基于小波包樣本熵和支持向量機的框架結構損傷識別

方有亮，李肖磊，張 穎*，王晶晶，劉 樂

(1.河北大學建筑工程學院，保定 071000；2.河北省土木工程監測與評估技術創新中心，保定 071000)

近年來，結構損傷檢測技術一直是國際學術界和工程界研究的熱點。基于振動測試的損傷識別方法取得了飛快的發展[1-2]，很多機器學習的算法被應用到該領域，主要有神經網絡[3]、小波分析[4]、遺傳算法[5]、支持向量機等。Kourehli[6]提出一種利用靜態響應和支持向量機進行結構損傷檢測和估計的方法，分析得知即使存在不完全噪聲數據和建模誤差，該方法對結構的損傷定位和嚴重程度依然很敏感。劉澤佳等[7]結合了結構響應向量與支持向量機的損傷識別方法，在簡支梁和實際橋梁模型中都驗證了方法的有效性。張穎等[8]以鋼框架模型的試驗模態頻率作為支持向量機的訓練和測試樣本的輸入，支持向量機輸出判斷損傷位置，研究表明該算法對損傷位置敏感、識別精度較高。

熵對系統的非線性特征具有顯著的凸顯作用，其常見度量方法有近似熵和樣本熵等。樣本熵是一種用來描述時間序列復雜度的新方法，對所需的數據長度要求不高、抗噪聲干擾能力強。孫增壽等[9]在小波包分析過程中結合樣本熵建立了對數加速度能量差小波包樣本熵作為損傷指標，識別效果顯著且具有良好的魯棒性。孫柯等[10]提出了小波包頻帶內局部樣本熵的概念，將測點的時程數據進行小波包分解與重構，計算局部時間區間的樣本熵作為損傷指標，通過有限元模型分析驗證了方法的可行性。近年來樣本熵被廣泛應用于機械故障診斷[11]和醫學信號處理[12]等領域。

現提出采用樣本熵特征向量和支持向量機(support vector machine,SVM)相結合的方法，對四層鋼框架結構進行損傷識別。利用單個加速度振動響應信號，進行小波包分解，提取樣本熵作為特征值向量，該方法能有效地識別結構損傷位置和程度。

1 基本理論

1.1 小波包分析

小波分析只分解信號的低頻部分(S)，而對信號的高頻部分(d)不再分解，導致信號的細節部分沒有被分析，小波變換能很好地表征一大類以低頻信息為主要成分的信號，但不能分解和表示包含大量細節信息的信號，比如非平穩的機械振動信號等。相比小波分析,小波包分析在信號處理方面作了進一步精細化，不僅信號的高頻部分分辨率優于小波分析，還可以自適應地選擇最佳的小波基函數。既無冗余，也無疏漏，對于信號能夠更好地時頻局部化分析。小波包3層分解結構如圖1所示，Layer 0代表原始信號，經過小波包分解得到Layer 1的低頻(S)和高頻(d)兩個節點信號，然后分別對低頻(S)和高頻(d)信號再進行一次小波包分解，得到Layer 2的4個節點信號，以此類推，經過3層分解后得到Layer 3的8個節點信號。

圖1 小波包3層分解結構圖Fig.1 Wavelet packet 3-layer decomposition structure diagram

對于一個在時域上采集的信號函數f(t)，經過j層小波包分解后可以用式(1)表示：

(1)

(2)

(3)

式(3)中：ψj,k,i(t)是具有尺度指標j、位置指標k和頻率指標i的小波包函數。

1.2 樣本熵

假設由小波包分解的各階分解信號{x(n)}={x(1),x(2),…，x(N)}的數據個數為N個，則其樣本熵計算步驟如下。

(1)由N個數據組成的時間序列{x(n)}={x(1),x(2),…，x(N)}，按序號組成一組維數為m的向量序列，Xm(1),Xm(2),…，Xm(N-m+1)，其中Xm(i)={x(i),x(i+1),…,x(i+m-1)}，1≤i≤N-m+1。這些向量代表從第i點開始的m個連續的x的值。

(2)定義向量Xm(i)與Xm(j)之間的距離d[Xm(i)，Xm(j)]為兩者對應元素中最大差值的絕對值。即

d[Xm(i),Xm(j)]=maxk=0,1,…,m-1(|x(i+k)-

x(j+k)|)

(4)

