基于張量積壓縮感知的高效安全的影像傳輸

王成宇 ,陳自剛 ,李書芳 ,王怡寧

（1.北京郵電大學信息與通信工程學院，先進信息網絡北京實驗室，網絡體系構建與融合北京市重點實驗室，北京 100876；2.重慶郵電大學信息與通信工程學院，重慶 400065;3.中國醫學科學院北京協和醫院放射科，疑難重癥及罕見病國家重點實驗室，北京 100730）

1 引言

隨著網絡帶寬的增大，醫學影像通過互聯網進行傳輸的需求增大，同時面臨保證數據傳輸的安全性以及完整性的挑戰。壓縮感知技術是一種兼具壓縮與加密特性的技術，與云存儲以及大數據計算平臺已成為醫院網絡架構場景中的熱點話題[1]。

解決醫學圖像的存儲空間占用問題以及傳輸安全面對挑戰。首先，圖像的信息安全應該得到保障。為滿足衛星圖像傳輸安全，提出基于替換圖像像素并通過密碼學改變圖像像素分布的方案[2]。通過共享秘密圖像以及密鑰保護的方案，能夠達到隱藏彩色圖像信息的效果[3]。基于SSH協議與密鑰加密技術開發出醫學圖像傳輸的應用軟件[4]。

圖像的傳輸速度也是一個值得關注的話題。基于壓縮感知技術提出一種端到端的圖像壓縮系統，融合了圖像重建、量化以及熵編碼等技術，加快醫療系統中的圖像傳輸速度[5]。通過允許快速訪問大量醫學圖像數據的框架，通過在線網頁客戶端進行圖像展示實現數據的實時交互[6]。

海量的醫學圖像的存儲占用巨大的空間，解決空間占用問題具有一定的挑戰。提出區塊鏈的醫療數據管理以及云上存儲的模式[7]，為解決海量醫學圖像的存儲提供了新的思路。通過私有云對圖像進行加密以及解密，公有云對圖像進行存儲的模式[8]，不僅可以解決圖像的存儲問題還可以為圖像信息安全提供保障。基于云存儲提出一種可擴展傳輸速度更快的系統，可以實現圖像的存儲以及檢索等操作[9]。

然而，大多數上述的工作僅致力于解決當前面臨的三個問題中的一個或者兩個。我們提出基于壓縮感知技術、混沌系統以及云上存儲的方式實現醫學影像的傳輸系統。此系統可以加快云端圖像的上傳以及下載速度，同時由混沌系統實現的雙重加密可以保障云端數據的安全性。基于新型的張量積壓縮感知模型，使用張量積的方式生成高維矩陣，同時采用迭代加權最小二乘（Itera‐tive weighted least squares，IRLS）算法對圖像進行還原重建能夠保證對壓縮圖像的高精度重建。為確保圖像信息的安全性，使用雙重Chen-chaotic 系統分別對壓縮圖像進行空間置亂以及像素值加密，具備密鑰空間大、密鑰高敏感度的特點，能夠保障信息安全性。

2 相關工作

2.1 傳統感知模型

傳統壓縮感知模型基于欠定性方程的一種特殊情況

等式(1)表示原始信號x∈Rn經過非線性采樣壓縮為y∈Rm且m

其中Ψ為正交稀疏基，Ψ∈Rm×n，最常用的正交稀疏基為離散小波變換(Discrete Wavelet Transform,DWT)基與離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)基。由等式(1)與(2)可以得到壓縮感知模型的最終模型表達式

有限等距原則(Restricted Isometry Property,RIP)能夠保證信號的重建能夠保證唯一且準確[10]。Spark常數可以衡量測量矩陣內的列的線性相關性，保證信號的采樣能夠準確唯一的還原。Coherence常數衡量θ內向量的最大內積，反映兩個列向量的相似性。基于以上三個性質，能夠保證信號能夠唯一且準確的還原重建。

