新舊教材（人教版） “三角函數概念”比較分析

李春曉

摘 要：在新課標的指導下，高中數學教材改革迫在眉睫，教材的編寫或修訂更好地滿足了學生學習和教師教學的需要，本文以人教A版新舊兩版教科書的三角函數概念為研究對象，將兩版教材三角函數概念內容從教學實踐的角度進行對比分析。

關鍵詞：新舊數學教科書;三角函數概念;比較

一、兩版教材整體對比

舊教材是遵循《義務教育課程標準數學實驗新教材（人教版）》提出的對學生的培養要求而編寫的，經過十幾年的一線教師教學實踐，《普通高中課程標準（2017年版）》根據教學過程中所顯現的問題做出修正，突出強調以培養學生數學學科的核心素養為導向，進一步明確了普通高中數學教育的定位，優化了課程結構，強化了課程有效實施的制度建設。提出落實“四基”“四能”，培養學生的“數學學科核心素養”。新教材在課程的邏輯結構上作出了較大的調整，突出體現課堂以學生為主體、教師為主導的教學理念。

“任意角的三角函數”是舊教材中必修4第一章第二節的內容，這一節的知識編排跳躍較大，教師對其內容處理起來存在一定的困難，并且三角函數作為一類函數，舊教材并沒有突出體現它這一本質屬性，所以學生對這一部分內容理解起來比較費力。在實際的教學過程中，教師也主要將這部分知識重點放在了解題上，這樣的教學并不能夠達到最初的教學目標。新教材對三角函數概念知識點的內容編排作了全新處理，是以單位圓為研究背景，從函數概念的本質出發認識三角函數， 巧妙地運用從特殊到一般的數學思想，得出任意角三角函數的定義，這樣的教學安排有助于學生從知識的本質出發進行學習，真正達到對學生得數學學科核心素養進行培養的目標。

二、新舊教材三角函數概念教學橫向對比

（一）課堂導入

舊教材在對本節內容進行導入時提出一個思考題，目的是帶領學生回顧初中所學習的銳角三角函數的知識，給出“銳角三角函數是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數”的結論，緊接著引導學生發現銳角三角函數與直角坐標系中角的終邊兩者之間的關聯，這一部分導入的教學設計對教師來說也存在困難。在初中階段，銳角三角函數是作為解直角三角形的有利工具來學習的，并沒有從函數角度深入地研究銳角三角函數，然而在舊教材的開端直接“告知”學生銳角三角函數是以銳角為自變量、以比值為函數值的“函數”，這對當前階段剛剛學習完以對應關系和集合的語言定義函數的學生來說是比較難以理解的，而且還容易造成學生對函數定義的不理解。高中階段學習任意角的三角函數，本質上已與解三角形沒有關系了，高中更加強調任意角的三角函數是一類具有周期性的、特殊的基本初等函數，這就說明要從函數定義角度去學習本節內容。因此，舊教材利用學生初中階段所學習的銳角三角函數的概念作為本節知識的導入，進而學習高中階段任意角的三角函數概念，知識跳躍性較大，學生不易理解。

新教材中的導入部分是在回顧上節課弧度制這一知識點的基礎上提出本節課任務的，是借助單位圓建立一個數學模型，來刻畫任意角的終邊與單位圓交點P的位置變化情況。此時教師采用問題引領的方式，向學生提出問題：單位圓上點P的位置與哪些幾何量有關？引導學生發現可以通過建立直角坐標系這一有效工具，而且也表達出了角α的任意性（α不是一定為銳角的），引入弧度制是因為三角函數是兩個非空實數集的對應關系，這為接下來給出三角函數的定義具有奠定作用。

教師活動：通過生活中周而復始的變化現象來引入數學中同樣的變化規律，明確本節課的研究任務是刻畫生活中呈周期變化規律的數學模型——三角函數。與舊教材相比引入單位圓的作用：簡單，易理解，強調角的任意性。

（二）新課講授

舊教材首先給出以直角坐標系為背景的銳角三角函數的定義，可得，，。

接著給出以單位圓為背景的銳角三角函數的定義。由和相似三角形的知識，得，，。 接著教材直接以“告知”的方式提出可以利用單位圓來定義任意角的三角函數。并沒有詳細地強調點P（a，b）的坐標a，b由銳角α唯一確定，教材這樣的處理方法并沒有將“三角函數為什么是一類函數”解釋清楚，這對接下來三角函數定義的給出制造了一定的障礙。

三角函數定義：設任意角α的終邊與單位圓的交點為P（x， y），直接命名y、x、為任意角α的正弦、余弦和正切，并分別記作：，，（其中）。這時候教材才著重強調，對于確定的角α（其中），上述三個值都是唯一確定的，并將它們統稱為三角函數。這在概念形成的關鍵環節出現知識與方法上的跳躍，對學生來說是難以理解的，對教師來說在實際的教學實施中也存在困難。

在新教材的三角函數概念得出環節，教材“根據研究函數的經驗，我們利用直角坐標系來研究上述問題”，將學生的思維與函數知識間建立聯系，為了更好地引導學生想出角的終邊與單位圓的交點以及交點的坐標都是唯一確定的，首先通過對α取一些學生所熟悉的特殊角來表示出角的終邊與單位圓交點坐標，突出在角α發生變化時，角的終邊與單位圓的交點以及交點的坐標都是唯一確定的，而它們之間這樣的一一對應關系符合之前所學習的函數的定義，進而順其自然地給出三角函數的定義。從本質上講，函數的表達與字母的選用無關。 表達式中是以α為自變量，按照函數的表示習慣通常用x表示自變量，故三角函數的表達式為：

新教材采用從特殊到一般研究概念的方法，教師帶領學生經歷概念抽象的過程，在此過程中，學生親身參與知識的“再創造”過程，只有這樣學生才能夠對所學知識有更為透徹的理解。新教材解決了舊教材在三角函數符號表達上以及突出函數本質等方面的不足，為后續進一步學習三角函數的圖象及性質做好鋪墊。

（三）鞏固新知

為了使學生進一步理解定義的內涵，并檢驗學生對定義的理解，新舊教材采用了同樣的例題一，例題一在鞏固新知的同時還體現了數形結合的重要數學思想方法，數形結合思想是解決函數問題的有利工具，教師在講解函數相關知識時要突出數形結合思想在數學中的重要作用。然而新舊教材在例題二的編寫上存在較大的不同，舊教材的例題二是已知角的終邊與單位圓交點坐標來求角的三角函數值，新教材的例二是對最后一個探究題的證明，通過“坐標比定義”使學生更加深刻地體會到α的三角函數值與P點在終邊上的位置無關，只與α大小有關，α為自變量。

新教材的編寫，是對舊教材在教學實踐中發現的相關問題進行針對性地改進，這不僅為一線教師們高效開展教學活動提供了保障，也為專業教師深入研究教材教學教法提供許多優質的素材。啟迪教師們在教學中應秉持以學生為主體，教師為主導的教學理念，在教學實踐中應不斷思考和學習，不斷提升自身的專業水平。每位教師都應秉持著“用教材教，而不是教教材”的教學理念，依據學生的學情創造性地使用教材，更加有效地提高教學效率。

參考文獻

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