以畫促思，以圖求解
——低年段“解決問題”教學中幾何直觀策略的探索

江蘇省南京市覓秀街小學 馬蘇婉

所謂幾何直觀，主要是指借助圖形分析來解決問題。幾何即是圖形，包含點子圖、線段圖等。圖形是數學直觀化的語言，利用圖形發現問題中的關系，從而幫助我們化難為易，找到解決問題的方法；直觀是對圖形表象特征的感知，通過圖形洞察事物的本質，從而發現規律。借助幾何直觀解決數學問題是小學低年段學生常用的一種手段，在數學解題過程中有著重要的地位和意義。

從小學一年級開始，解決問題就在數學教材中占據著重要的地位，它既是教學的重點，也是教學的難點。現行的蘇教版一、二年級教材解決問題的題目類型雖經常輔以形象的實物圖或情境圖表達數學內容，但是也穿插著一些抽象的文字描述，與小學生認知水平有差距，從而成為低年段學生學習數學道路上的“攔路虎”。教師應巧妙借助幾何直觀訓練學生動手畫圖，層層深入，分階段實施畫圖訓練，加強畫圖的系統性學習，從而提高學生的幾何直觀能力。

一、初試幾何直觀，畫簡圖知概念

低年段學生最先接觸“數”的概念，教師要以此為切入點，逐步滲透，教會學生學會將實物圖符號化。學生經歷將情境實物圖抽象成直觀圖，再抽象到數的過程，實現“實物圖→幾何直觀圖→數”的轉化，為學生今后理解、分析題目中的數量關系打下基礎。

【案例1】蘇教版一年級上冊第27 頁的例題1“1～5的認識”（如圖1），教師出示情境圖，讓學生先數一數，然后用點子圖來畫一畫，最后抽象出數。

圖1

在整個教學過程中，通過畫一畫建立數感、符號感是重要目標之一。因為在第一課時“數一數”中學生已初步認識點子圖，教師要有意識地引導學生用點子圖來表示這些物體，進一步體會復雜問題簡單化的數學思想。

縱觀整個“數”概念教學過程，教師引導學生通過幾何直觀來表示1～5 這些數字，用圖畫式來溝通實物圖與數兩者之間的聯系，完善“數”概念的教學。久而久之，學生也就慢慢感受到幾何直觀的好處，培養畫圖意識。

二、細品幾何直觀，畫算式明意義

低年段學生對加減乘除運算意義的理解程度直接關系到他們日后利用數學知識解決問題的能力。許多學生在解決實際問題時，經常是看到數字直接運算，而忽略了分析題意這一環節。究其原因，主要有兩點：一是低年段學生認知能力較弱，沒有從根源上理解算式的含義；二是教師沒有有意識地引導學生畫幾何直觀圖理解分析題意，學生未形成畫圖的好習慣。

1.“式”由圖“生”，探究本源

在之前由實物圖抽象出點子圖的基礎上，教師可以引導學生嘗試將圖與圖之間進行整合，理清其中關系，再用算式表示，完成“點子圖→關系圖→算式”的有效推進，幫助學生深刻理解算式的由來，明白圖形與算式之間的內在聯系。

【案例2】蘇教版一年級上冊第46 頁例題2“5 以內的減法”（如圖2）。

圖2

這類問題雖然較簡單，但在實際教學中有學生列式卻是這樣的：5-3=2。怎樣讓學生自己發現錯誤呢？在學生列出此算式后，教師可以提問：“你能試著用圖把題目中的意思畫出來嗎？”此時，學生根據情境圖畫出題意（如圖3）。

圖3

從圖3 中可以發現，學生能用簡單的直觀圖畫出題目的意思，并用畫線的方式表示走掉的人數，沒畫線的則表示剩下的人數，理清單一圖形之間的關系。教師要在此基礎上，引領學生建構減法模型（如圖4），加深對其意義的理解。

圖4

通過這一系列的操作，學生很清楚地明白為什么應該列成5-2=3 這一算式，就不會出現把問題的答案寫在算式中這樣的情況。

2.“圖”現式“清”，理解含義

畫圖可以幫助學生區分差異、理解意義，并根據四則運算的具體含義選擇正確的運算方法，

例如，在教學蘇教版二年級下冊第21 頁的例2 后，學生對于乘法的含義有了一定的認識，但是對于畫圖思想印象不深，還需設計題目充實，通過圖真正理解算式含義。設計出示2×5，讓學生獨立畫圖來表示此算式。有的學生畫圓形來表示，有的學生畫正方形來表示，有的學生畫三角形來表示；有的人畫3 個6，有的人畫6 個3。此時讓學生看圖說一說“算式中的3 表示什么？6 又表示什么？你能編一道題用此算式解答嗎？”，學生利用畫圖，把文字符號轉變為圖形，由抽象回到直觀，深刻理解乘法的意義，幫助學生進一步感受到畫圖的好處。