2.2 分塊壓縮感知模型

分塊壓縮感知模型，基于將原始圖像分成大小相同的子圖像的思想達到降低計算復雜度的效果[11]

其中Xi表示子圖像塊，設原始圖像大小為q×s，被分為N個子圖像快，由于每一塊子圖像使用相同的測量矩陣進行采樣，因此可以達到降低測量矩陣存儲空間的效果。分塊壓縮感知模型框架為

對于原始圖像測量矩陣可以表示為

分塊壓縮感知模型的提出能夠在圖像未完全呈現時就可以將圖像進行壓縮，適用于衛星圖像以及遙感圖像領域的應用。

3 提出的醫學影像傳輸系統

提出的醫學影像傳輸系統由三部分組成，包括負責圖像壓縮的壓縮感知模塊、圖像加密模塊以及圖像解密重建模塊。

3.1 張量積壓縮感知模型

傳統的壓縮感知模型[12,13]中，測量矩陣必須與圖像矩陣的維度匹配才可以進行矩陣的乘法運算。張量積壓縮感知模型中，設圖像矩陣表示為X∈Rq×q，離散小波變換（a discrete wavelet transform，DWT）基是一個正交稀疏基表示為Ψ∈Rq×q，則圖像矩陣的稀疏域轉換過程表示為

其中，S∈Rq×q表示X的稀疏域。

提出的壓縮感知技術的關鍵不同在于構造測量矩陣的方式。提出的壓縮感知的框架可以表示為:

其中?表示Kronecker product。設有矩陣Φ ∈Rm×n，P∈Rt×t，m

于是，(Φ?P) ∈R(m×t)×(n×t)并且，我們稱為壓縮率，將q/n稱為矩陣的放大系數。

在P 張量積壓縮感知中，矩陣Φ是一個隨機矩陣，例如Gaussian 矩陣、Bernoulli 矩陣、Chaotic 矩陣。而矩陣P 可以是一個單位矩陣也可以是一個隨機矩陣。在本實驗中矩陣Φ與矩陣P都使用Chaotic矩陣。

3.2 加密算法

在加密模塊中，矩陣Φ是由第一個Logistic-chaot‐ic系統生成，系統參數為(Φμ,Φx0,Φd)，矩陣P由另一個Logistic-chaotic系統生成，系統參數為(Pμ,Px0,Pd)。Logistic-chaotic 系統中的控制參數μ∈( 3.569 946,4)，初始值x0∈(0,1),采樣距離d∈(15,+∞)。兩個系統的系統參數是我們加密系統中的密鑰的一部分。基于共享密鑰的加密方式與壓縮感知的方式結合可以提供具備安全性與魯棒性的加密算法。

圖像矩陣X∈Rq×q經過壓縮采樣后得到觀測矩陣。將壓縮后的圖像矩陣進行量化處理，將矩陣Y 中的元素的數值值域轉換至[ 0,2α-1 ]，可以表示為

其中，α為正整數，Ymax為矩陣Y 中的最大元素的值，Ymin為矩陣中的最小值。

對于量化后的圖像矩陣使用Chen-chaotic系統進行雙重加密，系統中的參數為，i=1,2。其中為采樣距離，其它參數為系統的初始值并且取值范圍都為(0,1)。使用Ai∈表示Chenchaotic系統生成的混沌矩陣，

其中Si為得到的混沌序列，將第一個Chen-chaot‐ic系統產生的混沌序列使用C表示，對C1進行排序后的序列使用C1_SORT表示，空間置亂加密算法如下算法1所示：

算法1 第一步加密算法偽代碼描述

將第二個Chen-chaotic 系統產生的序列使用C2表示，生成過程為

將混沌序列C2轉化為維數為×q的矩陣，表示為C2m。第二次的加密方式為對圖像矩陣進行像素值加密，描述為

其中，β∈(0,1),N2m∈。

描述中，將生成測量矩陣的過程也看作為加密的原因是壓縮感知中的圖像壓縮過程本質上也是改變圖像的像素值，而且基于這種方式可以很好的將壓縮感知的加密特性進行量化評估。同時基于Chen-cha‐otic混沌系統的加密方式屬于無損加密。

