基于改進粒子群算法的分扭傳動系統輕量化設計

張 川,陳 金

(1.中國航發湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002;2.直升機傳動技術重點實驗室，湖南 株洲 412002)

0 引言

分扭傳動系統是美國陸軍與航空航天局Lewis研究中心針對直升機傳動系統提出的新概念傳動部件之一[1]。與傳統行星齒輪傳動構型相比，分扭傳動系統具有傳動比大、體積小、效率高、可靠性好等特點，已成為直升機傳動系統構型的重要發展方向[2]。目前應用分扭傳動系統的機型主要有CH-53K、RAH-66科曼奇等[3]。用于航空傳動系統設計的常規方法在齒輪強度裕度方面較為保守，導致傳動系統體積增大，重量也因之增加，因此采用現代優化設計方法對航空傳動系統進行輕量化設計勢在必行。

設計直升機減速器分扭傳動系統時一般給定載荷、工作環境、強度要求及其他制約因素，因此可看作是多約束條件下的傳動系統設計。目前，以數學模型為基礎，借助計算機程序尋求最佳設計結果的優化設計方法正在逐步取代傳統的經驗設計方法。其中，基于蟻群算法、遺傳算法、粒子群算法等的優化設計方法常用于處理組合優化問題，由于粒子群算法規則簡單、易于理解和實現，故其應用較為廣泛[4]。但基本粒子群算法運行初期容易陷入局部極值點，產生“早熟現象”，運行后期收斂速度較慢[5]，因此本文采用改進的粒子群算法進行某直升機主減速器分扭傳動系統的輕量化設計。

1 粒子群算法基本原理及改進的粒子群算法

1.1 粒子群算法基本原理

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是由James Kennedy和Russell Eberhart提出的群體智能迭代優化方法[6]，其基本思想源于鳥群和魚群群體在覓食過程中，隨時根據外部信息調整飛行方向和速度，同時通過自身經驗和種群之間的交流調整自己的搜尋路徑，直到找到食物最多的地方。在數學問題上可理解為：在某問題的解空間范圍內隨機初始化一群可行解及其各自所對應的初始速度，每個可行解看作是一個粒子，粒子質量的好壞由適應度函數(目標函數)來判斷。每個粒子根據自身對應的速度在解空間中動態改變自己的位置，直到找到解空間中適應度值(目標函數計算值)最優的位置。算法的每一次迭代都會計算兩個適應度：一個是單個粒子的歷史最好適應度，即個體最好位置所對應的目標函數值；另一個是粒子群的歷史最好適應度，即全局最好位置所對應的目標函數值。粒子在解空間中的速度和位置不斷地根據上述兩個最優函數值進行更新，最終找到全局最優解[7]。

假設一個規模為N的粒子群以一定的速度在D維的解空間內運動，第i個粒子在t時刻的位置為：

其中:SD、MD分別為解空間的下限和上限；1≤d≤D;1≤i≤N。

第i個粒子在t時刻的速度為：

其中：vmin、vmax分別為速度的下限和上限。

(1)

(2)

其中:ω為慣性系數，表示粒子保持當前速度的程度；r1、r2為在0～1之間均勻分布的隨機數；c1、c2為學習因子，一般取為0.2～0.5。

隨機參數的加入實現了概率搜索，使算法更易于進行全局搜索。粒子在不斷根據速度調整自己的位置時，還要受到最大速度vmax和最小速度vmin的限制，當vi大于vmax時將速度限定為vmax，當vi小于vmin時將速度限定為vmin。

1.2 改進粒子群算法

慣性系數ω用以控制粒子的全局或局部搜索能力，取較大值有利于全局搜索，但易陷入局部極值點；取較小值有利于局部搜索，但收斂速度慢[9]。在搜索初期ω應取較大值以利于跳出局部極值點，在搜索后期ω應取較小值以利于算法收斂。本文采用線性遞減策略選取慣性系數[10]，其數學表達式如下：

(3)

