基于稀疏字典學習的VLSI溫度場重構技術

張天一，李文昌*，肖金玉，劉 劍

(1. 中國科學院半導體研究所 北京 海淀區 100083；2. 中國科學院大學微電子學院 北京 石景山區 100049；3. 華潤上華科技有限公司 江蘇 無錫 214028；4. 中國科學院大學材料科學與光電技術學院 北京 石景山區 100049)

隨著集成電路工藝的發展，晶體管的特征尺寸越來越小，多核處理器等超大規模集成電路(very large scale integration, VLSI)單位面積上集成的器件越來越多，導致芯片功率密度增加，工作溫度上升，從而引起嚴重的熱問題。過高的溫度會降低芯片的運行性能，減少芯片的使用壽命，嚴重時甚至導致芯片直接損壞[1-2]。高性能芯片采用動態熱管理(dynamic thermal management, DTM)技術處理熱問題[3-4]。DTM通過集成在芯片上的溫度傳感器監測芯片溫度場信息，當芯片溫度超過閾值時，觸發管理機制并采用調整芯片工作負載、降低時鐘頻率或者啟動冷卻裝置等方式降低芯片溫度，可以有效地抑制芯片過熱的情況發生[5]。溫度場監測精度對DTM準確、高效運行至關重要。溫度場監測誤差會導致DTM過早或過晚觸發。不必要地過早觸發DTM會使芯片低性能運行；而延遲觸發DTM則可能導致芯片的溫度過高，甚至導致芯片失效。因此，精確監測芯片溫度場對于保障芯片運行性能和可靠性十分必要。

在實際應用中，受芯片資源限制，只允許少量溫度傳感器布置在被監測芯片上。因此，如何通過有限數量的溫度傳感器精確地獲得溫度場信息成為研究熱點[6-7]。文獻[8]利用奈奎斯特-香農采樣定理，通過頻域傅里葉分析技術實現了多核處理器的溫度場重構，研究證明溫度場在頻域表現為稀疏性，所謂稀疏性即大部分數據為零或者接近零，非零數據的個數稱為稀疏度。文獻[9]通過離散余弦變換在頻域分析溫度場先驗信息，并利用頻域信號能量特性提出了溫度傳感器布局與溫度場重構策略，相比于傅里葉變換，離散余弦變換在頻域具有更好的能量集中性。文獻[10]在頻域分析的基礎上，通過改進Voronoi圖構建算法來提高溫度場重構精度。在頻域下，溫度場信號主要集中在低頻區，因此基于頻域的溫度場重構技術在重構溫度場時會忽略大部分高頻信號，這在一定程度上會造成重構精度的降低。文獻[11]提出了基于壓縮感知的溫度場重構技術，利用溫度場頻域稀疏性并結合壓縮感知理論還原溫度場，但需要注意的是，根據壓縮感知理論當溫度傳感器數量小于稀疏度時，重構精度會降低。除了頻域法，文獻[12]提出了基于主成分分析法(principal component analysis, PCA)的溫度場重構技術，將溫度場用線性模型表示，但是線性模型為欠完備字典，會損失一部分信息。

本文提出一種基于稀疏字典學習的溫度場重構技術。首先利用溫度場先驗信息訓練字典，然后通過字典學習將溫度場進行稀疏表示，并將溫度傳感器布局轉化為NP-hard問題，采用模擬退火算法求解傳感器位置，最后利用正交匹配追蹤算法重構溫度場，提高溫度場重構精度。

1 溫度場稀疏編碼

許多高性能芯片在不同工作條件下，產生的溫度場分布不同，在芯片設計階段可以得到溫度場分布的先驗信息。通過對溫度場先驗信息進行字典學習，可以將溫度場稀疏表示[13]。假設溫度場先驗信息包含T個溫度場，對于1≤t≤T，溫度場ft是一個W×H的離散化數據矩陣，W、H分別代表溫度場寬和高方向的離散數據分辨率。記N=W×H，對于0≤n≤N-1，將溫度場矩陣ft轉換為向量表示：

式中，D稱為字典，D={d1,d2, ···,dK}，是由一組基向量組成的N×K矩陣，每個基向量稱為原子；K為原子個數，當用于稀疏表示時，D為過完備字典，即K＞N；X={x1,x2, ···,xT}，是F的稀疏編碼，當稀疏度為R時，X的每個列向量中只有R個非零值。

