基于卡爾曼濾波算法的加速度反饋控制在航空光電穩定平臺中的應用

王正璽，賀柏根，朱小偉

(中國船舶集團有限公司 第716研究所，江蘇 連云港 222061)

0 引言

航空光電穩定平臺又稱慣性穩定平臺，主要通過陀螺等反饋信息來隔絕飛機等載體的擾動，以保證平臺內部探測器(可見光或紅外)的視軸穩定地指向目標[1-4]。如何在受到載機及外界各種擾動力矩影響情況下保證平臺對地面目標的高精度視軸指向，成為近年來該領域研究人員重點關注的問題[5-7]。傳統的單速度環反饋控制系統是基于經典控制理論的比例、積分、微分(PID)控制策略對系統進行調節的。基于該理論的控制器結構簡單、設計方便[8-9]，但通常情況下，為了盡可能降低外界擾動對轉臺伺服系統的影響，需要提高速度環增益來提高系統力矩剛度，進而提高伺服系統的擾動抑制能力。但速度環增益的提高會增大系統帶寬，降低系統的穩定性。傳統控制方案沒有加速度環，只對速度環進行調控，相當于對加速度的積分進行處理。在速度反饋環節進行閉環補償實際上補償的是擾動力矩對轉動速度產生的影響，并不是直接對擾動力矩進行補償，因此該補償方案對力矩擾動的抑制在時間上會有一定滯后，同時還會帶來系統噪聲積累等其他問題。

從物理學角度，根據力矩和加速度的關系可知，當平臺各部件確定后其質量是一定的，力矩與加速度是線性關系，因此加速度反饋控制方案是一種從力矩層面對外界擾動進行抑制，近年來國內外相關領域專家對此都進行了不同程度的研究[10-15]。國外學者Gribanov等[10]利用觀測器獲得系統加速度信號，并通過引入加速度環在提高系統剛度上取得了良好效果。該方法采用的觀測器應用于特定控制對象的伺服系統，其控制對象機械結構相對于航空光電穩定平臺而言較簡單，工作環境較好，控制對象準確模型易于建立，對于不同的控制對象通用性相對較差。文獻[12]指出高增益的加速度反饋對干擾力矩的消除是非常有效的。國內相關學者在加速度反饋控制領域也進行了相應研究[13]，Han等[11]將加速度反饋應用于機器人動力學解耦、擾動抑制、改善跟蹤精度，取得了很好的效果。根據以上研究成果可知，在航空光電穩定平臺的伺服控制系統中引入加速度反饋以提高慣性穩定能力，將是一項非常有意義的工作，這主要是因為加速度傳感器也是一種慣性傳感器，具有陀螺對慣性空間運動測量的特性。盡管已經有相關的工作開展，但是采用哪種合適的控制策略，以及從頻率上直觀地分析加速度反饋的作用，還需要進一步展開。

要想在實際伺服控制系統中應用加速度環，必須采用合理的方法獲取平臺加速度信號。對速度信號進行微分運算通常具有放大噪聲和誤差的效果，加入濾波器進行濾波去噪又會不可避免地引入相位延遲，從而降低閉環系統的實時性，因此實驗效果不是很理想。實際上，要獲得高精度的加速度信號，最理想的方式是直接在伺服系統中安裝高精度加速度傳感器來測量加速度信號[16]。文獻[17]通過在慣性穩定平臺的伺服系統中加入速度計實現了加速度閉環控制，并大幅度提高了其伺服系統的擾動抑制能力。但是航空光電穩定平臺需要的高精度角加速度傳感器通常造價昂貴，線性加速度計理論上可以替代角加速度計，而且價格便宜，但測量精度不高，通常還需要合理的安裝并進行數值轉換才能得到慣性平臺的實際加速度。甚至在一些特殊應用場合，加速度傳感器的安裝條件是無法滿足的。另外,采用加速度計還需要考慮解耦計算問題。因此，綜合來看，通過設計加速度觀測器是一種經濟合理的獲取系統加速度信號的方式。

本文結合卡爾曼濾波算法的特點，提出將卡爾曼濾波算法引入光電平臺的加速度反饋控制系統。通過卡爾曼濾波器一方面對光電平臺系統的速度信號進行濾波去噪，提高速度環的響應特性，另一方面產生加速度的估計值作為加速度環的反饋值。理論、仿真和實驗結果表明，該方案能夠有效改善系統的速度跟蹤誤差和響應精度。

1 被控對象模型分析

由電機驅動的光電轉臺電回路方程[18]為

(1)

電機力矩方程式為

(2)

(3)

