航天器姿態跟蹤有限時間自適應積分滑模控制

馮昱澍，劉 昆，馮 健

(1. 國防科技大學空天科學學院 長沙 410073；2. 北京跟蹤與通信技術研究所 北京 海淀區 100094；3. 中山大學航空航天學院 廣州 510006；4. 中國人民解放軍96901部隊 北京 海淀區 100094)

航天器要完成空間探測、開發空間等特定的飛行任務，對姿態控制提出了各種要求。其中對地觀測衛星在軌運行和對地觀測中要求衛星在一定的干擾下實現高精度的對地指向，更需要高精度的姿態控制。近年來，衛星姿態控制領域取得了許多成果，如經典的PID控制[1-2]、最優控制[3]、魯棒控制[4-5]、自適應控制[6-7]、滑模控制[8]、模糊控制等。

其中滑模控制本質是一類特殊的非線性控制，在控制過程中，系統的狀態沿著滑動模態運動，由于滑動模態可以設計且與系統參數變化和外界擾動無關，因而具有很好的魯棒性。但在實際系統中，狀態軌跡一般不會完全沿著滑模面運動，而是在滑模面兩側來回穿越，產生抖動。對航天器來說，這種抖動不僅會影響系統的控制精度，增加航天器的能量消耗，也有可能會激發系統的高頻未建模動態，使系統產生振蕩甚至失穩。國內外許多學者從不同的角度提出了解決的方法。文獻[9]改進了滑模切換函數，提出了邊界層的概念，在邊界層外采用滑模切換函數，而在邊界層內使用飽和函數替代切換函數，通過減少切換增益來減小抖振。然而在系統存在參數不確定性和外界存在擾動時，邊界層的方法會產生穩態誤差。同時傳統的滑模控制中系統的相軌跡分為到達段和滑模段，系統只有處于滑模段時，才表現出對于參數變化和干擾的魯棒性。基于此，文獻[10-11]將積分項引入了滑模面的設計中，利用積分滑模的積分特性和全局滑模特性消除穩態誤差和縮短到達滑模時間。

上述控制方法僅使系統漸進穩定，即閉環系統狀態要在時間趨于無窮大時才能收斂為零。有限時間控制是近年來新興的熱門控制方法，相比傳統的控制方法，閉環系統狀態可以在有限時間收斂到零，同時具有更快的收斂特性，在工程應用中具有發展前景。文獻[12]針對不存在和存在擾動力矩的兩種情況設計了兩種基于修正羅德里格斯參數(MRP)描述剛體航天器姿態的有限時間控制律。文獻[13]基于歐拉角描述的航天器姿態模型，設計了使閉環控制系統具有負齊次性的有限時間控制律，該方法針對系統擾動和不確定性具有一定的魯棒性。

本文綜合有限時間控制和滑模控制的特點，在滑模面的設計中加入有限時間控制算法，同時應用自適應方法設計了動態滑模切換函數增益，提出了一種有限時間自適應積分滑模控制方法。該方法相較于常規滑模控制方法，系統狀態收斂更快，而相較于常規有限時間方法，魯棒性更好。數值仿真表明了該方法的有效性。

1 航天器姿態跟蹤數學模型

建立四元數表示的航天器姿態跟蹤模型如下[14]：

2 有限時間穩定定理

定義 1(強穩定性)[15]考慮非線性系統：

1)z(t)=x(t) ?t∈[0,t1)

2)‖z(t)‖≤B(α) ?t≥0

3)‖z(t)‖＜ε ?t≥T(α,ε)

則x=0為 系統(5)的強穩定平凡解，當D=Rn時，系統為全局強穩定。

定義 2(有限時間穩定)[16]考慮非線性系統：

定義 3(向量函數齊次性)[17]考慮如下向量函數，f(x)=(f1(x),f2(x),···,fn(x))T:Rn→Rn，若對任 意 的 ε＞0 ， 存 在 (r1,r2,···,rn)∈Rn， 其 中ri＞0，i=1,2,···,n， 使得f(x)滿足：

式中，k＞-min{ri,i=1,2,···,n}， 則稱f(x)關 于(r1,r2,···,rn) 具 有齊次度k， 其中 (r1,r2,···,rn)稱為擴張。

定義 4(標量函數齊次性)[18]考慮如下連續函數，V(x):Rn→R， 若對任意的ε ＞0 ， 存在σ ＞0和擴張(r1,r2,···,rn)∈Rn， 其中ri＞0，i=1,2,···,n，使得：

