后框獨立驅動式雙框架位標器的指向分析

湯海亮，陳余輝，席 斐，朱全發，屈軍利

(西安導引科技有限責任公司，西安 710065)

0 引言

目前導引頭位標器大都采用框架結構來實現導引頭俯仰-方位角運動，以其框架角范圍大、隔離擾動能力強而廣泛應用[1]。包括單框架和雙框架兩種形式：單框架位標器的內外框均采用力矩電機直驅、電位計或旋變進行測角，形式為萬向支架；雙框架位標器將驅動或者測角部件與內外框架平行軸分離后置安裝，采用平行四邊形機構實現驅動力矩或框架角位移傳遞。相比單框架位標器，雙框架位標器更適用于導引頭小口徑、結構緊湊、類錐外形且框架角要求大的場合，尤為適用紅外、雷達及復合類大尺寸探測部件的配備需求[2-4]。

單框架位標器的指向角等于驅動角，呂常波等[5-6]研究了裝調誤差對滾仰式導引頭視軸指向的影響，在裝調層面對萬向支架式位標器的指向精度進行了深入分析。周瓊等[2]設計的大跟蹤場圖像導引頭位標器就是雙框架位標器的前后框均采用萬向支架式連接，且前內框-后內框、前外框-后外框通過連桿連接分別形成兩組平行四邊形機構，其前框指向角與后框驅動角相等，采用這種結構形式，保證了前后框內環的同步運動。

文中所述的后框獨立驅動式雙框架位標器即是：位標器的前框采用萬向支架式連接，后內環與后外環分別通過一根連桿與前內環、前外環連接，區別于前述雙框架位標器，此形式后框的內外環相互獨立。設計中發現，采用這種連接形式時前內環的指向角與后內環的驅動角不相等，建立了后框獨立驅動式雙框架位標器的幾何模型，通過運動仿真確立了前后內環運動的非線性。利用坐標變換和位標器前后框的空間幾何關系，得到了前框指向角與后框驅動角、內框連桿長度及后內環搖臂長度的函數關系；通過對函數方程進行數值求解，定性分析了前框指向角隨后框驅動角的變化趨勢，徹底解決了此形式位標器的指向問題。

1 后框獨立驅動式雙框架位標器幾何模型

后框獨立驅動式雙框架位標器的前框采用萬向支架式連接，后內環與后外環分別通過一根連桿與前內環、前外環連接，此形式后框內外環相互獨立，由兩個力矩電機分別驅動的內外環搖臂組成，兩個測角元件分別與兩個力矩電機同軸固連，這樣由外環搖臂-外框連桿-前外環-本體、內環搖臂-內框連桿-前內環-本體形成兩個四連桿機構，前者為平行四邊形四連桿機構，后者為空間四連桿機構。后框獨立驅動式雙框架位標器幾何模型如圖1所示。

圖1 后框獨立驅動式雙框架位標器幾何模型

2 坐標系及參數定義

如圖1所示，設外框連桿、內框連桿長度均為l(與本體機架長度相等)，內環搖臂長度為r。

后框坐標系Ob-XbYbZb。原點Ob取兩個力矩電機軸線的交點。ObXb軸和導引頭的縱軸重合，方向指向導引頭頭部。Yb軸與外環驅動電機軸線重合，和Xb軸垂直，圖示向右為正。Zb軸和Xb軸與Yb軸成右手系。可知后框坐標系是通過彈體坐標系平移得到，此不贅述。

前框外環坐標系O-XβYβZβ。原點O取前內環與前外環旋轉軸線的交點。由后框坐標系Ob-XbYbZb經過平移l后繞Zb軸旋轉一個角度β后得到，即是外環搖臂轉動一個角度β后引起前外環同步轉動。

前框內環坐標系O-Xβ,θ1Yβ,θ1Zβ,θ1。在前框外環坐標系O-XβYβZβ的基礎上，內環搖臂再轉動一個角度θ后引起前內環繞Yβ軸轉動一個角度θ1后得到。

各坐標系的變換關系[7]如圖2所示。

圖2 各坐標系之間的變換關系

3 指向分析

3.1 坐標變換矩陣

采用旋轉矩陣[8](旋轉向量)實現三維空間坐標變換。

以世界坐標系到相機坐標系的變換為例，旋轉的歐拉角從世界坐標系轉換到相機坐標系，先繞z軸旋轉，再繞y軸旋轉，之后繞x軸旋轉，最終得到相機坐標系，角度分別是φy、φp、φr。

從相機坐標轉換的世界坐標實際上是反變換過程，通過定義Rx反旋轉將相機坐標反旋轉過來，之后依次繞y,z軸反旋轉，從相機坐標系到世界坐標系的旋轉矩陣按如下方式定義：

(1)

(2)

(3)

因此，相機c坐標系到世界w坐標系間的旋轉矩陣為：

(4)

對于平移矩陣為相機坐標系原點在世界坐標系下的坐標T，最終得到的坐標變換方程為：

Xw=RzRyRxXc+Tc，w

(5)