通常f值很小，一般情況下可以忽略不計。代入f=0，則由(1)式～(3)式可得被控對象原理框圖如圖1所示。圖1中，s表示微分的傳遞函數。

圖1 被控系統框圖

則系統由輸入u到輸出的傳遞函數為

(4)

式中：Θ(s)為輸出角度的頻域函數；U(s)為輸入頻域函數。

(5)

2 傳統控制方案對擾動抑制能力分析

圖2 傳統速度閉環控制框圖

則可得系統的動態力矩剛度傳遞函數如下：

(6)

式中：Js2表示被控對象自身慣量的抗擾性能；CvGps表示反饋控制器的抗擾性能。由(6)式可以看出，系統的動態力矩剛度值只受到速度控制器Cv的控制，因此要改善系統擾動抑制性能就必須提高Cv增益。然而這樣會給系統帶來不穩定性因素，因為控制器增益提高容易提高系統帶寬，使系統對噪聲的敏感度增加，最終造成控制系統的不穩定問題。

以上負反饋控制策略的本質是基于誤差消除誤差，這是一種非實時控制策略。控制器對速度的調節總是滯后于擾動力矩對系統的影響，只有當被控量發生偏差時控制器才開始作用于系統，這樣控制信號輸出與控制信號產生作用就會存在一定的相位延遲，在高頻跟蹤情況下，相頻衰減較大，跟蹤誤差也較大，不利于實時控制。

3 加速度反饋控制對擾動抑制能力分析

帶加速度反饋的控制系統原理圖如圖3所示。圖3中，Ca為加速度環控制器，對加速度a進行閉環控制，ar表示指令給定的加速度。

圖3 帶加速度反饋的控制系統框圖

加速度反饋控制方案對傳統伺服系統控制性能的改善主要體現在降低外界干擾力矩對伺服控制系統的影響，提高擾動抑制的實時性。該控制方案的基本原理如下：

由于系統機械阻尼很小，可忽略，則伺服電機輸出轉矩T與外界各項擾動力矩總和Td滿足如下方程：

(7)

式中：J包括系統自身轉動慣量Jm和外界擾動轉動慣量Jl，即J=Jm+Jl.

為了討論方便，將加速度環控制器設計為比例控制，比例增益為Ka，則有

T=KaGp(ar-a).

(8)

由(7)式和(8)式可得

(9)

由(9)式可知，當控制器Ka滿足KaGp?max(Td,Jl)時，有

(10)

由上述推導可知，當速度環內部引入加速度環后，只要其控制器比例增益足夠大，則系統擾動力矩Td以及擾動慣量Jl對系統速度環的影響可以忽略。另外，由于擾動抑制是在力矩層面進行的，相比于傳統從速度環路抑制擾動力矩，該方案實時性更好。

4 基于卡爾曼濾波的加速度估計

通過第3節加速度反饋控制的相關理論可知，加速度反饋方案實現的前提是能為控制系統提供所需的加速度信息。加速度信號通常可以從位置傳感器或速度傳感器輸出的信號經過差分獲得。但是，差分過程會帶來信號噪聲放大的問題。解決該問題的方法，實際工程上通常是將差分后的信號通過濾波器進行濾波去噪，選用的濾波器也通常是常見的巴特沃斯濾波器。該方法的缺陷是濾波結果存在相位延遲，不利于加速度反饋控制的實現。因此，先差分后濾波獲得加速度信號方法的實際工程應用效果并不理想。

通過預測獲取伺服系統的加速度信號可以有效降低加速度信號的相位延遲，同時也被認為是將加速度反饋控制理論應用在實際控制系統中的一個重要手段[19]。

4.1 卡爾曼濾波算法介紹

卡爾曼濾波算法于1960年由卡爾曼提出，其估計準則與維納濾波算法相同，不同的是卡爾曼濾波算法是利用狀態空間法的基本原理來描述被控系統，并建立被控系統的狀態空間方程，基本算法實現過程采用的是遞推形式，解算時不必占用大量存儲空間，具有良好的實時性，利于計算機處理。近年來,卡爾曼濾波算法也因其在濾波和預測功能上的表現效果理想而被廣泛用于對加速度信號的估計。

設系統狀態方程和量測方程表示為

(11)

式中：X(k)為狀態向量；U(k)為輸入向量；y(k)為輸出想象力；A為系統轉移矩陣；B為系統輸入矩陣，表示系統輸入控制量對狀態的改變作用；C為系統輸出矩陣；L為輸入隨機擾動矩陣；v(k)、n(k)分別為過程噪聲和測量噪聲，v(k)由實際系統中擾動力矩形式和大小決定，n(k)由傳感器噪聲水平決定，且有

(12)

