基于退火算法的多目標(biāo)水平集結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化*

蘇建民，范亞萍，翟彥春，李 強(qiáng)

(1.濰坊科技學(xué)院 山東省高校設(shè)施園藝實(shí)驗(yàn)室，山東 濰坊 262700；2.濰坊市輕質(zhì)材料先進(jìn)制備及成型重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濰坊 262700)

0 引言

水平集(level set)的基本思想是將界面看成高一維空間中某一函數(shù)ψ(稱為水平集函數(shù))的零水平集，同時(shí)界面的演化也擴(kuò)充到高一維的空間中。我們將水平集函數(shù)按照它所滿足的發(fā)展方程進(jìn)行演化或迭代，由于水平集函數(shù)不斷進(jìn)行演化，因此對(duì)應(yīng)的零水平集也在不斷變化，當(dāng)水平集演化趨于平穩(wěn)時(shí)，演化停止，得到界面形狀。

文獻(xiàn)[1-3]將均勻法應(yīng)用于拓?fù)鋬?yōu)化分析，引入數(shù)學(xué)插值的方法將均勻法不斷優(yōu)化，并得到材料的最佳分布和最優(yōu)形狀結(jié)構(gòu)；張衛(wèi)紅等[4]利用隱式水平集函數(shù)建立結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的基本特征模型,以柔度最小化為目標(biāo),將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為CAD設(shè)計(jì)域內(nèi)特征布局和形狀優(yōu)化問(wèn)題；文獻(xiàn)[5]利用有限元將單元實(shí)體離散化，分析了雙線性結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的收斂速度與網(wǎng)格的關(guān)系；文獻(xiàn)[6]提出了采用Kirchhoff板單元利用剛度等效理論和最小柔順度為設(shè)計(jì)目標(biāo)，利用水平集方法拓?fù)鋬?yōu)化薄板加強(qiáng)筋分布理論；文獻(xiàn)[7,8]利用Python編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了實(shí)體模型的拓?fù)鋬?yōu)化，并分析了溫度對(duì)材料的影響；文獻(xiàn)[9]利用水平集拓?fù)鋬?yōu)化方法和最小柔度理論優(yōu)化解決了機(jī)構(gòu)的應(yīng)力集中問(wèn)題；文獻(xiàn)[10]針對(duì)水平集優(yōu)化過(guò)程中的邊界形成進(jìn)行優(yōu)化，建立了新的拓?fù)鋬?yōu)化導(dǎo)數(shù)數(shù)值變化的準(zhǔn)則，同時(shí)提升了水平集的優(yōu)化速度和收斂速度，減少了運(yùn)算迭代次數(shù)；文獻(xiàn)[11，12]利用水平集理論結(jié)合空間三角形面片法逼近拓?fù)鋬?yōu)化后的水平集曲面，利用散點(diǎn)優(yōu)化擬合提取曲線并轉(zhuǎn)換成G代碼實(shí)現(xiàn)數(shù)控編程進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的制造加工；文獻(xiàn)[13，14]提出了將能量法引入水平集理論，將水平集方法進(jìn)一步提升，并使用反應(yīng)擴(kuò)散方程在編程語(yǔ)言中進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

國(guó)內(nèi)外對(duì)水平集的研究中主要是針對(duì)單目標(biāo)、收斂速度的優(yōu)化[15-17]，針對(duì)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)較少。本文通過(guò)擴(kuò)散反應(yīng)方程更新水平集函數(shù)方程引入退火算法，結(jié)合多個(gè)目標(biāo)函數(shù)建立新的邊界，使優(yōu)化過(guò)程中的形狀結(jié)構(gòu)改變通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的約束來(lái)實(shí)現(xiàn)，并以體積、應(yīng)力、變形、頻率作為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，將4個(gè)目標(biāo)控制在一定范圍內(nèi)，加快優(yōu)化收斂速度，減少優(yōu)化時(shí)間。

1 邊界求解

水平集多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化是通過(guò)求解多目標(biāo)函數(shù)建立擴(kuò)散反應(yīng)方程更新水平集函數(shù)的，從而在結(jié)構(gòu)中生成新的空洞區(qū)域和邊界區(qū)域。本文以兩邊穿孔板(見(jiàn)圖1)為例，平板左端圓孔固定，以體積最小、應(yīng)力最大320 MPa、變形最大0.5 mm為優(yōu)化目標(biāo)。帶孔平板具體參數(shù)如表1所示。

表1 帶孔平板參數(shù)

圖1 帶孔平板

根據(jù)改進(jìn)水平集理論建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行迭代計(jì)算，收斂速度較快，迭代40次滿足條件，體積最小為原來(lái)的47%，導(dǎo)出16、23、40次的迭代情況，結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 迭代16次體積為原來(lái)56%時(shí) 圖3 迭代23次體積為原來(lái)50%時(shí) 圖4 迭代40次體積為原來(lái)47%時(shí)的模型邊界的模型邊界的模型邊界

通過(guò)圖1～圖4我們看到：由于平板左端圓孔固定，迭代開(kāi)始時(shí)右端材料減小較多，同時(shí)平板右端出現(xiàn)孔洞，面積較大；隨著迭代的進(jìn)行，大面積的孔洞開(kāi)始消融分解向左端固定圓孔延伸，形成分散分布的小面積孔洞；迭代達(dá)到40次時(shí)平板的優(yōu)化形狀固定，在平板上分布著大小不一的相對(duì)規(guī)則的孔洞，此時(shí)平板體積為原來(lái)的47%。從優(yōu)化開(kāi)始到結(jié)束總共迭代40次，收斂較快，并且優(yōu)化的形狀較為規(guī)則。迭代次數(shù)與體積變化、應(yīng)力、變形、頻率的關(guān)系如圖5～圖8所示。

