多面體與球的組合體問題解題思路整理

李晶瑩

近幾年高考每一年都有對球的組合體問題的考查，重點放在與球相關的外接與內切問題上.要準確解答這類問題，學生必須具有較強的空間想象能力和準確的計算能力，這對學生的能力要求很高。而摸清并總結出解題的模式和套路，就能幫助學生遇到類似的題目時思路清晰，快速找到解題的突破口，從而達到事半功倍的效果。我們總結如下：

一般解題思路以及常用到的公式：

（1）求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解。

（2）若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2=a2+b2+c2求解。

（3）研究有一條側棱垂直于底面的三棱錐的外接球，可把該三棱錐補成直三棱柱

（4）正方體的棱長為a，球的半徑為R，

①若球為正方體的外接球，則2R=a;

②若球為正方體的內切球，則2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則2R=a.

（5）若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R=.

（6）正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1

常見題型解題策略：

一、規則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題。

1. 球與正方體

如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1，設正方體的棱長為a，E，F，H，G為棱的中點，O為球的球心.常見組合方式有三類：一是球為正方體的內切球，截面圖為正方形EFGH和其內切圓，則;二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFGH和其外接圓，則;三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形ACA1C1和其外接圓，則.通過這三種類型可以發現，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉化為平面問題。

2.球與長方體

長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為a，b，c，其體對角線為l.當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑。

3.球與直棱柱

球與一般的直棱柱的組合體，常以外接形態居多.下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構造直角三角形法.設正三棱柱ABC-A1B1C1的高為h底面邊長為a，如圖所示，D和D1分別為上下底面的中心.根據幾何體的特點，球心必落在高DD1的中點O，借助直角三角形AOD的勾股定理，可求。

二、規則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態進行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題。

1. 球與正四面體

正四面體作為一個規則的幾何體，它既存在外接球，也存在內切球，并且兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長的關系.如圖，設正四面體S-ABC的棱長為a，內切球半徑為r，外接球的半徑為R，取AB的中點為D，E為S在底面的射影，連接CD，SD，SE為正四面體的高.在截面三角形SDC，作一個與邊SD和DC相切，圓心在高SE上的圓，即為內切球的截面.因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內切球的球心同為O.此時

則有

解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發現，球心O為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數量關系，可為解題帶來極大的方便。

2.球與三條側棱互相垂直的三棱錐

球與三條側棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形法，即把三棱錐補形成正方體或者長方體.常見兩種形式：

一是三棱錐的三條側棱互相垂直并且相等，則可以補形為一個正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.如圖，三棱錐A1-AB1D1的外接球的球心和正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.設AA1=a，則.二是如果三棱錐的三條側棱互相垂直并且不相等，則可以補形為一個長方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心.（l為長方體的體對角線長）。

綜合上面的幾種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作;把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內接問題.解決這類問題的關鍵是抓住內接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.發揮好空間想象力，借助于數形結合進行轉化，問題即可得解.如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結論直接求解，此時結論的記憶必須準確。