Tikhonov正則化廣義最小化求解振動速度

呂寶華， 王 鵬， 余才志

(1.中航機載系統有限公司，北京 100028; 2.天津大學 精密測試技術與儀器國家重點實驗室，天津 300072)

隨著電子工業技術的快速發展，越來越多的高精密生產及檢測設備對環境微振動有著較高的要求，尤其對環境微振動的低頻振動幅值的要求甚高[1-3]。一些特殊類型的高精密設備，其制造廠商會提供對應的振動允許值，也就是防微振指標；若未提供相應指標，可根據其生產或檢測精度按照通用微振動標準進行評估[4-6]?，F行標準包括由我國自行提出并遵循的GB51076-2015《電子工業防微振工程技術規范》以及國際通用振動評價標準。

國際標準與我國國標規定的振動標準及大多數廠商提出的防微振指標均是用振動速度的幅值高低來對環境振動進行評估，但由于振動傳感器的安裝以及指標參數等因素，直接使用振動速度傳感器難以實現低頻微振動測量，因此需要選用低頻高靈敏度的振動加速度傳感器獲取加速度信號后，通過數字信號積分算法，重建振動速度信號。

1 Tikhonov正則化

已有的數字信號積分算法主要分為時域積分和頻域積分兩大方向[7-8]。時域積分主要是通過濾波或多項式擬合等方法在去除低頻噪聲及趨勢項后，對時域信號進行數值積分得到振動速度信號，但由于環境微振動的目標頻率也就是基頻往往較低，濾波器設計難度較大，且會出現相位失真等現象。頻域積分主要包括低頻截止和低頻衰減等積分算法，對低頻噪聲抑制以及趨勢項控制方面表現良好，但其積分得到的時域速度信號是經過IFFT后各個頻率平均后的結果，因此無法很好地再現隨機振動信號的瞬時特性。鑒于已有的信號積分方法存在的種種不足，在環境微振動測試領域迫切需要一種既可以再現振動信號時域瞬時特性，又可以在有效抑制低頻噪聲的情況下盡量保留低頻信息的數字信號積分算法。

本文提出一種基于Tikhonov正則化[9-11]的廣義最小化求解的振動速度重建方法，克服現有積分算法存在的不足，在有效抑制低頻噪聲的情況下盡量保留低頻信息的數字信號積分算法，可以較好地再現振動信號的時域瞬時特性；并且該方法可通過調節廣義化階數和正則化因子來適應不同的測量環境，適應性強；該方法在實際應用中，僅需進行簡單的向量乘法運算，并且不同積分窗的計算是相互獨立的，可通過多線程并行計算提高算法速度，可編程性強。

2 Tikhonov正則化的基本原理

基于正則化方法的振動速度重建過程主要包含：建立模型、正則化求解及最優化正則化參數的選取和收斂準則[12-16]幾個步驟。

2.1 系統模型的建立

建立Tikhonov正則化誤差控制方程的連續形式[17]為

(1)

將測量誤差(需要求解的速度的微分與測量加速度的差)的最小化問題進行廣義化處理，轉化為求解高階導數的差的最小化問題，則積分廣義誤差控制方程形式為

(2)

式中，ng為廣義化階數。

(3)

并且取先驗估計vst為0，對式(2)使用變分法求極值：

0=δmin∏(v)

(4)

式中，E即為誤差控制方程構造的目標函數。

對式(4)進行連續分布積分，整理可得：

(5)

對式(5)微分得到：

(6)

(7)

2.2 正則化參數求解

正則化參數的選取一向是 Tikhonov 正則化方法最為關鍵的一部分。如果所選參數過大，系統就會丟失大量有效信息；如果選取的參數過小，雖然系統保留了很多信息，但在受到外部環境噪聲影響的情況下，正則化方法對此時的動態載荷識別不能起到很好的抑制作用。如何選取也就成為重點問題。

(8)

式中,fi為每組加速度對應的頻率。構建誤差計算公式：

(9)

由此建立在不同廣義化階數ng下，可以通過調整正則化因子λ來使誤差達到系統允許誤差。

2.3 收斂準則

由梯形積分公式可得積分形式廣義誤差控制方程離散化形式：

(10)

由Lagrange插值多項式(11)：

(11)

可得數值微分公式為

(12)

將式(12)代入式(10),經整理可得L2廣義誤差控制方程：

(13)

T與采樣間隔Δt有關。式(13)中系數矩陣K=Ki·Kc；微分系數矩陣Kc為代入數值微分公式后，經整理得到；如果式(13)小于一個容差值，則稱該迭代收斂。

3 重建振動速度算法

首先用Tikhonov正則化的廣義最小化求解方法建立Tikhonov正則化誤差控制方程的連續形式(簡稱IGEC方程)，通過對該方程進行變分法以及傅里葉變換推導出理想加速度(通過本算法計算出的加速度)與測量加速度的傳遞函數，進行誤差計算后選取最佳結果，確定廣義化階數與正則化因子。再對該方程進行離散化計算推導，得到離散形式的誤差控制方程(簡稱LGEC方程)，對其進行求解得到速度重建系數向量。最后，用積分窗對測量加速度進行截取，將截取得到的測量加速度向量與速度重建系數向量作向量乘法運算，即可得到積分窗中心時刻的重建加速度，繼續移動積分窗重復上述步驟，即可完成振動速度重建。算法流程如圖1所示。

圖1 算法流程框圖

4 實驗與結果分析

為了驗證微振動測量系統及其信號處理算法的可行性和測量準確度，本文設計、搭建了微振動在線測量系統進行實驗的系統，對多個半導體廠房進行了微振動現場測量分析。實時采集得到的加速度數據如圖2所示。

圖2 測量加速度圖

由本文算法計算得到不同廣義化階數下幅頻響應曲線如圖3所示。從圖3中可看出，廣義化階數取值越高，本文提出的算法的低頻抑制范圍將擴大。而不同的測量環境，其需要抑制的低頻趨勢項誤差對應的頻率范圍各不相同，因此可通過調整廣義化階數修正重建信號基線，保證積分精度。

圖3 不同廣義化階數下幅頻響應圖

由本文算法計算得到不同正則化因子下幅頻響應曲線如圖4所示。

圖4 不同正則化因子下幅頻響應圖

算法積分過程示意圖如圖5所示。

圖5 積分過程示意圖

帶噪加速度即為不去除低頻趨勢項噪聲情況下使用理想頻域積分方法得到，如圖6所示。

圖6 帶噪速度示意圖

算法計算重構的速度與實際速度對比圖如7所示?？梢钥闯?，低頻趨勢項噪聲得到了較好的抑制。

圖7 理想速度與重建速度對比圖

5 結束語

針對高精密生產及檢測設備的環境微振動測量，需要用振動速度評價環境的振動等級。本文提出一種基于Tikhonov正則化的廣義最小化求解的振動速度重建方法，克服了現有積分算法存在的不足，該方法在實際應用中，僅需進行簡單的向量乘法運算，并且不同積分窗的計算是相互獨立的，可通過多線程并行計算提高算法速度，可編程性強。通過實驗證明，該算法可以有效抑制低頻噪聲，并且盡量保留低頻信息。