圖5 迭代次數(shù)與體積變化的關(guān)系 圖6 迭代次數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系

圖7 迭代次數(shù)與變形的關(guān)系 圖8 迭代次數(shù)與頻率的關(guān)系

由圖5可知：迭代開(kāi)始后體積迅速減小，迭代到16次時(shí)體積已經(jīng)減少50%左右，迭代20次后體積減少的曲線變得比較平緩，在后期的20次迭代體積只減少了9%左右，在迭代后期主要進(jìn)行形狀和結(jié)構(gòu)優(yōu)化分布，由于受到應(yīng)力、變形和頻率的限制，體積并不會(huì)無(wú)限制減少，達(dá)到原來(lái)的47%時(shí)體積基本不再減少，迭代停止。

由圖6可知：迭代開(kāi)始后應(yīng)力逐漸增加，迭代10次之后增速變大，20次之后應(yīng)力增加變緩接近水平線。由于體積的減少，受力部分及約束位置應(yīng)力會(huì)不斷增加，迭代20次之后應(yīng)力已經(jīng)接近300 MPa，此時(shí)應(yīng)力已經(jīng)接近本文設(shè)置臨界值320 MPa，應(yīng)力不再大面積調(diào)整平板的體積減少，主要是調(diào)整形狀和結(jié)構(gòu)來(lái)平衡應(yīng)力分布。

由圖7可知：隨著迭代次數(shù)的增加變形逐漸增大，并且迭代開(kāi)始時(shí)增加較快，前16次的迭代曲線近似于線性變化，變形增加非常快，隨著迭代的深入變形逐漸變得平緩，逐漸靠近目標(biāo)值0.05 mm。

由圖8可知：隨著迭代次數(shù)的增加預(yù)應(yīng)力下頻率逐漸增大，并且迭代前期比迭代后期增加速度快，前10次的迭代頻率呈線性變化，增加非常快，隨著迭代次數(shù)的增加曲線逐漸變得平緩，逐漸靠近目標(biāo)值2 000 Hz，由于平板質(zhì)量減少頻率逐漸增大，但是同時(shí)要受到體積、應(yīng)力、變形的約束。

通過(guò)以上分析可知，在預(yù)應(yīng)力保持不變的情況下，多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，在體積最小的前提下設(shè)置應(yīng)力、變形和頻率等邊界條件限制，隨著體積的減少應(yīng)力、變形和頻率都逐漸增大，并且接近極限值時(shí)結(jié)構(gòu)體積變化較小，主要進(jìn)行形狀和結(jié)構(gòu)的排列優(yōu)化。用引入退火算法后的水平集理論同時(shí)對(duì)4個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化的收斂速度非常快，只進(jìn)行了40次迭代。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將最終優(yōu)化的模型按照邊界建模，如圖9所示。導(dǎo)入ANSYS進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖10所示。網(wǎng)格質(zhì)量屬性如表2所示，網(wǎng)格質(zhì)量屬性非常好。然后進(jìn)行模擬計(jì)算，結(jié)果如圖11～圖13所示。

圖9 優(yōu)化模型圖10 網(wǎng)格劃分模型

圖11 優(yōu)化模型的應(yīng)力分布情況圖12 優(yōu)化模型的變形分布情況圖13 優(yōu)化模型的第1階模態(tài)

表2 網(wǎng)格質(zhì)量屬性

由圖9～圖13可知:優(yōu)化后的模型體積為137.88 mm3，最大應(yīng)力為314.8 MPa，最大變形為0.049 406 mm，第1階模態(tài)頻率為1 986.6 Hz。與利用Metropolis準(zhǔn)則控制的擴(kuò)散反應(yīng)方程更新水平集的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表3所示。

由表3可知，利用Metropolis準(zhǔn)則控制的擴(kuò)散反應(yīng)方程更新水平集的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法計(jì)算數(shù)值與建模分析數(shù)值誤差在2%以內(nèi)，結(jié)果表明新的改進(jìn)水平集計(jì)算數(shù)值完全滿足設(shè)計(jì)要求。

表3 計(jì)算數(shù)值與模擬數(shù)值對(duì)比

3 結(jié)論

(1) 利用退火算法控制的擴(kuò)散反應(yīng)方程更新水平集的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法實(shí)現(xiàn)體積、應(yīng)力、變形、頻率多目標(biāo)同時(shí)優(yōu)化收斂速度較快，迭代次數(shù)較少。

(2) 基于退火算法的水平集優(yōu)化過(guò)程中體積變化的同時(shí)受到應(yīng)力、變形、頻率的約束，應(yīng)力、變形、頻率等多個(gè)目標(biāo)在變化過(guò)程中不僅受到各自條件的約束，它們之間與體積相互制約，有效地控制了收斂速度與迭代次數(shù)，實(shí)現(xiàn)了水平集多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化。

(3) 通過(guò)提取退火算法水平集拓?fù)鋬?yōu)化模型邊界建模并計(jì)算驗(yàn)證了本文得到的拓?fù)淠Ｐ秃透倪M(jìn)水平集拓?fù)鋬?yōu)化方法的有效性，可為水平集多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的改進(jìn)提供有效依據(jù)。