突破圓綜合題

馮姍

【摘要】筆者通過對廣東省2020年中考數學第22題進行解題思路探究，以及對廣東省近十年中考統考數學題的研究，對解決此類圓綜合問題談談自己的思考.

【關鍵詞】圓;問題;模型

一、問題的提出

在廣東省中考數學中，圓綜合解答題作為一道必考題，不僅考查學生對圓的相關知識的掌握，還考查學生多種數學能力，是學生綜合素養的集中體現。筆者通過對廣東省2020年中考數學第22題的探究，展現解決圓綜合題的思維過程，對解決此類圓綜合問題談談自己的思考。

例題（廣東省2020年中考題-22）如題22-1圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直徑，CO平分∠BCD.

（1）求證：直線CD與⊙O相切;

（2）如題22-2圖，記（1）中的切點為E，P為優弧上的一點，AD=1，BC=2. 求tan=∠APE的值。

（一）探索主題干條件

1.AD∥BC，∠DAB=90° →? ∠OBC=90°

2.AB是⊙O的直徑? →? ?AD、BC是⊙O的切線

3.CO平分∠BCD? ?→

①根據角平分線的定義，∠1=∠2;

②根據角平分線的性質，∵∠OBC=90°，過點O作OE⊥CD，垂足為E，可得OB=OE.

（二）分析解題思路

（1）求證：直線CD與⊙O相切;

分析：證明直線與圓相切，需要同時具備兩個條件：①直線過圓的半徑外端;②這條直線垂直于這條半徑。顯然，從題干條件中沒有直接給出需要具備的任一條件，這時需要構造其中一個條件，然后對另一條件進行證明。這是“作垂直，證半徑”的基本圖形，由探索主題干條件1和3可知，應該過點O作OE⊥CD，則可得OB=OE.

證明過程：∵AD∥BC，∠DAB=90°

∴∠OBC=180°- 90°=90°

過點O作OE⊥CD，垂足為E

又∵CO平分∠BCD

∴OB=OE

∴直線CD與⊙O相切。

（2）如題22-2圖，記（1）中的切點為E，P為優弧上的一點，AD=1，BC=2.求tan=∠APE的值。

探索題支干條件：

1.直線CD與⊙O相切于點E，又由探索主題干條件2可知，由切線長定理可得，DA=DE=1，CB=CE=2.

2.連接OD，可以依據HL或者SAS易證△OAD≌△OED，△OBC≌△OEC，可得兩組全等三角形的對應邊相等，對應角相等：DA=DE=1，CB=CE=2，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8.

（i）如基本圖形1所示，由∠3+∠4+∠5+∠6=180°

→∠4+∠5=∠3+∠6=90°，又∠4+∠2=90°，∠5+∠8=90°

→∠1=∠2=∠5=∠6，∠3=∠4=∠7=∠8.

（ii）如基本圖形2所示，由AD//BC

→∠1+∠2+∠7+∠8=180°

→∠2+∠8=∠1+∠7=90°，又∠4+∠2=90°，∠5+∠8=90°

→∠1=∠2=∠5=∠6，∠3=∠4=∠7=∠8.

3.∠APE=∠AOE=∠1=∠2=∠5=∠6

4.分析：題目求tan=∠APE的值，初中階段求三角函數值，一般等量替換成直角三角形的內角來求對應邊長的比值，因為∠APE是一個圓周角，所以，考慮轉換成相等圓周角或者對應圓心角來求其tan值，由探索題支干條件3可以知道，∠APE=∠AOE=∠1=∠2=∠5=∠6，這樣就把∠APE轉換成直角三角形的一個內角。求tan=∠APE可以從以下兩個角度求解：

①射影定理（相似三角形）。，所以只需要求出圓半徑即可。 由探索題支干條件2和第（1）問可以知道，∠DOC=90°，OE⊥DC，DE=1，CE=2，所以由射影定理可得，解得，所以tan=∠APE即可求。

②建立方程：∠APE=∠5=∠2，所以tan=∠APE=

tan∠5=tan∠2，所以，而DE=1，EC=2，所以，解得，所以tan=∠APE即可求。

證明過程：

∵∠DAB=90°，OE⊥CD

∴在Rt?OAD和Rt?OED中，OA=OE，OD=OD

∴Rt?OAD≌Rt?OED（HL）

∴AD=ED=1，∠5=∠6

同理可得，Rt?OBC≌Rt?OEC，

∴BC=EC=2，∠3=∠4

又∵∠3+∠4+∠5+∠6=180°

∴∠4+∠5=180o×=90°

又∵在Rt?OEC中，∠4+∠2=90°

解法①∴∠5=∠2，又∠OED=∠OEC=90°

∴?OED∽?CEO

（三）變式探究

筆者根據對上題的分析探究，進行了如下變式：

如圖1，A、B是⊙O上的兩點，AB不是直徑，∠DAO=90°，∠CBO=90°，CO平分∠BCD.

（1）求證：直線CD與⊙O相切;

（2）延長DA、CB相交于點F，如圖2，記（1）中的切點為E，P為優弧上的一點，AD=1，BC=2，BF=3，求tan∠APE的值。

二、問題模型研究與解決

圓綜合解答題是廣東省中考統考每年必考題，往年都是第24題9分題，今年設置在第22題8分題的位置，這道題綜合性很強，圖形復雜，以圓為背景圖形，與三角形、四邊形等結合，涉及的知識點較多，主要考查學生綜合運用幾何知識的能力和培養學生數形結合、轉換與化歸、方程、分類討論等數學思想方法，主要指向初中生幾何直觀、推理能力、運算能力等數學核心素養。筆者對近十年（2011-2020）廣東中考統考考試中圓綜合這道解答題進行了研究，希望對廣大一線教師和學生提供一點參考。