改進的基于地層損失概念的地表沉降經驗預測方法

閻 飛

(北京京能地質工程有限公司，北京 102300)

0 引言

地層損失概念最早是Peck[1]在預測隧道開挖誘發地表沉降變形的研究中提出，其認為地層變形是由地層損失引起，從而假定地表沉降槽體的體積等于地層損失的體積。基坑開挖過程中，圍護結構內外側土壓力平衡被打破，圍護結構在內外壓力差的作用下向坑內移動，從而引起坑周地表沉降。

如何根據圍護結構的變形預測地表沉降一直是工程界的重要研究課題。地層損失的方法是由圍護結構變形預測地表沉降的重要方法。目前，諸多學者根據地層損失概念，通過一系列合理假設，借助工程實際經驗，由圍護結構發生水平變形產生的側移面積與地表發生下沉產生的沉降面積之間的相關性，計算地表沉降。侯學淵[2]參考盾構隧道施工誘發地表沉降的Peck和Schimidt公式，借鑒三角形沉降計算公式的推導思路，給出了利用地層損失概念計算指數型(即凹槽型)地表沉降曲線的求解過程。唐孟雄等[3，4]以凹槽形地表沉降為研究對象，提出采用正態分布函數描述地表沉降曲線。張尚根等[5-8]假設地表沉降影響范圍為1.5倍的圍護結構長度，圍護結構水平變形最大值與地表沉降最大值之間存在一定關系，在這樣假設的基礎上進行地表沉降曲線預測。

綜合現有的地層損失法的研究成果可以看出[9]，基坑地層損失法在計算地表沉降的過程中主要包含3方面內容：① 地表沉降面積計算；② 圍護結構側移面積計算；③ 地表沉降面積與圍護結構側移面積之間比值的確定。地表沉降面積通常根據假設地表沉降曲線函數(未知參數一般包含地表沉降最大值wmax，地表沉降最大值位置xm，地表沉降影響范圍x0)，通過定積分運算得到；圍護結構側移面積可通過對工程實測圍護結構水平變形曲線進行積分運算得到；地表沉降面積與圍護結構側移面積之比可由工程經驗確定。其中，最主要的工作是確定地表沉降影響范圍x0，計算地表沉降最大值wmax和地表沉降最大值位置xm。

確定x0、wmax和xm的值，總體上可以采用兩種路徑。先確定xm和x0，再計算wmax；或者先確定wmax和x0，再計算xm。然而，無論采用哪種計算路徑，均需根據地區工程經驗確定地表沉降影響范圍x0，但不同地區地表沉降影響范圍不同[5，7-8，10-12]，即使同一地區通過統計分析所確定的地表沉降影響范圍也可能因為統計樣本不同而有所差異[13-15]，因此實際工程中不易確定地表沉降影響范圍x0。若地表沉降影響范圍x0取值不當，將極易高估或者低估地表沉降，選擇與地表沉降最大值位置xm相協調的地表沉降影響范圍x0至關重要。

此外，上述計算路徑在確定地表沉降最大值位置xm時，一般認為其僅與基坑開挖深度和土體力學參數內摩擦角有關[3-4]，而與其他因素無關，這顯然與實際情況是不符的。已有研究表明[9]地表沉降最大值位置與圍護結構水平變形曲線形態密切相關，因而地質條件類似，而地表沉降最大值位置不同，可能是由于圍護結構水平變形曲線不同所致。選擇先確定地表沉降最大值wmax和地表沉降影響范圍x0，再計算地表沉降最大值位置xm這條計算路徑時，易出現xm多解問題[5]。

為解決沉降最大值位置xm與地表沉降影響范圍x0的協調性問題以及xm多解問題，本文基于前人研究成果，通過理論分析提出了一種改進的基于地層損失概念的地表沉降經驗預測方法。

