柯西不等式在幾何問題上的應用

張黛茨 付莊藝 胡曉莉

摘 要：柯西-布涅科夫斯基不等式是數學中的重要不等式之一。它有多種表示形式及變形表達式，不論是在初等數學還是高等數學當中都有著重要應用。在中學數學中，熟練運用柯西不等式巧妙解決代數及幾何相關問題往往事半功倍。筆者將主要通過具體的典型實例來分析運用柯西不等式解決解析幾何中關于距離最值問題的技巧。

關鍵詞：柯西不等式 中學數學 幾何 最值問題

1821年法國數學家柯西最先提出了柯西不等式并將其應用于研究“流數問題”，而后俄國數學家布涅科夫斯基提出它的積分形式，而積分形式的現代證明則由法國數學家施瓦茲給出。因此不等式全稱為柯西-布涅科夫斯基-施瓦茲不等式。這個不等式有許多運用，例如Cramér-Rao在1945到1946年證明了C-R不等式。后來，又有不少文獻進行了這方面的研究。這類結果被稱為C-R型不等式。《統計與真理》中C-R型不等式給出了可估參數的無偏估計量的方差下界，在估計理論中它也有著重要作用。1927年，海森堡發表的《量子理論運動學和力學的直觀內容》提出的著名的不確定性原理（Uncertainty principle）同樣也運用了柯西不等式。

柯西不等式是新課標選入的高等數學中的內容之一，具有對稱和諧的結構，它的變換形式多樣，在微積分、線性代數與概率論等領域都有著廣泛的應用。這充分說明了不同數學領域之間的內通性，滲透性以及完備性。柯西不等式是中學數學證明命題中最強有力的一個工具。筆者對柯西不等式在幾何上的應用產生了濃厚興趣，從簡單的初等問題受到啟發，縱觀其證明和應用，大致可分為距離問題和極值問題。

1 柯西不等式在幾何問題中的應用

本題是求橢圓切線方程的問題，利用常規思路求解不僅計算量很大而且也很復雜。巧妙利用柯西不等式對本題求解不僅能減少計算量還十分簡潔，容易理解與掌握。

2 結論

柯西不等式在中學數學課本中有著重要地位，其在距離問題和圓錐曲線等解析幾何上應用廣泛，熟練運用柯西不等式能簡明快捷地解決一些初等數學問題。值得注意的問題是，在解題中根據需要構造柯西不等式的適當形式至關重要。另外，驗證柯西不等式等號成立條件同樣至關重要，其往往是求解幾何上臨界值和最值的關鍵思想。

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