其中:ωmax、ωmin分別為起點、終點慣性系數，根據經驗分別取0.9、0.4；Q為最大迭代次數；L為當前迭代次數。

2 系統數學模型

2.1 設計變量

本文所述主減速器分扭傳動系統采用兩級傳動，輸入級為一個小齒輪與兩個相同的大齒輪嚙合，輸出級為兩個相同的小齒輪同時與一個大齒輪嚙合，所有齒輪均為斜齒輪。圖1為分扭傳動系統示意圖。

圖1 分扭傳動系統示意圖

在給定傳遞功率、傳動比范圍和齒輪壓力角、螺旋角的條件下，模數直接影響齒輪的大小和強度，模數一定時，齒數將決定齒輪分度圓大小，齒寬直接決定齒輪的寬度。因此，取模數m、齒輪齒數Z和齒寬b為設計變量。在此系統數學模型中，輸入級小齒輪與大齒輪的模數設定為m1，齒數分別為Z1、Z2，齒寬為b1；輸出級小齒輪與大齒輪的模數設定為m2，齒數分別為Z3、Z4，齒寬為b2，則設計變量為：

X={X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8}T=

{m1，m2，Z1，Z2，Z3，Z4，b1，b2}T.

(4)

2.2 目標函數

以達到分扭傳動系統輕量化為目標，即所有齒輪的體積之和最小，目標函數為：

(5)

其中：dn為齒輪分度圓直徑，n=1，2，3，4。

2.3 約束條件

2.3.1 邊界約束條件

(1)不發生根切的齒數限制：

Zn≥17.

(2)模數限制：

2≤mn≤10.

(3)齒寬系數限制：本文設定所有齒輪的齒寬系數取值范圍為：

0.1≤Ψn=bn/dn≤1.

(4)端面重合度限制：本文設定輸入級齒輪重合度取值范圍為：

其中：β1為分度圓螺旋角；εα、εβ分別為端面重合度、縱向重合度；pt1為端面齒距。

設定輸出級齒輪重合度與輸入級齒輪重合度取值范圍相同。

(5)傳動比誤差限制：

其中：Vinput為輸入轉速；Voutput為輸出轉速；δ為允許傳動比誤差。

2.3.2 強度約束條件[11]

本文設定所有齒輪的材料、許用接觸應力、許用彎曲應力、復合齒形系數均相同，所有齒輪的接觸應力、彎曲應力都按照下述方法進行約束。

(1)齒輪接觸應力σH限制：

σH-σHP≤0.

其中：σHP為許用接觸應力。

(2)齒輪彎曲應力σF限制：

σF-σFP≤0.

其中：σFP為許用彎曲應力。

3 程序運算及分析

本例中，已知傳遞功率為1 900 kW，輸入轉速為7 600 r/min，輸出轉速為260 r/min，齒輪材料為9310鋼，根據經驗取嚙合角α=22.5°、分度圓螺旋角β=30°，采用AGMA標準對輪齒強度進行約束。

3.1 算法流程

優化過程以MATLAB為編程工具，其具體求解步驟如下：

(1)根據設計變量初始化N個粒子的位置和速度。

(2)根據每個粒子的當前位置計算所有齒輪的體積之和。

(5)根據公式(1)、公式(2)將每個粒子的速度和位置進行進化更新。

(6)判斷是否達到最大迭代次數Q，若沒有則返回步驟(2)，否則則結束運行。

3.2 程序計算結果及對比分析

取N=2 000，Q=200，改進的PSO算法求解得到的最優結果和常規算法的計算結果對比見表1，改進PSO算法設計的分扭傳動系統中所有齒輪體積之和比常規設計的所有齒輪體積之和減少了18.5%。

表1 改進PSO算法和常規算法結果對比

改進PSO算法的程序收斂過程如圖2所示，迭代100次時已非常接近最優解，由此可看出此算法收斂速度很快。

圖2 改進PSO算法的程序收斂過程

4 結論

本文用改進的粒子群算法(PSO)解決了多約束條件下的某直升機主減速器分扭傳動系統輕量化設計問題。從實例優化結果來看，運用此方法計算所得參數能有效地減小系統中所有齒輪的體積和，實現整個分扭傳動系統的輕量化設計。并且此算法收斂速度快，利用MATLAB編程方便，因此其在分扭傳動系統輕量化設計方面具有較廣闊的應用前景。