1 改進的地表沉降預測方法

在既有研究的基礎之上，對凹槽型地表沉降進行分析。首先，視墻后地表沉降曲線服從正態分布；其次，通過分析圍護結構的水平變形情況，并借助地表沉降顯式解析表達式，進一步求解地表沉降最大值的位置坐標，記為xm；通過借助主、次要影響區分界點并假設沉降函數，進一步求解地表沉降影響范圍x0；再次，利用上述步驟中得到的xm和x0，進一步對沉降曲線函數表達式進行積分，求出地表沉降曲線包絡面積Av；然后求解出圍護結構側移面積Ah；最終利用Av與Ah計算求出地表沉降最大值wmax。依據wmax，結合假設函數就能對墻后任意處地表沉降進行定量預估。

1.1 地表沉降曲線函數假設

深基坑首道支撐一般采用鋼筋混凝土支撐，由于圍護結構頂部會承受一定程度的側向約束，圍護結構水平曲線在深基坑開挖完成后變形多呈現鼓脹變形，基坑附近則往往呈現出“凹槽型”的地表沉降曲線。在既有研究[3-7，8，11]的基礎之上對該類型地表沉降曲線進行進一步的研究，假設墻后地表沉降曲線服從正態分布，可得：

(1)

相對應的曲線見圖1。x為墻后任意位置距基坑邊緣的水平距離；wmax為深基坑開挖過程中地表沉降最大值；xm為基坑邊緣至地表沉降最大值間的水平距離；r=x0-xm，r為基坑開挖過程中沉降盆的影響半徑，x0為基坑開挖過程中地表沉降所影響的范圍。

圖1 基坑開挖引起的凹槽型地表沉降Fig.1 Fluted surface subsidence caused by foundation pit excavation

1.2 地表沉降最大值位置計算

胡之鋒等人基于圍護結構平移變形條件下的解析表達式，運用微積分思想，得出了圍護結構在任意變形模式下的地表沉降顯式解析解，通過與工程實測數據對比發現，該顯式解析解得出的地表沉降最大值位置與實測值較為吻合[9]。因此，本文基于該地表沉降顯式解析解，根據圍護結構水平變形，計算地表沉降最大值位置xm。

胡之鋒等人所采用的地表沉降顯式解析解為

C5x2+C6x+C7)

(2)

其中，系數為

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

(3f)

C7=F

(3g)

其中，H表示圍護結構長度，A、B、C、D、E、F為多項式系數，可采用五次多項式表示圍護結構水平位移：

f(h)=Ah5+Bh4+Ch3+Dh2+Eh+F

(4)

h表示計算點的深度。在得到式(2)表達式的情況下，以x為變量，對其求導，令其導數為零，可以得出地表沉降最大值位置xm。

1.3 地表沉降影響范圍計算

基坑開挖過程中的地表沉降進行計算可借助地層損失理論，但此時x0的取值應處于合理區間，才能對地表沉降進行較為準確地計算。這是因為運用地層損失理論進行相關計算時最重要的兩個計算參數為圍護結構側移面積Ah以及基坑開挖過程中的地表沉降面積Av，而這兩者之間存在一定的比例關系。因此當Ah一定時，Av也就確定。此時一旦x0取值太小，通過計算后地表沉降曲線就會顯著變短，而基坑主要響范圍內曲線則會變得很陡，最終導致地表實際沉降值被高估；反之亦然。

在對既有研究[10，14，16]進一步分析后得知，盡管地表沉降影響范圍因基坑工程的不同而略顯差異，但主、次要影響區分界點的位置則呈現出相對一致的規律：位于墻后兩倍基坑開挖深度處，大小約為0.1wmax，見圖2。本文為了更準確地預測地表沉降，重點研究主、次要影響區分界點，并結合上節所求出的各特殊點間內在聯系來計算地表沉降影響范圍x0，使其與待求解的xm協調，最終對坑后地表沉降進行準確的估算。

圖2 主次要影響區分界Fig.2 Division of primary and secondary influence areas

首先將主、次要影響區分界點坐標(2He，0.1wmax)代入式(1)可得：

(5)

由圖3可見，地表沉降曲線中涉及的位置關系為

xm+xp=2He

(6)