當學生經常自主探究算式的由來，經常將文字轉換為圖形來理解算式含義，幾何直觀圖在學生面前出現的次數達到一定程度時，一旦遇到稍微有難度的問題，學生就會第一時間想到畫幾何直觀圖，以幫助其理解意思，解決問題。

三、知味幾何直觀，畫數量顯關系

解決問題教學最能體現學生的幾何直觀訓練成效，其考查的是學生理清題目中數量關系的能力，借助幾何直觀策略展示所要表達的信息，化難為易，進而分析數量關系，探索解決問題的方法。

1.善用線段圖，簡化數量關系

隨著年級的升高，知識量不斷增多，問題中的數量越來越多，數量關系也越來越復雜，不可能用符號一一表示出來，這時，可以借助線段圖來分析數量關系。但是線段圖在中高年級才會學習，低年級教學并未涉及線段圖。那么如何在低年級教學中逐步滲透畫線段圖的意識與方法呢？

例如，在蘇教版二年級上冊教材中，教學“把兩個大小不同的數量擺成同樣多的問題”，習題中已出現以長方形的長短來表示數據的大小。因此，在教學例題時，很有必要將例題延伸，以引發學生的思維碰撞，從而逐步引出線段圖的雛形。

【案例3】 蘇教版二年級上冊第6 頁例題3（如圖5）。

圖5

（1）畫圖：小軍有8 個彩珠，用8 個紅色圓片來表示；芳芳有12 個彩珠，用12 個藍色圓片來表示。

（2）分析：讓學生說一說，芳芳比小軍穿的是哪一部分？

（3）變形：若用這個長方形表示小軍穿的個數（長方形遮住圓片），那么這個長方形表示多少？（8 個）同樣，用一個長方形遮住芳芳穿的個數，那么這個長方形又表示多少呢？（12 個）。你能指出哪一部分是芳芳比小軍多的嗎？形成如6 圖所示：

圖6

（4）理解：兩個長方形各表示什么？各表示多少？（5）練習：出示習題——蘇教版二年級上冊教材第7 頁看圖填空（如圖7）。

圖7

（6）對比：你覺得哪種畫圖方式比較好？

從點子圖到色條圖的過程，是學生認識線段圖的一大跨越。學生通過畫線段圖的雛形將抽象的問題直觀化，化繁為簡，從而突破思維的瓶頸，提高解題的挑戰性。

線段圖雛形建立后，到二年級后續學習線段就可以直接將色條圖簡化成用線段表示，幫助學生建構完整的線段圖體系，為中高年級學習線段圖打下基礎。

2.借用示意圖，分析數量關系

當學生單從讀題不能清晰地分析出題目中的數量關系時，教師要引導學生借助幾何直觀還原出題目的原始脈絡，通過觀察、思考來解決問題。

例如，二年級下冊有一道習題：水果店有一批桃子，第一天賣出一半，第二天賣出剩下的一半，這時水果店里還剩下5 個桃子。水果店原來共有多少個桃子？

學生讀題結束，有的抓耳撓腮，有的一臉茫然。這時教師可以適當引導學生：“你能把這道題的意思用圖畫出來嗎？也許你會打開新的思路。”于是學生開始在紙上涂一涂、畫一畫，只聽見“哦”“原來這樣”“我會了”的聲音此起彼伏。

通過畫圖（如圖8），學生很快就找到了題目中的數量關系，并列出算式，甚至有的學生還能夠借助所畫的圖，生動有趣地講解題目的解決方法，自由地闡述自己的思維過程和結果。同樣一道題，學生運用了不同的幾何直觀圖，展現了不同的思維品質。學生已經能夠選擇個性化的圖形進行畫圖分析，這是學生思維的真實展現。

圖8

教師應將學生的成果展示給全班同學，對他們進行充分的鼓勵和肯定，并可適當引導學生發現其內在聯系，優化幾何直觀圖的畫法。通過堅持這樣長期的訓練與比較，畫圖一定會成為學生的一種良好學習習慣。

幾何直觀訓練在我們的教學實踐中已有成效，經過兩學年的努力，學生解決問題的能力進一步提升，碰到稍復雜的問題就會自然而然地想到用畫圖的方法解決，多數學生已經能自如地以圖促思、以圖求解，體會“畫圖方法”的優越性，輕松實現文圖轉換，提升解題有效性。

總之，在小學數學解決問題的教學中，幾何直觀的策略運用無疑給學生提供了更多的思路和解題方法，有助于學生更準確地接受新的知識，突破重難點，正確理解數量關系，提高解決問題的能力。因此，教師應將幾何直觀訓練貫穿于整個小學數學教學中，特別是在低年段，要不斷引導學生體會幾何直觀的價值和作用，使他們養成畫圖的好習慣。