合作探究 實驗建模 能力提升
——以“銳角三角函數”單元復習課教學為例

■霍 燕

數學建模，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化，建立起能近似刻畫并解決實際問題的模型。它是一種強有力的數學手段。簡而言之，數學建模既是一種重要的數學思想方法，也是數學核心素養之一。數學課程標準指出，學習活動中需注重學生合作探究能力的培養。因此，在銳角三角函數的單元復習課教學中，教師應鼓勵學生合作探究、實驗建模，從而培養學生解決問題的能力及創新意識。

筆者認為，基礎知識的了然于心是建模的前提，首先需理清基礎知識；建立模型是學生的學習難點，而給予學生充分的時間合作實驗有助于學生更好地討論交流，是建模的有效方式；建立模型后的鞏固也是至關重要的，因此需進一步練習，以便消化；建模最終是為了更好地解決實際問題，因此，回歸問題的本質，利用模型，嘗試解決實際問題也是很重要的一個環節。

一、夯實基礎，提升建模信心

數學基礎知識的牢固掌握是數學建模能力提升的前提，學生只有充分理解并掌握了相關的基礎知識，方可更好地運用知識本質。因此，在教學中，教師需精心選擇問題的切入點，從直擊核心的簡單問題出發，提升學生學習的積極性和建立下一步學習的信心。為了更好地培養學生的建模意識，在這節復習課的開始，筆者對教材內容進行了整合，從實際問題出發，展開教學。

案例1 銳角三角函數的簡單運用

問題1如圖1，小亮為了測量校園里教學樓AB的高度，將測角儀C D豎直放置在與教學樓水平距離為的地面上，若測角儀的高度為1.5m，測得教學樓的頂部A處的仰角為30度，求教學樓的高度。

圖1

從實際問題出發，將實際問題抽象成數學問題。模型一：在Rt△A B C中，已知∠C=90°，∠A=30°。結論1.若B C=x，則，AB=2x；結論2.若AC=x，則；結論3.若AB=x，則。將條件延伸至等腰直角三角形中，從而建立模型二：結論1.若斜邊為x，則兩直角邊均為；結論2.若兩直角邊為x，則斜邊為

此題給出了具體的圖形，學生只需在圖形中找尋解決問題的方法，實現建模學習的低起點。在教學中，教師引導學生說出特殊角的直角三角形中的邊、角關系，通過比較所設未知數，學生容易得出結論；采用設最短邊的長度的方法，可以更方便地求解問題，從而領會到理解基礎知識本質特征的重要性。建模后問題的順利解決，讓學生覺得原來建模并不是高不可攀的復雜技能，提升了學習的積極性，為后續更復雜的建模嘗試做正面的心理建設與鋪墊。

二、合作實驗，助力建模

建構主義認為，知識的獲得依賴于學生自身已有的知識和經驗，進而主動建構。因此，教師應放棄滿堂灌及填鴨式的教學，而采用小組合作的形式組織教學。學生通過動手操作、自主探索、合作交流，從而達到建模、解模的目的。為了解決本節課的核心問題，筆者設計了如下實驗活動，引導學生從實驗出發，在實驗活動中合作交流，得出實驗結果，進而得出模型，解決問題。該環節既是本節課的重點，也是本節課的難點。筆者給予學生充分的時間操作、探究、合作、交流、質疑，最終構建出了初中階段銳角三角函數這一章中最重要的六個基本模型。

案例2 實驗活動及實驗結果

問題2活動1.△AB C中，∠C=90°，∠A=30°，沿著過點C的直線折疊，折疊后點B落在線段A B上。若BC=1，思考：可以求出哪些線段的長度及哪些角的度數？

活動2.用兩張三角形紙片拼接三角形（可重疊）。

操作：將圖3紙片沿著CD剪下，得到△AD C與△C D B。若有Rt△C DM（C M為斜邊，C D=DM），思考：將△AD C、△CDB、Rt△CD M重新拼接，能拼成一個新的三角形，則Rt△CD M（CM為斜邊，CD=D M）有什么樣的要求？請完成拼圖，并寫出實驗結果。