圖3 地表沉降影響范圍求解示意圖Fig.3 Schematic diagram for solution of influence range of surface subsidence

式(6)中xp為地表最大值沉降點距主、次要影響區分界點之間水平方向的距離。借助式(5)、式(6)得出：

xp=0.856r

(7)

根據r=x0-xm，結合式(6)、式(7)可得：

0.144xm+0.856x0=2He

(8)

在式(8)中代入地表沉降最大值位置xm以及基坑開挖深度He就能進一步對基坑開挖過程中的實際影響范圍x0進行求解。

1.4 地表沉降曲線包絡面積計算

求解出xm以及x0之后，對假設地表沉降曲線函數進行積分，能夠得出地表沉降曲線包絡面積Av，而Av是僅含wmax一個未知數的表達式。此處為了簡化運算將地表沉降最大值位置設為坐標原點，也即假設xd=x-xm，于是求解出Av積分表達式如下所示：

(9a)

經過變換后可得：

(9b)

(9c)

Av=wmaxr[Φ(ur)-1+Φ(uxm)]

(9d)

式(9d)中，Φ(u)為標準正態分布函數，把ur代入可得

(10)

則式(9d)轉化為

(9e)

根據求解得到的xm和x0，且已知r=x0-xm，r也為已知量，從而wmax為式(9e)中唯一未知數。

1.5 圍護結構側移面積計算

計算圍護結構側移面積Ah。首先，根據實測數據確定圍護結構的水平位移，并擬合出水平位移表達式；然后，以圍護結構長度范圍為積分區間對擬合函數進行積分運算，求解出Ah。采用多項式對圍護結構水平位移曲線進行擬合是當前較為常見的處理方式，研究[9]表明采用五次多項式進行擬合效果較好，因此本文對五次多項式進行擬合最終得出Ah。

如圖3所示，設維護結構頂端為坐標原點，f(h)為對圍護結構水平位移曲線進行擬合的五次多項式函數，可得Ah為

(11)

結合式(4)，對式(11)進行積分可得：

(12)

1.6 地表沉降最大值計算

圍護結構側移面積Ah可由式(12)通過計算得出，并結合Av、Ah以及前文已經推導出的Av表達式(9e)，就能對地表沉降最大值wmax進行求解。其中，Av、Ah的關系由CA給出，CA定義為

(13)

通過上述計算得出地表沉降最大值wmax，然后式(1)中代入wmax、xm和r就能得出地表沉降預測曲線。地表沉降預測曲線確定后就能非常方便地對墻后任意地表位置沉降值進行估算。

2 改進方法計算流程

綜上，采用改進方法計算地表沉降的基本流程見圖4，具體如下：

圖4 改進方法計算地表沉降的流程Fig.4 The procedure of improved method to calculate surface subsidence

1)根據地表沉降的顯式解析式(2)求導，令其導數為零，得出地表沉降最大值位置xm。

2)根據假設沉降曲線，基于相對較為穩定的主次要影響區分界點，根據式(8)利用地表沉降最大值位置xm計算地表沉降影響范圍x0。

3)依據Av與Ah之間的關系式、圍護結構水平位移的實測數據，并由式(11)求解出Ah，最終對地表沉降曲線包絡面積Av進行求解。

4)借助式(9e)對地表沉降最大值wmax進行求解，然后在假設函數式(1)中代入wmax，就能對墻后任意地表位置的沉降值進行估算。

3 工程實例驗證及分析

3.1 工程實例

本文主要選取臺北軟土TNEC基坑[17]、倫敦軟土基坑[18-19]加以分析。具體的基坑的地層資料及開挖情況可以參考相應文獻。這兩個工程實測的圍護結構水平位移及五次函數擬合曲線見圖5a。

得出水平位移擬合曲線后，按照圖4所示的流程可以得到地表沉降曲線(圖5b)，計算的主要計算結果見表1。由圖5中的地表沉降預測結果和實測結果對比可以看出，改進后的沉降計算方法具有較強的預測能力，完全可以滿足工程實踐要求。