V和R分別為過程噪聲和測量噪聲的協方差。

卡爾曼濾波器由預測、修正2個步驟組成。

步驟1卡爾曼濾波預測。卡爾曼濾波的預測部分包括：

(13)

(14)

(15)

步驟2卡爾曼濾波的修正。卡爾曼濾波的修正部分包括：

(16)

式中：K(k)為卡爾曼濾波增益矩陣；I為單位矩陣。由步驟1預測獲得的k+1時刻系統狀態估計值由k時刻狀態最優估計值推算得到，并沒有考慮當前觀測值的作用，因此精度有限。卡爾曼濾波算法的修正部分主要就是通過權衡預測狀態協方差矩陣和觀測量的協方差矩陣，給出當前狀態的最優估計結果。

系統狀態變量X的維數通常高于觀測量y的維數，卡爾曼濾波器可以通過低維數的觀測量對高維數的狀態量進行修正，關鍵就在于卡爾曼濾波增益矩陣K.K中含有協方差矩陣P的相關信息，因此通過K利用觀測量和其他狀態量之間的相關性，可以由觀測量的殘差推算出其他狀態量的殘差，從而達到對狀態X的不同維度進行同時修正的目的。例如本文平臺只裝有陀螺傳感器，只能觀測系統轉動速度量，而系統狀態量是二維向量，包括速度量和加速度量，因此經過修正后的(k)就是最終的最優估計值。

迭代初值的選取誤差會在短時間內影響迭代結果的精度，但隨著迭代的進行誤差會逐漸收斂，使最優估計結果逼近真實值，從而提高精度和實時性。

4.2 卡爾曼濾波算法仿真分析

通過第1節對系統模型分析以及掃頻建模獲得系統的傳遞函數模型如(17)式所示:

(17)

相應的離散狀態空間模型參數為

C=[1,0].

為了考察卡爾曼濾波算法的效果以及對原系統的影響，利用Simulink軟件進行仿真分析，并分別測試原系統頻率響應特性曲線、原系統引入卡爾曼濾波器后從系統輸入到卡爾曼濾波器輸出的頻率特性曲線，以及原系統引入巴特沃斯濾波器后輸入到巴特沃斯濾波器輸出的頻率特性曲線，結果如圖4所示。由圖4可見：原系統引入卡爾曼濾波器后系統頻率響應曲線與原系統幾乎重合，仿真條件下卡爾曼濾波器不會對原系統的頻率特性產生影響；引入巴特沃斯濾波器的系統在幅頻特性為100 rad/s之后會出現隨頻率增大的幅值衰減，相頻特性在約10 rad/s之后就出現了隨頻率增大的相位滯后。

圖4 不同濾波器下速度輸入與輸出之間的頻率特性對比

同理，為了驗證采用卡爾曼濾波器對加速度信號進行估計的合理性和可行性，在Simulink軟件仿真條件下測試系統輸入和加速度輸出之間的頻率特性曲線，結果如圖5所示。由圖5可以發現：引入卡爾曼濾波器對加速度信號進行估計后，系統輸入和加速度輸出之間的頻率特性曲線與原系統幾乎重合，可見卡爾曼濾波器的引入幾乎不會對原系統造成進一步的幅值衰減和相位滯后；通過速度信號進行差分并通過巴特沃斯濾波器進行降噪的方法會在高頻段對系統的幅頻特性帶來嚴重的幅值衰減，相位也會隨之帶來相應的滯后。圖6所示系統分別在幅值為1°/s、頻率為2 Hz和幅值為1°/s、頻率為5 Hz正弦輸入下，系統通過不同方法獲取的系統加速度信號仿真實驗結果。由圖6可見：通過卡爾曼濾波器對加速度信號進行估計的結果與系統真實加速度曲線幾乎重合；采用差分并配合巴特沃斯濾波器降噪方法獲取的加速度信號相位滯后明顯，而且降噪性能較差。

圖5 不同濾波器下加速度輸入與輸出之間的頻率特性對比

圖6 不同輸入頻率下加速度信號輸出對比曲線(幅值為1°)

基于以上對加速度反饋控制以及卡爾曼濾波理論的介紹和分析，對圖3所示帶有加速度反饋控制系統引入卡爾曼濾波器，最終控制系統整體結構圖如圖7所示。與圖3所示傳統的控制方案不同，在此將被控對象的輸入和輸出作為卡爾曼濾波器的輸入，將卡爾曼濾波器對速度的估計結果和對加速度的估計結果分別作為速度環和加速度環的反饋量。這樣系統在原有基礎上不需要加入額外傳感器，即可實現加速度反饋控制。

