初中幾何解題教學的“破”與“立”

朱小平

數學解題應追求自然、簡捷、美妙。“先破后立”是解題教學的有效策略。“破”即破題，找準題眼切入。破后即解，解后宜品。品題的過程是對問題的反芻，即“立”。筆者以一道競賽題為例，探討初中幾何解題教學的“破”“立”之法。

如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，AB

一、破題——抓住“平行”

從結論“平行”看，我們發現不能直接證MN∥AD，需中間量“搭橋”。教師可以引導學生思考找一個能與AD、MN都平行的中間量，從而產生作平行線的破題思路，且只可能從B、E、C任意一點作AD或MN的平行線。

證法1：如圖2，先嘗試過點B做BF∥AD交CA的延長線于F，結合AD平分∠BAC，由“平行+角平分線”得“等腰三角形”，知AF=AB，又CE=AB，所以CE=AF，因為M、N分別是BC、AE的中點，所以MN是△CBF的中位線。由三角形中位線定理可得結論。

證法2：如圖3，嘗試過點C作CF∥MN，而M是BC的中點，由“中點+平行”易聯想平行線分線段成比例的推論，因而連接BN并延長交CF于點F，可證N是BF的中點。又因為N是AE的中點，連接EF，由SAS證明△ANB≌△ENF（“8字型全等”模型），得AB=EF=EC，則∠3=∠4，∠5=2∠3=∠BAC=2∠2，從而∠2=∠3，知AD∥CF，又MN∥CF，結論成立。

如圖4，再嘗試從E點作EF∥AD交BC于F，聯想結論MN∥AD，則需證EF∥MN∥AD，又因N是AE的中點，易聯想梯形中位線定理，證M是DF的中點即可得出結論。根據M是BC的中點，將問題轉化為證BD=CF，可考慮它們所在的三角形全等，BD、CF所在的△ABD、△ECF中已有AB=CE，借EF∥AD及AD是角平分線可知∠3=∠2=∠1，兩三角形已有一邊、一角相等，但明顯不全等，此時就要構造全等三角形。接下來我們兵分三路：

證法3：如圖4，保持鈍角△EFC不變，由SAS全等，可在AD邊上截取AG=EF，連接BG，則△ABG ≌△ECF，可知BG=CF，∠4=∠EFC，由等角的補角相等可知∠BGD=∠EFB，利用AD∥EF，得到∠BDG=∠EFB，從而∠BGD=∠BDG，所以BG=BD，故BD=CF。關鍵點已突破，由梯形中位線易證結論。

證法4：如圖5，保持銳角△ABD不動，由SAS全等，可在射線EF上截取EG=AD，連接CG，則△ABD≌△ECG，可知∠ADB=∠G，由AD∥EF可證∠ADB=∠EFB，又因為∠EFB=∠CFG，所以∠ADB=∠EFB=∠CFG=∠G，則BD=CG=CF，由梯形中位線易證結論。

證法5：如圖6，考慮從一般到特殊，可同時構造兩個全等直角三角形。過點C作CH⊥EF于H，過點B作BG⊥AD于G，由AAS先證△ABG≌△ECH，再證△BGD≌△CHF，所以BD=CF，接下來易證。

品題：上述問題的解決抓住“平行”，五種證法既有共性，又有不同。從輔助線的添加來看，都作了平行線，但平行的位置不盡相同;從基本模型構造看，都構造了三角形中位線或梯形中位線模型，在不同的證法中還存在其他的模型;從數學思想方法看，都用到了轉化思想，后三種證法中又滲透了“分類”和“從一般到特殊”的思想。輔助線的添加是有規律可循的，教師要引導學生抓住題眼，突破思維障礙，教會學生分析與思考，注重反思與總結，感悟通性與通法。

二、破題——抓住“中點”

從“中點”看，我們可以發現中點既沒在等腰三角形中，也沒在直角三角形中，而是在一般三角形中。由此，學生容易聯想“中點配中點，配成中位線”的規律。因為M與N兩個中點并不能直接形成中位線，故需要再配某一邊的中點。這是教師需要引導學生嘗試尋求的破題對象。

證法6：如圖7，題目中已有中點，如何再配一邊的中點？結合已知條件“CE=AB”，如果能讓兩條相等線段CE與AB分別充當兩個不同三角形的第三邊，再去尋找這兩個三角形共同的第二邊的中點，就能把看似無關的條件關聯起來。此時，聯想“三角形中位線定理”，做如下思考：AE為一邊（有中點），AB為第三邊，由A、B、E“三點定形”定出△ABE，連接BE即為第二邊，取BE的中點則水到渠成。或者BC為一邊（有中點），EC為第三邊，B、E、C三點定出△BEC，依舊要取BE的中點。兩者可同時思考、互相驗證，達到一致目標后，連接FN、FM，則FN、FM分別是△EAB與△BCE的中位線，可知FN=[12AB][=12CE][=FM]，FN∥AB，FM∥AC，則∠FMN=∠FNM=∠CNM，∠CNF=∠CAB，再由AD平分∠CAB，可證∠CAD=[12∠CAB=12∠CNF=∠CNM]，所以MN∥AD。

證法7： 如圖8，從“中點”看，N不是△ABC一邊的中點，可從中點M出發，再配一邊的中點，形成中位線。結合AD是角平分線聯想：等腰三角形頂角的平分線必平分底邊，因此在AC上截取AF=AB構造等腰三角形，則BF與AD的交點H即為所尋的中點。又因M是BC的中點，則MH=[12CF]，MH∥FC，即MH∥AN，由AB=CE可知AB=AF=EC，AF-EF=CE-EF，即AE=CF，所以MH=[12FC=12AE=AN]。由MH∥AN，得到平行四邊形AHMN，結論可證。

品題：這兩種證法都是主抓“中點”破題，構造了三角形中位線模型。證法6抓住“中點”結合“線段相等”聯想三角形中位線定理，將“相等線段”作為三角形的第三邊，將含中點的線段作為一邊，由“三點定形”法輕松確定第二邊及其中點。這樣分析有理、有據、有序，學生易懂、易會。證法7抓住“中點”結合“角平分線”，聯想等腰三角形的“三線合一”，構造平行四邊形解決問題。解題教學不僅是以題論題，更應該以題論道，教會學生運用聯想發現問題、分析問題，促使學生系統地掌握知識，逐步改善思維品質，提升解決問題能力。

三、破題——抓住“角平分線”

由AD是角平分線聯想“角平分線+平行”得“等腰三角形”也能解決問題。

證法8：如圖9，由AD是角平分線聯想“角平分線+平行”得“等腰三角形”，可過點B作BF∥AC交AD的延長線于F，可得∠1=∠2=∠3，所以AB=BF=EC。易考慮BF、EC所在的三角形全等。連接EF交BC于G，可證△BGF≌△CGE。已知BG=CG（G是BC中點），又M是BC中點，故G與M重合，EM=MF，由中位線定理可證MN∥AD。也可作BF∥AC交EM的延長線于F，連接AF，證AF與AD共線即可。上述方法就是我們通常說的“同一法”。

品題：此題中構造了“角平分線+平行”得“等腰三角形”模型、“8字型全等”模型、“三角形中位線”模型。學會構造基本模型解決問題是學習幾何的重要方法。

（作者單位：襄陽市襄州區教育教學研究中心）