表1 主要計算結果Table 1 List of the main calculation result

圖5 改進方法的工程實例應用

4 地表沉降影響范圍的大小對地表沉降的影響分析

不同學者根據經驗所得的地表沉降影響范圍x0會有所不同。當先確定地表沉降最大值位置xm和地表沉降影響范圍x0，再計算地表沉降最大值wmax時，如地表沉降影響范圍x0取值不當，將極易高估或者低

估地表沉降。因此選擇與地表沉降最大值位置xm相協調的地表沉降影響范圍x0至關重要。

為了說明本文計算地表沉降影響范圍x0方法的合理性，基于上述2個工程實例，分別計算x0為4He，2.5He，1.5He時的地表沉降預測曲線，并將其與采用改進方法得到的地表沉降曲線和實測數據進行對比。

圖6給出了實測地表沉降曲線，以及取地表沉降影響范圍x0分別為4He，2.5He，1.5He時采用改進方法得到的沉降曲線。由圖6可見，xm不變的情況下，影響范圍x0的取值越大，相應得出的曲線越平，總體沉降偏小；反之，曲線越陡，計算所得主要影響區內的地表沉降值偏大，這與前文分析一致，說明地表沉降影響范圍x0取值不當會對地表沉降的計算結果產生重要影響。

圖6 地表沉降影響范圍大小分析圖Fig.6 Analysis chart of influence range of surface subsidence

改進的計算方法得到的地表沉降曲線與x0分別取4He，2.5He，1.5He時算得的地表沉降曲線相比，前者與實測數據更為吻合。這說明本文所采用的基于主次影響區分界計算x0較為合理，可避免傳統經驗法確定x0的不足，保證x0與xm之間的協調。

5 地表沉降最大值位置多解對地表沉降的影響分析

如前所述，傳統方法中xm存在多解問題，為了避免該問題，基于上述兩個工程實例，假設地表沉降最大值為圍護結構水平位移最大值的62.5%[12，20]，從而根據圍護結構水平位移最大值確定地表沉降最大值wmax。假設地表沉降影響范圍x0為2.5He，便可反求地表沉降最大值位置xm。這兩個工程實例最終計算的地表沉降最大值位置xm見表2。

表2 依據地表沉降最大值計算地表沉降Table 2 The surface settlement is calculated according to the maximum value of surface settlement

根據表2中的參數，圖7給出了兩個工程實例在不同地表沉降最大值位置xm時的地表沉降曲線，同時繪制出了采用本文方法計算得到的地表沉降曲線，以及實測地表沉降曲線。由圖7可見，先算wmax與x0，再算xm時得到的地表沉降曲線與實測值相差較大，這是由于地表沉降影響范圍x0，地表沉降最大值與圍護結構水平變形最大值之間的數量關系都是根據工程經驗確定，存在一定的不確定性。

圖7 地表沉降最大值位置多解分析圖Fig.7 Multi-solution analysis diagram of the location of maximum surface subsidence

此外，當地表沉降最大值wmax，地表沉降影響范圍x0確定時，存在多條地表沉降曲線，使得其曲線包絡面積等于確定的地表沉降面積Av，從而造成地表沉降最大值位置xm存在多個解，不易取舍。說明本文采用先確定xm與x0，然后計算wmax這條計算路徑具有一定的優越性。

6 結論

本文基于地表沉降曲線正態分布假設，提出了一種與圍護結構水平變形曲線相適應的地表沉降最大值位置的計算方法，給出了一種與地表沉降最大值位置相協調的地表沉降影響范圍x0的計算方法，在此基礎上提出了一種改進的基于地層損失概念的地表沉降的預測方法。主要的結論：

1)先確定地表沉降最大值位置xm和地表沉降影響范圍x0，再計算地表沉降最大值wmax這條計算路徑可以避免出現多解問題。

2)地表沉降影響范圍x0取值對地表沉降曲線的計算結果具有重要影響，本文所采用的基于主次影響分界求x0的方法是有效的，可以確保影響范圍與最大值位置相互協調。

3)此改進方法整體預測效果較好，具有較強的工程實用性。