則稱V(x)關 于(r1,r2,···,rn) 具 有齊次度σ。

引理 1[19]對于非線性系統(6)，若該系統是全局漸進穩定的且具有負的齊次度，那么該系統是全局有限時間穩定的。

3 有限時間自適應積分滑模控制

3.1 無擾動時有限時間控制器設計

不考慮外界干擾和轉動慣量不確定性的標稱航天器姿態跟蹤動力學方程為：

則系統(7)和系統(8)可改寫成如下形式：

為方便控制律的設計和證明，對式(9)進行坐標變換。定義新的狀態變量如下：

令：

則有：

對上式移項并對ω 求導，可得：

將式(12)代入式(9)，得：

對上式進行變換如下：

式中，

證明：將控制律式(15)帶入式(14)，得：

考慮備選Lyapunov函數：

不難驗證V(z)是 正定的，且當z≠0時是連續可微的，V(z)沿閉環系統(16)的解對時間的導數為：

4 數值仿真

為了驗證本文方法的有效性，采用文獻[20]的線性滑模面代替積分滑模面，設計控制律和3.1、3.3節的控制律分別進行數值仿真并比較。剛體航天器及控制律各項參數如下：J?=diag(900,600,300)kg·m2為 慣量陣標稱值，不確定性ΔJ取標稱值的2%，外部干擾力矩ud=(50sin(0.1t),50sin(0.5t),50sint)N·m ，初始姿態誤差四元數為q=[0.9515,0.2685,0.1449,0.0381]T，對應的姿態誤差歐拉角為angle=[20?,30?,10?]T，初始誤差姿態角速度為ω(0)=[0.01,0.01,0.01]Trad/s，初始期望姿態四元數為qd(0)=[1,0,0,0]T，期望的姿態角速度為ωd=[0.03sin(0.1t),0.03sin(0.1t),0.03sin(0.1t)]Trad/s，控制參數取α1=0.5，k1=k2=k=1，a=0.01，c=10。

首先考慮無外界擾動和航天器轉動慣量確定的情況，為方便比較，將誤差四元數轉換成按3-2-1轉序得到的誤差姿態角，仿真結果如圖1～圖3所示。

圖1 無擾動時3種方法誤差姿態角比較

圖3 無擾動時滑模方法滑模面比較

圖1、圖2為3種方法的誤差姿態角和誤差姿態角速度仿真結果，從圖中可以看出，3.3節提出的有限時間自適應積分滑模方法能夠使得誤差姿態角和誤差姿態角速度在有限時間收斂到零，在沒有外界擾動和航天器轉動慣量確定的情況下，與本文3.1節提出的有限時間算法結果基本相同。這是因為在積分滑模面的設計中，將有限時間控制的系統狀態運動軌跡作為期望的滑動模態的導數，當系統保持在滑模面上時，狀態運動軌跡便與有限時間算法相同。兩種方法收斂速度均快于文獻[20]，原因是文獻[20]使用線性滑模面，因此系統狀態只能是指數收斂，在時間趨于無窮大的時候狀態收斂到零。

圖2 無擾動時3種方法誤差姿態角速度比較

在考慮外界擾動以及航天器轉動慣量存在不確定性的情況下，仿真結果如圖4～圖6所示。

圖6 有擾動時滑模方法滑模面比較

從圖4和圖5中可以看出，在存在外界擾動和航天器轉動慣量存在不確定性的情況下，3.3節提出的有限時間自適應積分滑模方法能夠克服聚合擾動，使得誤差姿態角和誤差姿態角速度仍在有限時間內收斂，體現了一旦系統運行在滑動階段，滑模控制具有對外界干擾和參數不確定的不敏感性特點。而3.1節和文獻[20]的方法都只能使得誤差姿態角和誤差姿態角速度在零點附近波動，前者的收斂速度更快，這是因為有限時間控制方法相比線性指數控制方法具有更快的收斂性[21]。

圖4 有擾動時3種方法誤差姿態角比較

圖5 有擾動時3種方法誤差姿態角速度比較

考慮到工程上的可實現性，使用了連續函數f(s)代 替切換函數s gn(s)。從圖6可以看出，在聚合擾動存在的情況下，傳統滑模面和積分滑模面都不能收斂到零，只能收斂到邊界層以內(本文仿真取邊界層a=0.01)，但積分滑模的全局滑模的特點使得積分滑模面能夠迅速收斂到邊界層內。

圖7 有擾動時自適應參數

5 結 束 語

考慮存在模型參數不確定和外界干擾的情況，本文建立了用四元數表示的航天器姿態跟蹤數學模型，提出了一種有限時間自適應積分滑模控制方法。首先針對無參數不確定性和干擾的情況，設計了一種有限時間控制器，保證航天器姿態在有限時間跟蹤上期望姿態。在考慮擾動的情況下，結合有限時間控制和滑模控制設計了一種積分滑模面，利用自適應方法動態調整切換函數增益，在線辨識聚合擾動的上界。該方法兼具有限時間控制和滑模控制的優點，可使閉環系統狀態有限時間收斂并具有很好的魯棒性。理論分析和仿真結果說明了本文方法的有效性。