“做數學”對初中生邏輯推理與直觀想象影響的實驗研究①

段偉 東方 陳仲華

摘要：邏輯推理和直觀想象是數學學科核心素養的重要組成部分。以江蘇省南京市某重點中學七年級和八年級學生作為被試，以教學方法為自變量，邏輯推理和直觀想象能力為因變量，進行“做數學”的研究。研究表明，通過“做數學”的教學方式，實驗組與對照組的后測成績存在顯著差異，即實驗組學生的邏輯推理與直觀想象水平有了明顯的提高，從而在一定程度上揭示出“做數學”與數學學科核心素養之間的內在聯系。

關鍵詞：“做數學”;數學實驗;邏輯推理;直觀想象

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》（以下簡稱“新課標”）提出了六大數學學科核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。學科核心素養的提出，會在教育理念、教育目標、教學模式、教學評價等方面引發重大變革，培育學生的學科核心素養將成為時代賦予教育的重要任務。

新課標對邏輯推理和直觀想象做了明確的界定。邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理主要表現為：掌握推理基本形式和規則，發現問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象主要表現為：建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物。

關于邏輯推理的研究，分為演繹推理與合情推理兩個方面，涉及邏輯推理的發展與邏輯推理的培養。

林崇德將中學生論證推理能力劃分為四個水平：直接推理水平、間接推理水平、迂回推理水平、按照一定數理邏輯格式進行綜合性推理的水平。調查發現，七年級和八年級、高一年級和高二年級之間的差異均達到了顯著的水平，八年級和高二年級是中學生數學推理能力發展的轉折點（關鍵時期）。① 孫敦甲研究發現，中學生數學邏輯思維的發展是從形象抽象思維到形式抽象思維，最后向著辯證抽象邏輯思維發展;八年級與九年級、九年級與高一年級、高一年級與高二年級之間的差異均達到了非常顯著的水平。② 武錫環等人使用“定義規則型問題”對初中生演繹推理能力的研究顯示，三個年級的結果呈直線上升趨勢，年級之間的差異都是顯著的。③

多項研究表明，中學也是學生歸納思維快速發展的時期。武錫環等人將信息表征、歸納識別、形成猜想、假設檢驗確定為歸納推理的四個重要影響因素，并據此編制測試題。在初中三個年級施測的結果顯示，總體而言，七年級、八年級學生差別不大，而八年級、九年級學生則差異顯著。這說明，八年級是歸納推理能力發展的關鍵時期。④ 黃煜烽等人對七年級、九年級和高二年級學生歸納推理能力的研究也顯示，八年級是學生歸納推理能力迅速發展的時期，而七年級學生的歸納推理還依賴于具體經驗的支持，往往體現為枚舉而非得到新的含義。⑤Csapo的研究表明，三年級學生已經具備了一定的歸納推理能力;低年級得分的標準差較大，原因是少數學生在早期就具備較強的歸納推理能力;五到七年級是歸納推理能力發展最迅速的時期，九年級后發展速度明顯放緩。⑥

唐慧琳和劉昌采用雙因素實驗設計，發現工作記憶是影響類比推理的重要因素：在圖形類比推理中，主要有視空間模板中的空間成分、語音回路中的發音成分以及中央執行器的參與;而在言語類比推理中，則是視空間模板中的空間成分起主要作用。⑦

林崇德等人對小學生圖形推理策略的研究表明，不同年齡段的小學生在解決圖形推理問題時的直觀想象能力是不同的，一般是隨年齡增長而呈上升趨勢，但有幾個關鍵時期。小學二年級開始出現直觀想象能力發展的飛躍，而五、六年級更能夠不受題目形式的影響，開始從本質上把握。這說明就直觀想象能力而言，二年級和五、六年級是小學階段的關鍵時期。⑧

中學生直觀想象能力的培養同樣是一個循序漸進、逐漸上升的過程。孫敦甲認為，中學生數學能力在空間想象能力方面的發展，是從對基本幾何形的初步想象到對平面基本幾何形的深入想象，再到對立體基本幾何形的深入想象。從九年級開始，有61.6%的學生具備對基本幾何形的初步想象能力;從高一年級開始， 53.1%的學生具有備對平面基本幾何形的深入想象能力;到高二年級，才有50.2%的學生具備對立體基本幾何形的深入想象能力。因此可以得出，八年級學生的空間想象能力開始有非常明顯的提高;九年級、高一年級是關鍵時期;到了高二年級，發展呈定型趨勢，逐漸到達成熟期。這說明就幾何直觀想象能力而言，八年級、九年級、高一年級是中學階段的關鍵時期。⑨