3.3 解密與圖像的還原重建

圖像的解密過程就是加密過程的逆過程，根據得到的正確的密鑰構造Chen-chaotic 序列C1與C2，接收到的圖像矩陣設為N2m_r∈，則解密過程為

則N1d為第二次加密的解密結果。

第一步加密的解密過程實質上為將圖像矩陣中的像素值的位置進行還原，即為空間置亂的逆過程，解密算法如算法2。

算法2 第一步加密的解密算法偽代碼描述

加密圖片完成解密之后，進行量化過程的逆過程觀測矩陣即壓縮后的圖像矩陣使用Yr表示，描述為

最后，對觀測矩陣進行還原重建得到相對精確的圖像矩陣。還原算法為IRLS 算法，由于矩陣的還原算法為逐列進行還原，因此IRLS 對每一列的還原過程使用偽代碼的形式進行描述，如算法3

算法3 IRLS算法偽代碼描述

因為原始圖像在進行壓縮之前進行了稀疏域轉換，因此觀測矩陣的每一列符合x∈∑k的稀疏原則，因此圖像能夠被成功且精確的還原重建。

4 實驗及結果分析

在本章節中，我們對提出的壓縮感知模型以及加密算法進行實驗檢測。詳細對比與其它壓縮感知模型下在測量矩陣方面的優勢，并且找到與提出的壓縮感知模型相匹配的還原重建算法，最后檢驗加密算法的性能。

4.1 生成測量矩陣的效率以及空間占用對比

由于測量矩陣需要與圖像的維數相匹配，當面臨壓縮感知的圖像維數較大時，會造成測量矩陣的空間占用過大的問題。而我們提出的P 張量積壓縮感知模型與傳統的壓縮感知模型以及分塊壓縮感知模型（Block Compressing Sensing，BCS）構造測量矩陣的方式不同。由于P 張量積壓縮感知模型與半張量積壓縮感知模型構造測量矩陣的方式相同，因此在測量矩陣生成時間以及空間占用方面的表現相同。

采用不同的壓縮感知模型對尺寸為1000 × 1000的圖像進行壓縮，圖像壓縮率ratio。傳統壓縮感知模式下測量矩陣內的元素個數為1000 × 1000 ×ratio；分塊壓縮感知模型下，設將圖像分為Nb塊，則測量矩陣內的元素個數為×ratio；在P張量積壓縮感知模型下，設測量矩陣的維度放大系數為NP，則測量矩陣內的元素個數為×ratio。在不同的壓縮率下各個壓縮感知模型構造測量矩陣時矩陣內的元素的個數如表1，表格中元素數值的量級為105。

表1 不同壓縮感知模型下的測量矩陣所需元素個數

從表1可以看出分塊壓縮感知模型與P張量壓縮感知模型都比傳統的壓縮感知模型需要更少的矩陣元素，同時由于在分塊壓縮感知模式下如果圖像分塊數量較大，造成每一塊圖像維數過小，使得圖像還原重建效果不理想。因此，P 張量積壓縮感知模型構造的測量矩陣能夠在保證圖像還原重建效果的前提下降低測量矩陣的空間占用。

P 張量積壓縮感知模型下，不同壓縮率下圖像還原重建效果，如圖1，其中第一行為原始高分辨率圖像，從第二列至最后一列分別為0.75、0.50、0.25 的壓縮率下的還原重建圖像及其對應的峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）

