脈間波形幅相聯合設計抗欺騙干擾方法

葛萌萌，余顯祥，嚴正欣，方學立，崔國龍*，孔令講

(1. 電子科技大學信息與通信工程學院 成都 611731；2. 復雜航空系統仿真重點實驗室 北京 豐臺區 100076)

現代電子戰中，各類干擾技術快速發展，從箔條類的無源干擾到噪聲壓制、假目標欺騙的有源干擾[1-2]，使得現代雷達的生存環境越來越復雜，嚴重降低了雷達的生存性能。為了保證雷達在干擾環境下正常工作，雷達抗干擾技術得到了廣泛關注與研究[3-5]。

波形設計作為一種典型的雷達抗干擾手段，主要分為抗距離欺騙干擾和抗速度欺騙干擾兩方面。針對距離欺騙干擾，文獻[6]利用波形分集技術，在不同脈沖重復時間(pulse repetition time, PRT)發射相互正交信號，并利用匹配濾波抑制距離欺騙干擾，但是該方法采用的正交波形會導致較高的距離旁瓣。文獻[7]從低截獲抗干擾角度出發，通過對線性調頻-頻率編碼復合波形設計濾波器抑制距離旁瓣，進一步提高了線性調頻-頻率編碼復合波形的低截獲抗干擾能力。文獻[8]針對切片重構干擾和頻譜彌散干擾導致的距離維假目標，通過最小化發射信號與干擾信號的互相關積分電平(integrated level,IL)和發射信號的自相關積分旁瓣電平(integrated sidelobe level, ISL)的加權和，在恒模約束下，設計發射波形，有效抑制了這兩種干擾類型。文獻[9]針對間歇采樣干擾，通過建立最小化目標信號與接收濾波器的ISL和干擾信號與接收濾波器的IL的加權和的優化準則，在PAR約束下，采用交替方向乘子法(alternation direction method of multipliers,ADMM)聯合設計發射波形與接收濾波器實現間歇采樣干擾抑制，但是該算法無法保證收斂性。另一方面，針對速度欺騙干擾，文獻[10]通過設計脈沖初相有效地對抗速度欺騙干擾。該方法考慮恒模約束，建立最小化干擾阻帶內能量的優化問題，利用共軛梯度法求解最優脈間初相，極大地改善了脈沖多普勒雷達在速度欺騙干擾環境下的目標探測性能。在此研究基礎上，文獻[11-12]分別利用修正牛頓法和WeCAN算法求解文獻[10]中的優化問題。但是，文獻[11]的工作僅涉及脈間初相，未考慮脈間幅度設計，沒有充分利用幅度這一自由度；同時，相比離散量化相位，連續相位設計在實際工程應用中較為困難。

對此，本文增加脈沖幅度這一自由度，同時考慮離散相位，研究脈間波形幅相聯合設計抗速度欺騙干擾方法。通過將最小化阻帶內干擾能量與目標旁瓣能量的加權和作為優化準則，在離散量化相位和PAR約束下，構建幅度-相位聯合設計抗速度欺騙干擾的優化問題。然后，根據交替方向懲罰法(alternating direction penalty method, ADPM)框架，提出IADPM算法求解該優化問題，具體地，通過引入輔助變量將原優化問題分解為一系列子問題，每個子問題利用不同算法求出近似解，進而不斷循環迭代，求出最優幅度和相位，最終實現脈間幅度相位聯合設計抗速度欺騙干擾。

1 信號模型

假設脈沖多普勒雷達在一個CPI內發射N個不同幅度和初相的脈沖信號，第n個脈沖發射信號為：

式中，xn和 θn分 別為第n個脈沖信號的幅度和初相；Tr為 脈沖重復時間；u(t)定義為：

式中，Tp為脈沖寬度。

假設在某一距離單元內，有Q個不同多普勒頻率的目標，因此，第n個脈沖接收到的目標回波為：

式中， τ0為 目標雙程時延； αTq為 第q個目標的回波幅度；fTq=2vTqTr/λ為 第q個目標的歸一化多普勒頻率；vTq為 相應的目標速度；λ為雷達工作波長。

數字射頻存儲器(digital radio frequency memory,DRFM)干擾機截獲到雷達信號后需要對信號進行分選識別，調制虛假多普勒信息形成干擾信號后轉發出去，一般假設DRFM干擾機發射的脈沖信號滯后真實雷達信號i個PRT[10]，如圖1所示。