圖1 溫度場重構過程

求解字典D為一個迭代過程，每次迭代需要完成稀疏編碼和字典更新兩個步驟，直到完成迭代次數，流程如圖2所示。

圖2 字典D的求解流程

稀疏編碼，即為已知字典D更新X的過程，采用逐列更新方式，對于X的第t列xt，以最小均方誤差作為原則，求解可以表示為：

式中，下角標F代表Frobenius范數。由于ft、D及xt的稀疏度R均是已知的，可以利用正交匹配追蹤算法計算[14]。X的完整更新算法過程如下：

1) 已知字典D、先驗信息F、稀疏度R；

2) 當更新X的第t列，初始化：殘差r0=ft；索引集Φ = ?；i= 1；

3) 判斷：當i≤R時進行下一步，否則跳至步驟9)；

4) 求D每列與殘差ri-1的內積，并從其中找出最大值對應的位置λi，即：

5) 更新索引集Φ =Φ∪{λi}，根據索引集中的角標位置從D中提取相應位置列向量組成矩陣Di={dλ1,dλ2, ···,dλi}；

6) 根據最小二乘原理求得稀疏表示：

式中，符號“?”表示廣義逆矩陣運算，即：

式中，符號“*”代表矩陣的共軛轉置運算。

7) 更新殘差ri，ri=ft-Dixi；

8) 完成本次迭代，i=i+ 1，跳至第3)步；

9) 完成X的第t列更新，xt[Φ] =xi，跳至第2)步并重復步驟3)～8)，直至X的所有列更新完畢。

字典更新，即為已知X更新D的過程，逐個更新字典原子，對于D的第k個原子滿足最小二乘原則：

式中，xT表示X的行向量；上角標j、k表示第j、k行；Ek代表更新第k個原子時對應的殘差矩陣。此時可以利用奇異值分解求解dk。對Ek進行奇異值分解，取左奇異矩陣的第1個列向量作為dk，取右奇異矩陣的第1個行向量與第1個奇異值的乘積作為xTk，則完成了對第k個原子的更新，同時更新了X。D的完整更新算法過程如下：

1) 已知原字典D，先驗信息F，稀疏編碼X；

2) 更新第k個原子，找到xTk中非零元素的位置索引集合Λ；

3) 令dk= 0，并計算殘差矩陣：

6) 同時更新dk及xTk：

dk=U[:,1]xTk[Λ]=Σ[1,1]V[:,1]*

7) 跳至第2)步并重復步驟3)～6)，直至D的所有原子更新完畢。

完成圖2的流程后得到字典D，然后就可以利用字典D計算溫度傳感器位置，并實現溫度場重構。

2 傳感器分配與溫度場重構

如圖1所示，根據溫度傳感器數據計算出X。對于s個溫度傳感器，溫度傳感器的位置記為L={l1,l2, ···,ls}，可以得到：

溫度傳感器的位置會影響X的解算精度。考慮實際溫度傳感器的采樣噪聲以及X的求解誤差，式(6)的表達式調整為：

式中，δ為隨機噪聲；ε為求解誤差。對式(7)進行分析可以得到如下關系：

根據式(8)，求解誤差ε的大小被矩陣DS的條件數Cond2(DS)限制，因此，選出s個溫度傳感器位置，使Cond2(DS)最小就能使求解誤差最小。從N個位置中選出最優的s個位置，這是NP-hard問題。本文采用模擬退火算法求解該NP-hard問題[15]。為了不使X的求解變為不適定問題，溫度傳感器數量s與稀疏度R應滿足s＞R，同時矩陣DS的秩應不小于R，即rank(DS) ≥R。傳感器位置完整更新算法過程如下：

1) 已知字典D；

2) 初始化模擬退火參數：初始溫度Tin，終止溫度Tstop，溫度衰減指數γ，內循環次數M；

3) 隨機生成s個位置L和Lc，分別為最優解和當前解，如果rank(DS)≥R且rank(DSc)≥R，則分別計算DS和DSc的條件數C和Cc，否則重復該步驟；

4) 令初始溫度T=Tin，開始模擬退火，當T＜Tstop時，跳至第11)步；

5) 執行內循環，完成步驟6)～9)M次；

8) 生成隨機數 θ∈(0,1)，計算Metropolis準則概率：

10) 更新當前溫度T，T= γT，跳至第4)步；

3 實 驗

圖3 實驗原理

實驗中，TTC包含225個基本單元即傳感器備選位置為225個，每個溫度場離散為W×H= 15×15的二維矩陣，相應的溫度場分辨率N= 225。先驗信息由300個溫度場組成，T= 300。在進行字典學習時，選取的字典原子個數K= 250。利用有限數量溫度傳感器重構溫度場的性能，對比溫度傳感器數量s= 7, 9, ···, 17, 19時重構溫度場與先驗信息之間的平均誤差、均方誤差和誤報率。