圖7 伺服控制系統整體結構框圖

5 仿真分析和實驗驗證

5.1 仿真分析

為了便于探討，加速度環控制器仍然采用純比例控制。下面以航空光電穩定平臺的伺服控制系統為被控對象，用MATLAB軟件編程仿真，在階躍和正弦指令下測量系統的運行效果。

首先，在控制器設計中不加入加速度反饋控制，直接將得到的速度誤差信號作為系統的跟蹤誤差對伺服電機進行校正，得到系統的速度階躍響應曲線如圖8中藍線所示，其中超調量為20%，調節時間約為0.5 s.當系統引入基于卡爾曼濾波的加速度反饋控制后系統的階躍響應超調量僅為5%，相比于傳統控制方案，調節時間更短，穩態階段運行速度也更加平穩。

圖8 采用不同控制方法的速度階躍響應曲線

圖9所示為MATLAB軟件仿真的光電平臺伺服系統跟蹤正弦速度指令信號的跟蹤響應曲線，由跟蹤誤差曲線可以看出：傳統控制方案對擾動力矩抑制能力有限，速度跟蹤誤差明顯，誤差峰峰值可達0.7°/s；引入加速度反饋控制方案后系統跟蹤誤差幾乎為0°/s.由此可見，采用加速度反饋控制可以有效降低伺服控制系統對正弦指令的跟蹤誤差。

圖9 不同控制方法的正弦跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線

5.2 實驗驗證

由5.1節仿真分析可知，帶有加速度反饋控制器的伺服系統對擾動力矩抑制效果明顯優于傳統單速度環的控制效果。將上述算法引入航空光電穩定平臺的實際硬件系統進行多組速度穩定實驗，并與傳統控制方案進行相應比較。圖10所示為實驗所用光電平臺、飛行模擬轉臺及相應硬件驅動和控制電路板，在光電平臺內安裝美國KVH工業公司生產的DSP-1750光纖數字陀螺儀作為反饋傳感器，利用陀螺儀測量平臺的轉速，陀螺參數如下：速度測量范圍-490～490°/s，分辨率1.72″/s，零漂穩定度0.05″/s，采樣時間0.001 s.

圖10 飛行模擬轉臺和光電穩定平臺

首先對光電平臺輸入零速指令，同時通過飛行模擬轉臺對光電平臺施加幅值為2°/s、頻率為2 Hz的正弦擾動，觀測并采集陀螺輸出的轉動速度數據，實驗結果如圖11所示。由于光電平臺和飛行模擬轉臺之間存在摩擦力矩擾動，傳統的單速度環穩定控制策略穩定能力有限，視軸晃動峰峰值達到0.8°/s左右。引入加速度反饋的控制策略后，由圖11藍線可以直觀地看出視軸穩定精度明顯提升，只有在速度過零處有小幅的尖峰波動，視軸晃動的峰峰值降低到0.1°/s左右，擾動隔離度經計算由原來的12.9 dB提升到27.9 dB.

圖11 不同控制方法的速度穩定曲線

為考察加速度反饋控制的適用性，進行多組實驗，測試平臺引入加速度反饋后在不同擾動頻率下的擾動隔離度，實驗結果如表1所示。由表1中數據可知,該控制方案對2.5 Hz以內不同頻率的擾動均能表現出良好的擾動隔離效果。

表1 不同擾動頻率下系統的擾動隔離度

對平臺輸入常值速度階躍指令，實驗結果曲線如圖12所示。由圖12可見，引入加速度反饋控制策略后，伺服系統階躍響應特性明顯優于傳統的單速度環控制效果，平臺的階躍響應超調量降低了約40%，調節時間由130 ms降低到70 ms，穩態運行速度更加平穩。

圖12 不同控制方法的速度階躍響應曲線

6 結論

本文以航空光電穩定平臺為被控對象，在傳統單速度環控制基礎之上，提出了基于卡爾曼濾波的加速度反饋控制策略。通過卡爾曼濾波器對伺服系統的陀螺反饋信號進行濾波并對系統加速度進行預測估計，將濾波結果和加速度估計結果分別作為速度環和加速度環的反饋信號,有效提高了系統的伺服精度。得出以下主要結論：

1)通過模擬轉臺對光電平臺施加幅值為2°/s、頻率為2 Hz的正弦擾動時引入加速度反饋控制策略，可以將速度跟蹤誤差的峰峰值由0.8°/s左右降低到0.1°/s左右。階躍響應實驗驗證了該控制方案使光電平臺系統的階躍響應超調量降低了約40%，調節時間也明顯降低。

2)本文所提出的將加速度環引入傳統速度環控制系統，可以有效改善光電穩定平臺的伺服控制性能，具有較高的工程應用價值。