圖1 干擾脈沖示意圖

假設在時延 τ0處 ，DRFM干擾機調制了P個不同多普勒頻率的虛假目標，則第n個脈沖接收到的干擾回波為：

式中， αJp和fJp分 別為第p個虛假目標的幅度和歸一化多普勒頻率。

因此，第n個脈沖的接收回波為：

式中，ωn(t)表示加性高斯白噪聲信號。

經過匹配濾波處理后，在時延 τ0處 ，第n個脈沖的輸出為：

式中， υ(n)為 ωn(t)的濾波輸出值，滿足均值為0，方差為σ2的高斯分布。

2 問題描述

利用文獻[10]中的多通道處理技術，獲取目標和干擾信號的多普勒先驗信息。假設干擾信號與目標信號的多普勒頻率均在阻帶范圍內，設置阻帶范圍為：

式中，∪ 為取并集操作；Ns為 阻帶個數；fk1和fk2分別為第k個阻帶的下限和上限頻率。

根據文獻[13]，忽略干擾回波幅度 αJp，可以推導出P個干擾信號在阻帶內的能量為：

式中，( ·)H表示共軛轉置操作；s表示為：

式中，( ·)T為轉置操作。矩陣RJ的第(m,n)個元素表示為：

相似地，Q個目標信號在阻帶內的旁瓣能量可以推導為：

式中，x=[x0,x1,···,xN-1]T；RT1和RT2中 的第(m,n)個元素分別表示為：

式中，Δf=1/N為歸一化多普勒頻率間隔。

令：

因此有：

式中，| ·|為 取模操作；⊙ 為哈達瑪積；J為循環移位矩陣，定義為：

為了抑制欺騙干擾，需要使干擾信號在阻帶范圍內能量盡可能小，同時也要保證目標信號在阻帶范圍內的旁瓣能量盡可能小。同時，為了避免波形的非線性失真，考慮PAR約束，可以構造以下優化問題：

3 基于IADPM的脈間波形設計

本節提出了IADPM算法求解問題 P0。該算法的核心思想是通過引入輔助變量將原問題轉換為一系列子問題，通過對每個子問題求取非精確解并不斷交替循環迭代，最終求解包含幅度與相位的序列s。

3.1 算法描述

將式(15)～式(16)帶入問題 P0中 ，問題 P0可進一步寫為：

式中，RN為N維實向量集合。

基于文獻[15]中ADPM框架，本小節提出了IADPM算法求解問題 P1。 首先，引入輔助變量z，問題P1可重寫為：

進而，構造增廣拉格朗日函數：

式中，λ為拉格朗日乘子；ρ為懲罰因子；? {·}為取實部操作；‖ ·‖表示二范數。

根據ADPM框架，通過交替更新z,a,φ來最小化L(a,φ,z)， 進而求得原問題的解。假設z,a,φ在第t次迭代的解分別為z(t),a(t),φ(t)，則提出的IADPM算法的迭代規則如下：

式中，δ1c和 δ2c為 接近1的兩個常數，且滿足0＜δ1c＜1和δ2c＞1。

首先，固定a(t-1),φ(t-1),λ(t-1),ρ(t-1)， 更新z(t)。忽略與z的無關項，式(23)可以重寫為：

式(31)可以用經典的Power Method[16]方法求解，首先定義：

當mγ2＞N時，式(31)的解為：

式中，

接著，固定z(t),φ(t-1),λ(t-1),ρ(t-1)，更新a(t)。忽略a的無關項，式(25)可以寫為：

式中，矩陣D定義為：

式中，d iag(···)表示將數據形成對角矩陣。

利用坐標下降(coordinate descent, CD)[17]算法求解a， 固定a0,···,ap-1,ap+1,···,aN-1，式(36)中目標函數可以表示為關于ap的表達式為：