(3)對于給定的Xm(i)，統計Xm(i)與Xm(j)之間距離小于等于r的j(1≤j≤N-m,j≠i)的數目，并記作Bi。對于1≤i≤N-m，定義

(5)

(4)定義B(m)(r)為

(6)

式(6)中：Bm(r)為兩個序列在相似容限r下匹配m個點的概率。

(7)

(6)定義Am(r)為

(8)

式(8)中：Am(r)為兩個序列匹配m+1個點的概率。

樣本熵定義為

(9)

當N為有限值時，可以用式(10)估計：

(10)

式(10)中:m為初始分段，每段的數據長度，重構維數，一般選擇1或2，一般不取m>2，這里取m=1；r為閾值，一般選擇r=(0.1～0.25)Std(data)，其中Std(data)表示數據data的標準差。現采用r=0.15Std(data)。

1.3 SVM

支持向量機[13](support vector machine,SVM)是由蘇聯教授Vapnik等于1995年提出的，基于VC維理論和統計學習理論的結構，根據風險最低的原則，可以使用有限樣本提供的信息來找到模型的復雜性與學習獲得最佳泛化能力之間的最佳折中。

對于線性可分離性，支持向量機的分類算法從最佳分類面擴展而來的，原空間不可分的樣本通過核函數映射到一個高維空間，從而可以在新的線性可分離空間內線性分離或者近似線性分離，在此空間中創建具有最大分類間隙的線性分類超平面，以對數據進行分類識別。如圖2所示，圖中圓圈和三角形分別代表兩類不同的訓練樣本C1、C2。兩條實線代表把兩類樣本正確分開的分類面，包括超平面P1以及最優超平面P0。兩條虛線是每種類型樣本最靠近超平面的點，且平行于最佳超平面P0。虛線之間的距離稱為分類間隙D，沿虛線通過的點稱為支持向量。最佳超平面不僅可以正確區分樣本，而且可以最大程度地提高分類間隙D。較大的分類間隙實際上保證了最低的風險。

圖2 支持向量機SVM示意圖Fig.2 Support vector machine schematic

給定樣本集{xi,yi|i=1,2,…,m}，其中xi∈Rn表示輸入矢量樣本，yi∈{-1,1} 表示對應的類別符號，m為樣本數，分類面方程wx+b=0 滿足：

yi(wxi+b)-1≥0;i=1,2,…,l

(11)

式(11)中：w為樣本的參數矩陣；b為類閾值。這樣分類間隔D=2/‖w‖，因此使得D最大，等價于‖w‖最小，滿足式(11)使‖w‖最小的分類面就是最優分類面，將上述問題表示為

i=1,2,…,l

(12)

定義拉格朗日函數：

(13)

式(13)中：ai≥0為拉格朗日乘子，可以將上述問題轉化為對偶問題：

(14)

式(14)是一個二次規劃問題，存在唯一解，且解中只有少部分ai不為零，其對應的樣本就是支持向量。最終得到的最優分類函數為

(15)

式(15)中：n＜l是支持向量個數；xi是支持向量；ai是對應的拉格朗日乘子；b是分類閾值，可用兩類中任意一對支持向量取中值求得。

2 數值仿真分析

2.1 損傷定位識別分析

以一個4層的平面鋼框架結構為例，每層高度280 mm，跨度280 mm，框架結構的梁和柱為長280 mm、寬30 mm、厚8 mm的鋼板條，梁、柱之間連接的結點假設為剛結點。材料彈性模量E=2.1×105N/mm2，泊松比ν=0.3，密度ρ=7.85×10-6kg/mm3。鋼架結構模型簡圖如圖3所示，結構測點和單元編號如圖4所示。

假設鋼框架結構發生損傷，對其進行損傷位置識別。結構的損傷假設不改變損傷單元的質量，只改變損傷單元的剛度，通過剛度折減系數k來表示損傷程度，k取0～1。當k=0時，表示結構為完好狀態；當k=1時，表示結構為完全損傷狀態。本節采用的剛度折減系數為0.2，分為單損傷和多損傷兩種工況進行分析驗證，具體的損傷工況如表1所示。

圖3 鋼框架結構模型及簡圖Fig.3 Steel frame structure model and diagram

1～10代表結構測點編號；①～代表單元編號圖4 結構測點和單元編號Fig.4 Structural points and element numbers

表1 損傷工況Table 1 Damage condition

在MATLAB中對四層鋼框架結構進行動力響應有限元分析，在2號測點施加沖擊荷載，力的大小范圍240～270 N，共施加16次不同的沖擊荷載，在6號測點采集加速度響應，采樣頻率為1 000 Hz。沖擊荷載240 N的時程圖如圖5 所示。