Presmeg不僅將學生區分為視覺型和非視覺型，還依據數學教師在解題時的傾向，將教師同樣區分為視覺組與非視覺組，進而發現：非視覺組教師更傾向于使用講授法，教學偏重形式化，講究邏輯與嚴格;視覺組教師更傾向于將數學課程與學生經驗相聯系，強調現實世界與數學內容的聯系， 表現了更多與創造性有關的嘗試。從教學效果上看，非視覺組教師對學生有一種約束，但一些視覺組教師同樣也沒能有效促進學習。中間組的教師最為理想，他們會使用視覺化方法，但也強調抽象和一般化，這一點可以幫助視覺型學生克服一些典型例子帶來的問題，而視覺組教師往往難以意識到這一點。①

本文探究“做數學”（主要是數學實驗）與學生邏輯推理、直觀想象之間的內在聯系，探討通過數學實驗的教學干預能否對學生的邏輯推理、直觀想象能力產生影響。

二、研究方法

本次研究是在喻平教授關于“做數學”實證研究總體設計框架下開展的一項研究。

（一）被試選擇

參加實驗的是江蘇省南京市某重點中學七年級、八年級的部分學生，對每個年級在學習水平相當的班中選取一個班作為實驗組，一個班作為對照組。教學內容相同，實驗組采用“做數學” 的方式教學，對照組采用普通教學方式。每組實驗班和對照班都是由同一位數學教師任教的，從而消除了不同教師的教學水平可能造成的無關變量因素。

（二）研究工具

七年級、八年級都采用了第一學年期中考試數學成績作為前測成績。

后測題目主要圍繞七年級、八年級下學期所學的知識來設計。一道題目可能會涉及多種能力，我們只考慮邏輯推理和直觀想象，其他能力要素不予考慮。參考喻平教授的分法，把關鍵能力分為三級水平：知識理解（水平1）、知識遷移（水平2）、知識創新（水平3）。② 就邏輯推理與直觀想象而言，具體劃分如表1所示。

題目可以只測試某個水平，也可以分為若干小?題，分別測量不同水平。計分方法：一級水平計x?分，二級水平計x+1分，三級水平計x+2分。其?中，x可以根據情況賦一個值。比如，某道題目考?查邏輯推理和直觀想象，其中邏輯推理是三級水?平，直觀想象是二級水平，那么邏輯推理就是x+2分，直觀想象就是x+1分。如果取x=2，則邏輯推理是2+2=4（分），直觀想象是2+1=3（分），該題總分為7分。

（三）實驗設計

實驗流程如圖1所示。兩個“做數學”階段，??每一個階段至少安排3次“做數學”活動。

三、研究過程

（一）實驗操作

整個實驗持續一學期，共分為兩個階段。結束后，對實驗組和對照組進行測試，并對測試成績做t檢驗。同時，對實驗組與對照組進行品格價值觀的問卷前測和后測，并對前、后測成績做t檢驗。

在具體教學中，我們選擇適合開展“做數學”的教學內容進行實驗。考慮到教學課時的限制，有些課是整節課都采用“做數學”的教學方式，有些課則是部分運用“做數學”的方式——不為了實驗而實驗，而讓實驗恰當地出現在需要的環節。

（二）數學實驗教學案例

【案例1】七年級：密鋪

這是基于蘇科版初中數學七年級下冊《多邊形的內角和與外角和》一節的補充內容。這個內容既涉及多邊形的內、外角和，也涉及方程模型，特別是不定方程解的討論，對學生而言是邏輯推理上的難點。為了化解難點，我們采用“做數學”的教學方式，利用江蘇省教研室編寫的《義務教育教科書·數學實驗手冊（七年級下冊）》中的配套學具，包括多個全等的任意三角形、任意四邊形，多個全等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形等。學生通過動手拼圖，可以得出結論：對于多個全等的任意三角形、任意四邊形，由于它們內角和的特殊性，所以它們可以實現密鋪。同時，可以認識到：正多邊形的密鋪分為簡單密鋪和組合密鋪。在簡單密鋪中，由于涉及單一正多邊形的邊數和個數， 就出現了二元不定方程，需要對方程進行合理的變形和步步有據的推理，方能得出正確答案;對于組合密鋪，由于涉及兩種正多邊形的密鋪、三種正多邊形的密鋪…… 就需要合理的邏輯推理方法，方能求解。例如，兩種正多邊形的密鋪，可以先固定其中一種正多邊形的邊數，變化另一種正多邊形的邊數，從而方便討論;三種正多邊形的密鋪，可以先固定其中兩種正多邊形的邊數，變化另一種正多邊形的邊數，從而方便討論。本節課， 不僅僅是得出密鋪的有關結論，關鍵是培養學生的邏輯推理能力。

