高等數(shù)學(xué)教學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

王秀紅，李美鳳

(天津商業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300134)

1 引言

轉(zhuǎn)化思想是分析問題和解決問題常用的一種重要數(shù)學(xué)思想，具體是指在處理問題時，將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，化歸為已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題，最終求得原問題的解[1]。

在高等數(shù)學(xué)中，有很多內(nèi)容都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。下面從幾個方面對轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用進(jìn)行舉例探析。

2 復(fù)雜化簡單

在求函數(shù)極限時，用無窮小量代換極限式中的函數(shù)表達(dá)式是簡化極限計(jì)算過程的一種方法。

3 特殊化基本

(3)1∞,00,∞0這三類未定式，由于都來源于冪指函數(shù)u(x)v(x)的極限，所以均可以通過恒等變形：

u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)

4 未知化已知

基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ)，而僅僅靠基本積分公式和不定積分的性質(zhì)來解決不定積分的計(jì)算問題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要更有效的積分方法。換元積分法就是在積分過程中通過轉(zhuǎn)化思想引入新變量，來簡化積分計(jì)算的一種積分方法[2]。

解：為了將被積函數(shù)中的根號去掉，

圖1 三角形的邊角關(guān)系

5 數(shù)化形

根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

例4 方程x2+y2+z2-2x+6y-4z=0表示什么曲面？并判斷點(diǎn)P(1,1,1)與此曲面的位置關(guān)系。

解:將方程配方變形為:

(x-1)2+(y+3)2+(z-2)2=14

(1-1)2+(1+3)2+(1-2)2=17>14

所以點(diǎn)P(1,1,1)在球面外。

6 高維化低維

利用二重積分的定義計(jì)算二重積分難度很大，因此需要尋求一些更為有效的計(jì)算方法。實(shí)際上，可利用降維的思想加以研究，即：將二維平面上的二重積分化為兩個一維區(qū)間上的定積分(即累次積分)，利用定積分來計(jì)算。

解：積分區(qū)域D(圖2)表示如下:

圖2 積分區(qū)域D

=-(-1)+1-1=1

7 直接化間接

把一個已知函數(shù)展開為冪級數(shù)，固然可以應(yīng)用直接展開法．但更多的情況是根據(jù)函數(shù)冪級數(shù)展開式的唯一性，借助已知函數(shù)的泰勒展開式，通過變量代換、四則運(yùn)算、恒等變形、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化思想，利用間接展開法來求另一些函數(shù)的冪級數(shù)展開式．當(dāng)然，使用間接展開法需要熟悉一些常用的冪級數(shù)展開式。

8 常量化變量

常數(shù)變易法是求解一階線性非齊次常微分方程的重要方法，即將常數(shù)變易為待定函數(shù)，通過求解待定函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)而求出原方程的通解。

解:此方程為一階線性非齊次微分方程。首先，求出一階線性齊次微分方程

的通解為y=Cx2

其次，利用常數(shù)變易法求一階線性非齊次微分方程的通解。將常數(shù)C變易為待定函數(shù)C(x)，即令

y=C(x)x2，將其帶入原方程后可以得到

從而，原方程的通解為：

9 結(jié)語

轉(zhuǎn)化思想就像一把神奇的金鑰匙，對解放思想，開闊思路，解決某些難題，開創(chuàng)新的方向，起到了積極的作用[3]。 整個高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用層出不窮，需要不斷鞏固知識，發(fā)現(xiàn)總結(jié)才能正確利用轉(zhuǎn)化思想。因此，在教學(xué)過程中應(yīng)注重滲透這種思想方法，重視培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。