如圖6所示，給出第10單元損傷情況下，測點6的加速度相應信號及小波包分解過程。采用Daubechies(db5)小波函數進行3層分解，得到第3層的分解信號共8個節點，對每一個節點的信號計算樣本熵，得到如表2所示的樣本熵特征值，選擇顯示前0.2 s的響應信號。

圖5 沖擊荷載Fig.5 Impact load

圖6 小波包分解信號Fig.6 Wavelet packet decomposition signal

如表1所示的損傷工況，對每一種損傷工況下，施加不同沖擊荷載，得到16組加速度響應，對每一組進行小波包3層分解，計算每一節點信號的樣本熵特征向量，作為SVM機器學習的數據樣本集。隨機抽取10組樣本熵特征向量，作為支持向量機的訓練集，構建SVM模型，其他6組作為支持向量機的測試集，預測結構損傷情況。識別結果如圖7所示。

表2 樣本熵值Table 2 The sample entropy

如圖7所示，橫坐標表示測試集的數據編號，每組有6個樣本熵值，代表一種損傷工況；縱坐標則表示對應的損傷工況標簽。圓圈符號與星號分別代表損傷的實際工況與預測工況，當兩者重疊，說明識別準確。SVM的分析結果可見，當鋼框架結構發生單一損傷、多損傷時，識別正確率都能達到100%。基于樣本熵和SVM的定位識別達到了較好的效果。

2.2 損傷程度分析

確定了損傷位置后，需要對其損傷程度作進一步的評估。本節假設損傷工況為第10單元損傷，對不同的損傷程度進行分析，損傷程度k取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5。如圖8所示，隨著損傷程度的增大，其加速度響應的幅值逐漸減小，而且信號的周期會隨之增大，即頻率減小。如圖9所示，縱坐標為五種損傷程度，橫坐標為測試集編號，可見識別結果精確度為100%。

圖8 不同損傷程度采集的加速度信號Fig.8 Acceleration signals collected at different damage degrees

圖9 不同損傷程度的識別結果Fig.9 Identification results of different damage degrees

2.3 魯棒性分析

為模擬實測時噪聲的影響，需要對數值模擬得到的加速度、速度、應變、位移等結構響應或者動力響應中加入不同程度的噪聲[14]。測試噪聲主要由環境激勵、傳感器本身和測量儀器產生[15]。假設噪聲為高斯白噪聲[16]，數值模擬中按照式(16)在各測點加入高斯白噪聲。

xa,n=xa+(xa)maxRns

(16)

式(16)中：xa為無噪聲測點a加速度響應；xa,n為有噪聲測點a加速度響應；R為隨機添加的均值為0、方差為1的數列，模擬測試時的高斯白噪聲；ns為人工控制的噪聲程度，加入噪聲的標準差為該測點加速度幅值最大值的ns倍。

按式(17)計算該測點加速度信號的信噪比：

(17)

式(17)中：yai為側點a第i時間的加速度值；σai為側點a第i時間點的噪聲值；m為時間點數。通過計算信噪比SNR與ns之間的對應關系如圖10所示。

由圖10曲線可知，SNR隨ns的增大而減小，并且在ns=0.243時信噪比為0，說明此時噪聲的能量與原始信號的能量相同，導致振動加速度響應的波動性更強，同時掩蓋了損傷信號的信息，影響結構的損傷識別效果。加入0 dB的信號對比如圖11所示。

為了驗證加入信噪比后，該方法的識別精度，在第10號單元損傷時的原始信號中加入信噪比為80、60、40、20 dB的噪聲進行分析，其結果如表3、表4所示。表3的損傷位置識別結果表明，60 dB以上信噪比，識別精度在98%以上。表4的損傷程度結果表明，40 dB以上信噪比，識別精度在93%以上。為得到較好精度，選取信噪比高于60 dB的試驗環境中，進行實際測試，以保證較好的識別精度。