【案例2】七年級：拼圖

這是基于蘇科版初中數學七年級下冊《多項式的因式分解》一節的補充內容。

因式分解的教學通常采用“把…… 反過來， 就得到……” 的呈現方式，從而引導學生學會逆向思維。那么，我們能否通過拼圖活動，解決二次項系數為1的二次三項式x²+（m+n）x+mn的因式分解呢？ 于是，我們利用江蘇省教研室研發的數學實驗工具——多邊形塑料片組件，進行一系列探索活動。從學生最熟悉的完全平方公式a²+2ab+b²=（a+b）²入手，再探究多項式a²+4ab+4b²、a²+3b+2b²的因式分解，最后設計如下兩個問題：（1）a畫一個長方形，使所畫圖形面積為a²+2ab-3b²（a>b）;（2）設計一個關于a、b的二次三項式，并畫出一個長方形，使它的面積是所設計的二次三項式。上述設計借助圖形直觀，使學生更易于發現結論，有助于學生感悟數與形的關系。本節課，用“做數學”的教學方式， 提高學生的直觀想象能力，從而增加了學生學習數學的興趣和信心。

四、研究結果

以下為實驗數據的分析，包括前測和后測的數據檢驗結果。

（一）前測成績分析

對七年級的前測數據進行檢驗，結果見下頁表2和表3。

下頁表3顯示，在方差Levene（齊性）檢驗中， Sig.=0.909>0.05，所以方差齊性，再看對應的Sig.（雙側）=0.527>0.05，因此，七年級實驗組和對照組的前測成績不存在顯著差異。這說明， 在進行數學實驗教學之前，實驗組、對照組學生的邏輯推理與直觀想象水平基本一致。

同樣，對八年級的前測數據進行檢驗（表略），表明八年級實驗組和對照組的前測成績也不存在差異。這說明，在進行數學實驗之前，實組組與對照組學生的邏輯推理與直觀想象水平基本一致。

（二）后測成績分析

對七年級的后測成績做檢驗，結果見表4和表5。

表5顯示，七年級實驗組和對照組的后測成績存在顯著差異。這說明，通過數學實驗教學，實驗組學生的邏輯推理與直觀想象水平有了一定程度的提高。

對八年級的后測成績做檢驗，結果見表6和下頁表7。

表7顯示，在方差Levene（齊性）檢驗中，Sig.=0.040<0.05，所以方差不齊性，再看對應的Sig.（雙側） =0.002<0.01，所以八年級實驗組和對照組的后測成績存在非常顯著的差異。這說明，通過數學實驗教學，實驗組學生的邏輯推理與直觀想象水平有了一定程度的提高。

五、結論與討論

研究表明，在初中階段，“做數學”的數學實驗學習方式可以明顯提高學生邏輯推理和直觀想象能力，特別是在學習幾何知識有關的章節時。

首先，“做數學”的數學實驗學習方式，無論是通過數學學具還是圖形輔助軟件，都給了學生視覺上的幫助，在一定程度上降低了學習的難度。尤其是對邏輯推理、直觀想象能力稍弱的學生，幫助特別明顯。

其次，“做數學”的數學實驗學習方式，可以幫助學生積累邏輯推理、直觀想象的經驗，進而提高邏輯推理、直觀想象能力。通過數學實驗， 學生理清了一個推理的難點或一個空間結構， 即使后面遇到更難但有關聯的問題，他們也可以將之前的經驗加以遷移運用來解決。

再次，“做數學”的數學實驗學習方式，提高了學生學習數學的興趣和信心。初中生還處于心智成長的過程中，需要一些新鮮事物去不斷地激發他們學習數學的興趣。豐富的實驗教具、學具和軟件，為數學課堂注入了新鮮感。另一方面，通過數學實驗，思維能力相對薄弱的學生有了一種得出答案的新途徑，縮小了思維能力強、弱學生之間得出答案快、慢的差距，進而使二者在考試成績上的差距也明顯縮小，讓思維能力相對薄弱的學生重拾數學學習的信心。

（段偉，江蘇省南京外國語學校。東方， 江蘇省南京外國語學校。陳仲華，江蘇省南京外國語學校。）