其中對z，y，x方向的旋轉按照右手系定則，大拇指指向軸線方向，四指方向為旋轉的正方向。

3.2 前框指向角與后框驅動角函數關系

由第1節的論述，后框獨立驅動式雙框架位標器的俯仰指向角與其后框的外環搖臂驅動角相等，即β′=β。下面主要分析此形式位標器偏航角與其后框的內環搖臂驅動角的關系。

接第2節，得到前框外環坐標系O-XβYβZβ后，此時內框連桿的位置保持在狀態1處，兩端點記為A，B。得到前框內環坐標系O-Xβ，θ1Yβ,θ1Zβ,θ1時，內環連桿運動到狀態1′處，兩端點記為A′，B′。則O-XβYβZβ下B點的坐標可記為(0，0，-r)，Ob-XbYbZb下A′點的坐標可記為(rsinθ，0，-rcosθ)。記平移向量l=(l，0，0)T，lOB′為從O到B′的向量，lOB為從O到B的向量，lA′B′為從A′到B′的向量，由3.1節坐標變換理論可得：

lOB′=Rzb·Ryβ·lOB+l

(6)

其中：

則lA′B′=lOB′-lOA′。

內環連桿的長度l保持不變，則有：

l2=lA′B′·lA′B′

(7)

解式(7)便可得θ1與l，r，θ，β的關系式。

4 數值仿真

由第3節的論述可知，式(7)是θ1關于l，r，θ，β的隱函數關系式，即f(θ1,θ,β,l,r)=0，式中還存在三角函數，所以得到θ1的解析式比較困難，下面對后框獨立驅動式雙框架位標器的偏航角θ1在不同后框外環搖臂驅動角β下與其后框的內環搖臂驅動角θ的對應關系進行數值計算[9]。

為了便于分析，取l=100 mm，r=50 mm。取β=(0，12.5，25，37.5，50)×π/180(θ1是關于β的偶函數，所以這里僅對β的正向進行分析)，在Matlab中繪制出θ1關于θ(θ∈[-20,20]·π/180)的函數圖像如圖3所示,β,θ的單位為(°)。

圖3 位標器偏航角與內外環驅動角的關系曲線

此外，隨著β的增大，θ1與θ的差值越來越大。表1中列舉了不同β值時，θ值下θ1值。

表1 前框偏航指向角θ1計算結果 單位：(°)

5 運動仿真結果對比

為了驗證分析的正確性，在三維CAD軟件建立后框獨立驅動式雙框架位標器的簡易運動仿真模型，如圖4所示。在UG(Unigraphics NX)中通過同軸、接觸、對稱、替換位置等約束實現內外環搖臂繞本體固定軸、前內環繞前外環、前外環繞本體的旋轉運動，且實現外框連桿獨立時各端一個旋轉自由度、內框連桿獨立時各端兩個旋轉自由度加連桿軸向的一個旋轉自由度。

圖4 后框獨立驅動式雙框架位標器簡易運動仿真模型

當后內環搖臂及后外環搖臂施加角度約束后，前內環、前外環立即隨動到一定角度，那么測量前內環與前外環兩個框架平面的夾角就可得位標器的偏航指向角。仿真測量結果見表2，β=0時的結果忽略。

對比表1中各θ1與表2中各θ′1的數據可以看出，兩者中的個別數據僅在小數點后第四位略有不同，其它數據完全相等。個別數據的細微差異是由于數值計算的精度導致的，所以文中對后框獨立驅動式雙框架位標器指向問題的分析結果完全正確。

接第4節分析，隨著β，θ的增大，表2中β=50°、θ=-20°時，θ1已達到-39.641 2°，幾乎是其θ的兩倍，此時若用θ代替θ1作為位標器偏航角完全不可取。鑒于此形式θ與θ1存在巨大差異，所以位標器的偏航指向角不能用后內環驅動角替代。此外，在設計此形式位標器之初，可根據導引頭對位標器的框架角(即指向角)要求及導引頭尺寸要求反向估計其位標器后框內外環驅動角的大小，這對驅動測角部件的選型及位標器設計有重要意義。

表2 θ′1仿真結果 單位：(°)

6 結論

通過理論分析、數值計算及運動仿真對后框獨立驅動式雙框架位標器的指向問題做了詳細論述。

1)建立了后框獨立驅動式雙框架位標器的幾何模型，分析了該形式位標器前后框、內外環的坐標變換關系及運動傳遞路徑，得出了前框指向角與后框驅動角函數關系。

2)采用數值計算，得到了位標器偏航角與內外環驅動角的關系曲線，并通過典型角度數據的表格列舉，定性、定量兩方面分析了此形式位標器前框偏航指向角隨后框驅動角的變化趨勢及前框偏航指向角與后內環驅動角的差異。

3)運動仿真結果表明：本文針對后框獨立驅動式雙框架位標器指向問題的分析是正確的，位標器的偏航指向角不能用后內環驅動角替代。

為采用此形式位標器的導引頭的指標分解、伺服控制及其位標器結構設計提供了設計依據，具有較高的工程應用價值。