基于平面展成原理的雙圓弧齒輪精確建模方法

王偉東，李吉偉，曹黎萍，李良燕，姜宏奎，任少英

(1.山東柳杭減速機有限公司，山東 淄博 255200；2.北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191)

0 引言

雙圓弧齒輪傳動具有承載能力高、抗膠合能力強、齒面接觸強度高等優點，廣泛應用于冶金、建材、化工、交通等領域的重載齒輪傳動。目前在雙圓弧齒輪建模方面的研究很多，但是許多建模方法并沒有基于展成原理，而是采用簡化方法，無法得到精確的齒輪模型。精確的三維模型對于雙圓弧齒輪的實際生產加工和理論研究有著重要的意義。本文基于齒輪平面展成的原理來建立雙圓弧齒輪數字模型，用標準齒條輪廓展成雙圓弧齒輪齒廓，將求解的過程用MATLAB進行編程、生成軟件，輸出三維軟件識別的.txt文件，用三維軟件讀取該文件完成建模過程。最后，采用立體視覺測量法測量齒輪零件，來驗證模型的準確性。因該方法與實際雙圓弧齒輪的加工原理相同，所構造的三維模型可以等同于實際加工得到的齒輪，對實際加工和研究有著一定的實用價值。

1 基于嚙合原理的雙圓弧齒輪精確齒廓設計

雙圓弧齒輪精確建模技術是建立在嚙合原理的基礎上的，它是在基本齒條齒廓的基礎上通過展成而得到的，雙圓弧齒輪與標準齒條刀具的嚙合關系如圖1所示，標準齒條刀具展成雙圓弧齒輪的過程如圖2所示。雙圓弧齒輪精確齒廓設計的過程就是將齒條展成齒廓的過程采用數學方程式的形式表示，并通過求解方程式得到雙圓弧齒輪的齒廓。

圖1 雙圓弧齒輪與標準齒條刀具的嚙合關系

圖2 標準齒條刀具展成雙圓弧齒輪的過程

對于雙圓弧齒輪精確模型的建立，首先需要建立基本齒條刀具齒廓的數學方程式。GB/T12759—1991標準規定了雙圓弧齒輪基本齒條在法向平面的齒廓，基本齒條刀具齒廓是與其相共軛的齒廓。如圖3所示，通過標準中規定的雙圓弧齒輪基本齒條齒廓，繪制出基本齒條刀具齒廓，此基本齒條刀具齒廓就是滾刀的法截面齒廓。凹凸曲面是由齒條刀具上的兩個圓弧曲面通過展成運動形成的，這兩個圓弧曲面投影在平面上分別是圓弧曲線1和圓弧曲線3。

圖3 雙圓弧齒輪基本齒條齒廓及其幾何參數

圖3中的三條圓弧曲線可用向量方程表示如下：

(1)

其中：r1為齒條齒廓上的點向量;xi和yi為圓弧曲線上點的坐標；ri為圓弧曲線的半徑；ai，bi為三條圓弧曲線中心；θ為圓弧曲線變量，與實際所取的圓弧段有關。假設雙圓弧齒輪的螺旋角為β，將公式(1)進行投影就得到端面齒廓：

(2)

在空間嚙合過程中，為了保證連續、平穩的傳動，齒條齒面和齒輪齒面在任意時刻都是相切接觸的，切點處存在公共的切平面及公法線n，而切點處的相對運動速度v12必然和法線n垂直，這樣才能保證兩個齒面能夠連續地滑動接觸。基于展成原理，接觸點處必須滿足下面的條件：

f(v,n)=v12·n=0.

(3)

求解雙圓弧齒輪的齒廓需要建立齒條坐標系與齒輪坐標系之間的轉換關系。如圖1所示，初始時，齒條坐標系S1(O1,X1,Y1)與機架坐標系Sf(Of,Xf,Yf)重合，一段時間后，齒條坐標系沿節線移動了距離L，同時齒輪坐標系S2(O2,X2,Y2)沿節圓中心轉過了角度φ。從坐標系S1到S2的變換矩陣可表示如下：

r2=MφMLr1.

(4)

聯立公式(2)和公式(3)，可求得：

θ=f(φ).

(5)

將公式(5)代入公式(4)便可求得雙圓弧齒輪齒面上的點：

(6)

2 雙圓弧齒輪精確齒面生成程序的編制

對于第1節所推導的雙圓弧齒輪端面齒廓方程(6)，在進行實際應用時一般不需要解出方程的解析解，而是通過數值方法在規定的定義域內進行求解。采用數值離散的方法求解步驟如下:

(1) 將θ在定義域內進行離散；

(2) 求解對應于某一θ的φ角；

(3) 求解與之對應的L，將θ、φ和L代入公式(6)；

(4) 求解下一個θ點，直到完成整個齒面的創建。

將離散化數值求解過程用MATLAB進行編程，并界面化，生成的軟件界面如圖4所示。

圖4 雙圓弧齒輪設計軟件界面

3 雙圓弧齒輪參數化建模

由自主開發的程序計算得到齒形，并輸出齒面的離散點，再由三維繪圖軟件生成齒輪，雙圓弧齒輪參數化建模過程如圖5所示。

圖5 雙圓弧齒輪參數化建模過程

為了更方便地生成三維模型，將程序設計成由SolidWorks2015可以識別的宏程序，利用宏程序來實現曲面的構造，其部分代碼如下:

Sub main ()

Set swApp = Application.SldWorks

Set part = swApp.ActiveDoc

part.InsertCurveFileBegin

boolstatus = Part.InsertCurveFilePoint(0.0076，-0.0325，-0.0780)

……

part.InsertCurveFileEnd

End Sub

最后建立的雙圓弧齒輪組參數化模型如圖6所示。

圖6 雙圓弧齒輪組參數化模型

4 參數化模型與實物對比

為了驗證模型與實物的一致性，采用現場視覺測量方法對齒輪實物進行測量。通過激光掃描得到齒輪實物的三維點云數據，并將測量得到的點云數據與本文所建立的三維模型相比較，從而得到模型與實物的相符合程度。齒輪的三維模型是基于齒輪加工刀具的實際參數來計算和建立的，避免了實際刀具與標準刀具的差異而帶來的模型誤差。雙圓弧齒輪現場測量過程和結果如圖7所示。

圖7 雙圓弧齒輪的現場測量過程和結果

利用相位和立體視覺技術對齒輪表面輪廓進行測量，通過與模型比較，兩者的齒廓偏差在20 μm以內，兩者整個齒面相符合程度很高。測量結果驗證了模型的準確性。

5 結論

本文在平面展成原理的基礎上建立了雙圓弧齒輪齒面數學方程，編寫了齒輪設計軟件，并詳細地介紹了雙圓弧齒輪精確三維建模的過程，最后，在三維模型的基礎上采用視覺測量法對齒輪實物進行了測量。通過對比實物與模型，驗證了建模方法的正確性。此方法具有通用性，不僅適用于標準齒廓的雙圓弧齒輪，也適用于定制的非標齒輪。本文的研究成果為雙圓弧齒輪的檢驗評定、力學分析及動態仿真提供了準確的三維模型。