式中，

最后，固定z(t),a(t),λ(t-1),ρ(t-1)， 更新 φ(t)。忽略φ的無關項，關于φ 的優化問題可寫為：

同樣采取CD算法求解φ。 固定φ0,···,φp-1,φp+1,···,φN-1， 式(38)關于φp的表達式可以重寫為：

式中，

因此，式(44)關于 φp的優化問題可以重寫為：

可以求得：

式中，f(ψ) 表 示最接近ψ 的離散量化相位值。

z,a,φ,λ,ρ不斷迭代更新直到收斂。根據文獻[18]，設置停止迭代的條件為：

IADPM算法求解問題 P0，總結IADPM算法流程如下所示。

輸入：初始值z(0),a(0),φ(0),λ(0),ρ(0)， δ1c,δ2c和控制收斂的閾值ζ

輸出：局部最優解a和φ；

while?(t)＞ζ

判斷mγ2是 否大于N，根據式(33)和式(34)更新z(t)；

根據式(42)更新；

end

forp= 1:N

end

分別根據式(29)和式(30)更新ρ(t)和 λ(t)；

根據式(49)計算?(t)；

end while

求出最優序列a和 φ后 ，根據a和 φ的定義，即可計算發射脈沖串的幅度和相位序列。

3.2 計算復雜度分析

基于IADPM算法求解問題 P0的計算量主要與迭代次數和矢量z,a,φ的更新有關。其中，更新矢量z所用的Power Method計算量主要來自于二分法求 β值，相應地計算量為O(I(N))， 其中I為二分法迭代次數；更新矢量a中的計算量主要來自于計算u和v，其計算量為O(N)，遍歷N個元素，其計算量為O(N2)；更新矢量 φ中的計算量主要來自于構造g，其計算量為O(N)，遍歷完N個元素，其計算量為O(N2)。因此，在(I)ADPM算法一次迭代中的計算量為O(I(N))+ON2。

4 仿真實驗

本節主要通過仿真實驗驗證脈間幅度相位捷變設計抗速度欺騙干擾方法的有效性。

4.1 算法性能分析

本小節首先對提出的IADPM算法的收斂性進行分析?？紤]單目標與單干擾場景下，即P=1，Q=1，假設雷達發射脈沖個數N=512，干擾的歸一化多普勒頻率fJ=0.4， 目標的歸一化多普勒頻率fT=0.47，干擾信號滯后目標信號2個PRT，設置阻帶范圍為Ω=[f11,f12]=[0.3,0.5]。 隨機初始化s,λ ,z的初始值與s的初始值保持一樣， δ1c=0.9995， δ2c=1.0005,μ1=0.9,M=16。將ADMM算法作為對比算法[18]，其中ADMM算法中懲罰因子 ρ保持不變，其他參數迭代規則按照式(23)～式(30)所示。

圖2分別展示了IADPM與ADMM算法中的殘差 ?隨迭代次數變化曲線圖。可以看到，對于IADPM算法，無論懲罰因子ρ 的初始值取多少，殘差? 總能不斷保持下降趨勢直至收斂，然而ADMM算法受懲罰因子 ρ影響較大，并不能總是收斂，當ρ為1和100時，ADMM算法最后趨于收斂，然而當ρ 取值較小為0.1時，ADMM算法無法收斂。

圖2 ?隨迭代次數變化的曲線圖

4.2 抗干擾結果分析

本小節針對設計的脈間幅度-相位波形序列的抗干擾效果進行仿真驗證。首先考慮單目標與單干擾場景，參數設置與4.1節保持一致，設置噪聲功率 σ2=0 dB，目標信號幅度 |αT|2=10 dB，干擾信號幅度| αJ|2=20 dB。

圖3為單目標單干擾場景下的抗干擾結果?？梢钥吹?，由于干擾的存在，利用傳統脈間波形得到的慢時域多普勒譜上，目標和干擾同時存在，且干擾幅度比目標幅度高約10 dB。相反，利用優化后脈間波形得到的多普勒譜上，可以看到干擾尖峰消失，僅剩下目標尖峰，且在 [0.3,0.5]阻帶范圍內存在凹槽。

圖3 單目標場景下抗干擾效果

考慮多目標與多干擾場景，設干擾個數P=2，目標個數Q=2，干擾信號的歸一化多普勒頻率分別為fJ1=0.35，fJ2=0.45，目標的歸一化多普勒頻率分別為fT1=0.42,fT2=0.44，設置阻帶范圍為Ω=[f11,f12]=[0.3,0.5]，其余參數保持不變。

圖4給出了多目標場景下抗干擾效果圖?？梢钥吹?，利用傳統脈沖序列得到的慢時域多普勒譜上，兩個目標和兩個干擾同時存在，無法分辨真實目標。通過優化設計的脈間波形的多普勒譜上，僅剩下兩個真實目標，兩個干擾尖峰消失，說明了該方法在多目標多干擾場景下依然適用。

圖4 多目標場景下抗干擾效果

5 結 束 語

針對速度欺騙干擾，本文通過建立最小化阻帶內干擾能量與阻帶內目標旁瓣能量的加權和的優化準則，考慮波形離散量化相位和PAR約束，構建了速度欺騙干擾下脈間波形幅相聯合設計的優化問題，針對該優化問題，提出了IADPM算法求解，并理論分析了IADPM算法的計算復雜度。

仿真結果表明，IADPM算法在不同的懲罰因子下總能收斂，優于ADMM算法。離散相位情況下，設計的波形更加易于工程實現，同時可以有效抑制速度欺騙干擾，在多目標多干擾情況下，算法依然有效，普適性較高。