圖1 P張量壓縮感知對三張醫學圖像進行壓縮的還原重建效果

由于Chaotic 測量矩陣是通過在混沌序列中進行等間距采樣的方式構造的，同時采樣間距d必須滿足d≥15 的條件才能夠保證矩陣內的元素相關性足夠低，通常d的設置為1000，從而造成生成測量矩陣的過程中需要生成長度很大的混沌序列，造成Chaotic測量矩陣的生成速度較慢且占用空間較大，應用的廣泛性受到限制。表2 中為對尺寸為512 × 512 的圖片進行采樣壓縮，構造測量Chaotic 矩陣所需要的時間，隨著矩陣的放大系數的增大所需時間大幅下降（單位：毫秒）。

表2 不同壓縮感知模型下的測量矩陣所需元素個數

P 張量積壓縮感知模型下，不僅能夠降低生成測量矩陣的空間占用同時能夠降低測量矩陣的生成時間。

4.2 測量矩陣性能對比

在P 張量積壓縮感知模型下，通過設置不同的矩陣放大系數分別為1、2、4、8、16，對尺寸為512×512 的圖像進行采樣壓縮，以及還原重建，如圖2 所示。不同的測量矩陣在P 張量積壓縮感知模型下的表現，特別地，當q/n=1 時，為傳統壓縮感知模型下的測量矩陣表現，P 張量積壓縮感知模型下能夠保證測量矩陣的性能的前提下降低存儲空間占用。

圖2 P張量積壓縮感知模型下測量矩陣性能對比

4.3 重建算法對比

使用IRLS 算法以及正交匹配追蹤(Orthogo‐nal Matching Pursuit,OMP)算法，測量矩陣為chaot‐ic 矩陣，進行10 次重復實驗。可以看出在傳統壓縮感知模型下IRLS 算法與OMP 算法的表現幾乎相同，但是在P 張量積壓縮感知模型下，IRLS 算法的優勢逐漸明顯。同時隨著矩陣的放大系數還原重建的穩定性降低，這是由于測量矩陣的維數降低，測量矩陣性能受到影響。IRLS 算法與P張量積壓縮感知模型更為契合。如表4 中圖像還原重建的PSNR 值。

表3 不同壓縮感知模型下的測量矩陣所需元素個數

表4 圖2中圖像的數據結果（單位：dB）

4.4 加密算法性能

加密算法由兩部分組成，包括Chen-chaotic 系統和生成chaotic 測量矩陣的Logistic-chaotic 系統，=1,2，為加密系統密鑰的組成。的密鑰空間以及密鑰敏感性相同，設密鑰空間為S1，(Φμ,Φx0,Pμ,Px0)的 密鑰空間為S2，Φd與Pd的取值空間為[ 15,S3]，Pd的取值范圍為[ 1,S4]，經過混沌序列誤差實驗

得到加密算法的密鑰空間為

其中S1為16，密鑰敏感性為10-16，同理S2為15，取S3為1000，S4為100，故加密算法的密鑰空間為10200。足夠抵抗暴力破解的攻擊，保證信息安全性。圖3 為分別對每一個密鑰進行敏感度實驗，測試每一個密鑰在錯誤為1 個敏感度時的解密效果。

從實驗結果中可以看出加密算法能夠抵抗暴力破解，同時具備密鑰高敏感性、密鑰空間大的特點。初次之外，我們還進行了關于圖像的信息熵的實驗，加密圖像的信息熵可以達到7 左右，同時分析加密圖像的像素相關性發現加密算法性表現良好，原始圖像各個像素相關性為1 左右，加密后的圖像的像素相關性為0 左右。同時由于加密系統中考慮到了圖像像素值篡改的問題，將密鑰的組成部分與圖像的像素值相關聯，達到了防止篡改的目的。

5 結論與展望

本文提出的基于P 張量積的壓縮感知的醫學影像傳輸系統，能夠降低存儲空間占用保護圖像信息內容的安全，縮短測量矩陣生成時間加快壓縮過程。實驗結果表明，提出的壓縮感知模型具備高效性以及穩定性。提出的加密算法在密鑰空間上表現突出，密鑰具備高靈敏度。