平均誤差Eavg，即溫度場重構誤差的平均值，其值越低表示重構精度越高，定義為：

均方誤差EMSE，即溫度場重構誤差平方的平均值，其值越低表示重構精度越高，定義為：

誤報率(false alarm rate, FAR)，定義為漏報或虛假緊急情況所占的比例[16]。漏報表明實際溫度已經達到DTM的報警閾值，但重構溫度卻低于該值；虛假緊急情況表明實際溫度尚未達到報警閾值，但重構溫度已高于該值。FAR越低意味著溫度場重構精度越高，表達式為：

式中，Ft表示第t個溫度場中發生誤報的次數。這里選取的閾值為50 ℃。

使用性能變化的相對率對比不同方法的性能，定義為：

式中，X1、X2分別表示方法1、方法2的X性能，本文中X包括Eavg、EMSE和FAR。

將Voronoi圖方法[10]、K-LSE方法[11]、PCA方法[12]與本文提出的方法進行比較，結果如圖4～圖6所示。可以看出，4種方法的溫度場重構精度隨溫度傳感器數量的增加而提升。表1列舉了不同方法的平均重構性能，本文提出的方法在Eavg、EMSE和FAR方面均優于Voronoi圖和K-LSE方法。相比Voronoi圖方法，Eavg、EMSE和FAR平均提升了1.5 ℃、9.7和10.5%，相對提升了39.6%、46.7%和36.2%；相比K-LSE方法，Eavg、EMSE和FAR平均提升了0.9 ℃、5.4和7.3%，相對提升了28.5%、32.7%和28.3%。

表1 不同方法性能對比

圖4 不同方法Eavg對比

圖6 不同方法FAR對比

相比PCA方法，本文方法Eavg、EMSE和FAR平均提升了0.2 ℃、0.8和1.6%，相對提升了6.8%、6.4%和8.1%，稍優于PCA方法，但隨著溫度傳感器數量的增加，本文方法重構性能更加優越。上述結果表明，本文提出的方法重構溫度場更精確。

圖5 不同方法EMSE對比

鑒于芯片設計階段的算法均離線實現，因此溫度場重構完成時間主要由芯片工作階段的算法運行時間決定。為了比較不同方法的收斂速度和計算量，將不同算法的運行時間進行對比。所有方法均在上位機運行，上位機配置為：Core i7-9700處理器；3.00 GHz主頻；16.00 GB內存，實驗結果如圖7所示。Voronoi圖方法由于需要進行數次域變換，算法的運算時間最長。本文方法與K-LSE方法的運算時間接近，略高于PCA方法。綜合考慮重構精度及運算時間，本文方法更具有優勢。

圖7 不同方法運算時間對比

下面分析使用本文方法時，稀疏度R的設置對重構精度的影響。實驗設定溫度傳感器數量s=15，然后對比R從5變化到14時溫度場的重構性能，結果如圖8所示。隨著稀疏度R增加，溫度場重構精度呈上升趨勢。這是由于稀疏度的增加意味著使用了更多的字典原子，可以還原的溫度場細節隨之增多。需要注意的是，R接近s時，性能的提升不再明顯。另一方面，考慮到R的增加也會導致稀疏編碼X求解時迭代次數的增加，這會加重計算負擔。所以R應避開較大和較低值，綜合考慮設定適中值。

圖8 稀疏度影響的分析

4 結 束 語

本文提出了一種基于稀疏字典學習的溫度場重構技術。通過字典學習方法將溫度場先驗信息稀疏編碼，然后用模擬退火算法計算溫度傳感器位置分布，利用正交匹配追蹤算法計算稀疏編碼，從而實現溫度場重構。結果表明，相較基于頻域分析的方法，本文提出的方法能夠提高溫度場重構精度，同時占用較低的運算時間，具有更優越的溫度場重構性能。