通過兩個實驗活動，學生在實驗合作過程中，建立如下6個模型（如圖4所示）。

圖4

圖5

圖6

圖7

圖9

學生發現在作出高CD后，如果設CD=x，那么含特殊角的斜△A B C所有邊都可用含x的代數式表示出來，實現了解特殊斜三角形的目的。學生還感知到添高是解決問題的關鍵。另外，學生還在討論交流中，得出了添哪條高更合適，實現了不破壞特殊角，構建含特殊角的三角形解決一類問題。基于案例1，有學生指出，設最短邊來表示出的△ABC的各邊更簡單，例如在圖8中，如果設B D=x，則，B C=2x，A D=3x，，AB=4x。學生感悟到今后遇到此類問題，未知數既可以直接設，也可以間接設，選取合適的方法，能使計算變得簡便。

圖8

學生在剪一剪、拼一拼的過程中，感受到通過動手實踐可以得出結論。在合作交流中，學生思維火花的不斷碰撞產生的精彩生成，不僅發展了學生的表達能力，更提升了小組的競爭意識與凝聚力。教師給予及時的點撥、評價有助于學生理解并反思。學生在“做”數學中思維得到拓展，創新意識和自主學習的能力得以進一步提升。

三、鞏固提高，內化模型

通過實驗活動的開展，學生得出了模型，而知識的靈活運用需要在已學的基礎上進行鞏固、變式練習，使數學學習從表層走向深層。在開展變式練習時，教師應鼓勵并引導學生洞察變化的外在特征，發現并抽象出不變的內在結構。為了全面復習所得到的6個模型，筆者設計了如下開放性題目。

案例3 提出問題，強化模型

問題3如圖10是一副學生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠B1A1C1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB。若將邊A1C1與邊CA重合，其中點A1與點C重合。將三角板A1B1C1繞點C（A1）按逆時針方向旋轉，旋轉角度為α，旋轉過程中邊A1C1與邊A B的交點為M，設A C=a，兩塊三角板重疊部分的面積為S。若α為15°，試計算S。根據今天所學內容，你能再對α進行改變，并求出S嗎？

圖10

在教學過程中，引導學生通過轉一轉三角板的方式加深對題目的理解與認識，體會圖形運動的過程，接著對α角展開討論，從特殊的角度出發，如30°，解決問題后，再次變換角度為45°、60°，最后學生發現解決這些特殊角的問題，只需找出6個模型，所有問題就能順利解決，再次感悟到建模的重要性。甚至還有學生指出如果α角是一般角，也能利用之前的方法解決問題，區別在于涉及參數多了，還要對α角的范圍進行討論。該名學生還大膽預測，如果得出了一般模型的答案，那么之前的特殊角問題就只需要完成代數式求值即可。筆者表揚并肯定其提出了一個極其價值的問題，鼓勵其他學生參與進去，課后再進行深入思考，以期得到上述6個模型的一般公式。

四、回歸實際，運用模型

當學生經歷了從簡單建模到復雜建模，再到模型的鞏固運用這一過程后，就基本具備了計算三角形邊的能力。歷史上三角函數的產生是基于對測量的需求。數學來源于生活，又服務于生活。

案例4 實際問題，創意解決

問題4課后拓展：請同學們利用所學知識測量學校的旗桿高度。

將現實生活的問題帶到數學課堂中，引導學生積極動腦、勤于動手，在利用建模解決問題的過程中，培養了學生對知識的遷移能力，讓他們用數學的眼光來研究問題，體現數學的實用價值。課后的拓展題，學生貢獻出了多種測量學校旗桿高度的方法，讓人再次感受到數學建模的魅力。

“實戰演練”加深了學生對知識的理解，有助于學生建構屬于自己的知識結構，一定程度上激發了學生的學習動機，緩解了數學學習過程中的枯燥乏味，學生運用數學的意識得以培養，最終提升了學生的創造性思維和可持續發展素養。

本課時的設計與實施，建立在學生已有的學習基礎上，筆者對教材中的核心知識點進行了整合。學生在數學建模時經歷了從無到有的過程，從簡單基礎走向高階思考，思維得到進階。

通過這節課的嘗試，我們看到了孩子們智慧火花的飛濺，看到了孩子們對知識的渴求，感受到數學不僅擁有“冰冷的美麗”，還能綻放靈動的色彩。

在今后的教學中，需不斷整合合適的教學資源，在課堂中注意對學生數學建模能力的培養，引領學生直擊知識的精髓，培養學生的數學建模意識、數學模型思想，進而提高學生“學好數學”“用好數學”的能力。