靈活解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題、理解抽象原理與數(shù)量關(guān)系，間接促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展。

四、依托信息技術(shù)，加深問題理解

幾何直觀能力的培養(yǎng)，依賴于學(xué)生多種感官的參與，應(yīng)用傳統(tǒng)教學(xué)手段雖能體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，但有一定的局限性，而多媒體教學(xué)如希沃課件、幾何畫板、交互式智能白板等具有色彩豐富，能化靜為動(dòng)，化虛為實(shí)，化繁為簡(jiǎn)，化抽象為直觀等特點(diǎn)，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能大大增強(qiáng)教學(xué)效果。如在《角的度量》中利用多媒體演示量角器的構(gòu)造過程，還有運(yùn)用多媒體動(dòng)態(tài)展示圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，展示“垂直與平行”中永不相交（尤其是對(duì)看似不相交而實(shí)際上是相交現(xiàn)象的理解）和對(duì)“同一平面”的正確理解。形象直觀的動(dòng)畫，使抽象的數(shù)學(xué)具體化，枯燥的數(shù)學(xué)趣味化，復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，讓靜止的幾何形體動(dòng)起來，為學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體感知到抽象思維的飛躍架設(shè)橋梁，看似晦澀的數(shù)學(xué)知識(shí)通過幾何直觀可以牢牢在學(xué)生心中扎根。信息化多媒體教學(xué)設(shè)備能夠優(yōu)化教學(xué)方式，在演示抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算過程的基礎(chǔ)上，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，能拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視角。例如，學(xué)生在解決難度較大的問題時(shí)，可借助多媒體教學(xué)設(shè)備演示具體的解題過程，學(xué)生在其引導(dǎo)下提升解題效率，從而加深對(duì)問題的理解，提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的直觀洞察能力。

數(shù)學(xué)具有獨(dú)特的“理學(xué)之美”，其中“多姿”的抽象知識(shí)能夠在幾何直觀視角下清晰地展現(xiàn)。數(shù)學(xué)教師可以利用幾何直觀來助力課堂教學(xué)，使數(shù)學(xué)的“教”與“學(xué)”變得形象生動(dòng)，把抽象的算理算法變得直觀易懂，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單明了，有效地降低了教學(xué)難度，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，空間觀念得到發(fā)展，從而構(gòu)建深度課堂。

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本文系福建省莆田市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項(xiàng)課題的研究成果，課題名稱：《小學(xué)生“幾何直觀”能力培養(yǎng)的策略研究》（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：PTGFKT20061）。

（責(zé)任編輯 武之華）