圖10 SNR與ns的關系Fig.10 Relationship between SNR and ns

圖11 原始信號與加噪信號對比Fig.11 Comparison of original signal and noise signal

表3 損傷位置識別結果Table 3 Location identification results

表4 損傷程度識別結果Table 4 Damage degree identification results

3 試驗模型驗證

為了進一步驗證在實際工程結構的適用性，在實驗室搭建了6層框架模型，如圖12所示。框架總高度1.8 m，每層高度0.25 m，梁的長度0.35 m，該框架結構構件采用的鋼材型號Q235，其密度7 850 kg/m3，彈性模量為E=2.1×1011Pa，泊松比0.3。

實驗結構的損傷方法如下：減小桿件厚度以模擬結構損傷。考慮結構可能的損傷情況，設計拆卸方便的梁、柱損傷工況(表5)：①按照框架的損傷位置分為單一單元損傷和多單元損傷；②按照桿件類型可分為柱損傷和梁損傷；③實驗中未考慮單元損傷程度的識別。

實驗過程中，將橫截面尺寸為30 mm×8 mm的桿件作為未損傷，將橫截面尺寸為30 mm×6 mm作為損傷桿件，厚度變小導致單元的剛度減小，即表示單元損傷。未損傷及損傷的梁、柱桿件如圖13所示。模擬損傷工況過程中，需要對模型的構件進行更換，所以更換構件的節點處采用螺栓固定，忽略螺栓連接對整體剛度的影響。

1～14代表結構測點編號；(1)～(18)代表單元編號圖12 6層框架試驗模型Fig.12 Six-layer frame experimental model

表5 損傷工況Table 5 Damage condition

圖13 損傷桿件示意圖Fig.13 Schematic diagram of damaged bar

力錘在12號節點施加水平方向的沖擊力，采集8號節點水平方向加速度信號。根據支持向量機對數據集的要求，以及試驗誤差的影響，每一個工況先后施加20次沖擊荷載，采集20組不同荷載下的水平加速度響應信號，其中14組數據作為支持向量機的訓練集，用于形成SVM模型，6組數據作為測試集，基于SVM模型進行預測，實現識別的功能。

以第(15)號梁單元單一損傷為例，通過力錘施加激勵，施加峰值為120 N的沖擊荷載后，采集到的加速度響應信號如圖14所示。由于噪聲的影響，導致時域信號的復雜度增大，對所有工況的識別效果會產生一定的影響，單一損傷和多損傷工況的識別結果如圖15所示。單一損傷的識別正確率為83.3%，多損傷的識別正確率為70.8%。在有限的試驗條件下，實現了較好的識別效果。

從單一損傷的識別結果中可以得出，縱坐標標簽為2、3的數據分別代表第(3)、(10)柱單元損傷的識別結果，基本能夠全部識別，縱坐標標簽為4的數據代表第(15)梁單元損傷的識別結果，6個測試數據中只有3個能夠識別準確，準確率僅有50%，表明了柱單元的損傷識別準確率高于梁單元。

對于桿件而言，厚度的減小，對彎曲剛度(EI)的影響比對軸向剛度(EA)的影響大。對于本試驗設計的結構而言，水平響應主要取決于梁單元的軸向剛度和柱單元的彎曲剛度。因此，在不考慮數據規模的因素的情況下，梁單元的損傷對結構響應的影響比柱單元的損傷要小，在識別梁單元的過程可能會出現偏差，所以導致梁單元的損傷工況比柱單元的損傷工況識別準確率低。

同時，從數值分析中可以得出噪聲會降低識別的準確率這一結論，然而對于試驗模型來說，噪聲的影響無法避免，因此在后面的研究過程中，可以進一步從降噪算法方面改善此方法的應用。

圖14 加速度響應信號Fig.14 Acceleration response signal

圖15 實驗損傷工況識別結果Fig.15 Experimental damage condition identification results

4 結論

(1)結合小波包樣本熵和支持向量機的識別方法，利用框架結構上某一個測點的振動加速度響應識別整體結構的損傷狀態，達到了較好的識別效果。此方法減少了傳感器的數量，大大提高了識別效率。

(2)利用小波包樣本熵作為損傷指標，不僅可以實現損傷位置的識別，也可以進一步對其損傷程度進行識別。損傷定位識別，需要實測信號的信噪比在60 dB以上，對不同程度的損傷識別，則需要實測信號的信噪比在40 dB以上，以保證識別的結果在90%以上。

(3)試驗模型識別結果可知，框架結構中，柱的識別精度大于梁的識別精度，進一步將研究如何降噪、減少梁識別誤差、以及開展損傷程度的識別研究工作。