知識+方法+思想

陸芳芳

【摘 要】以加法、減法概念為核心的加法結構包含多種數學概念，如總數、部分數、差數、大數、小數等，一般分為變化題、合并題和比較題，學生若一直停留在題文推理的解題水平，則不利于加法結構的完善。教師應通過將數學方法和數學思想融合于數學知識的概念教學中，助力學生達到概念推理的解題水平，為數學課程的學習打下良好基礎。

【關鍵詞】知識 方法 思想 概念

日本數學家米山國藏說：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發生作用，使人終身受益?！狈椒ā⑺枷胄纬傻幕A和載體是知識技能，因而方法和思想的習得需扎根于知識技能的學習過程中。同時，只有在知識技能的學習過程中將方法和思想相融合，學生才能在火熱的思考中感受到冰冷的美麗。

人們獲得的數學知識，多是在以概念（詞）為節點的語義網絡中儲存的，人們頭腦中的概念有個重要的特征，即它們都是被嵌入到一個有組織的概念體系中。因而，教師應把數學基本概念的教學置于重要地位。加法和減法是數學課程的基礎，以加法、減法概念為核心的加法結構又包含多種數學概念，如總數、部分數、差數等。在紛繁復雜的加減法實際問題中，如何幫助學生做到舉一反三和觸類旁通呢？本文就從三個維度談一談“知識+方法+思想”的教學模式在加減法實際問題教學中的運用。

一、知識維度——掌握核心概念，生成“一”

教材將“分與合”單元編排在認識加減法之前，除了將“分與合”作為加減法的口算方法基礎，同時也作為加減法的概念鋪墊。教師容易忽略“分與合”這一基本算術技能在加減法概念發展中的重要作用。通過“分與合”的教學，教師在幫助學生體會“分與合”的有序性之外，還應讓學生初步感受部分與總體的關系，即將一個總體分成兩個部分，以及兩個部分合成一個總體（見圖1）。

孫昌識教授將加減法實際問題分為三大類：變化題、合并題和比較題。其中，學生以生活經驗為基礎形成了加減法的概念雛形，如數量增加用加法，數量減少用減法。教材在編排上也遵循學生的認知規律，先認識變化題（題文中有暗示增量或減量的動詞，如“又來了”“走掉了”等），順勢引導學生利用已有生活經驗初步建構加減法概念，即合并圖式;再認識合并題（題文中沒有暗示增量或減量的動詞，三個量是包含關系），進一步豐富學生的加減法概念，知道兩個部分數合起來是總數用加法，從總數中去掉一個部分數得到另一個部分數用減法，即部分與總體關系推理圖式;隨著解題經驗的積累，教師應引導學生將原有以生活經驗為主導的合并圖式整合到部分與總體關系推理圖式中，逐漸擺脫生活經驗的束縛，學會用概念進行思維，逐漸接近加減法概念的本質。

在變化題的教學中，筆者也遇到了一些頑固性問題，如：劃走6只船后，還剩5只船，原來有幾只船？不少學生列式為“11-6=5（只）”，因為數字較小，他們在列式之前已經知道了答案，但到了高年級，涉及的數字較大時，這種數字推理方式就行不通了。如何幫助學生走出困境呢？筆者認為，一些學生習慣了“減量用減法”的思維方式，新知與原有的認知產生了矛盾，教師應通過概念分析幫助學生將新知與原有認知加以整合：題目中雖然出現了減量動詞，但是要結合加減法概念思考三個量的關系——“原來的只數”分成了“劃走的6只”和“剩下的5只”這兩部分，求總數只要把兩個部分的數合起來，所以用加法。

在加減法實際問題的教學中，教師應引導學生從題文（找增、減量動詞）驅動的解題方式向概念（推理部分與總體關系）驅動的解題方式轉變，只有把握了概念本質，才能“一”以貫之，以不變應萬變。

二、方法維度——聯通核心概念，合成“類”

在三類加減法實際問題中，變化題和合并題便于學生建立部分與總體的關系圖式，進而建構加減法概念，比較題涉及差數概念，不利于學生整合到部分與總體關系推理模式中，因而教材將比較題教學置后編排。新授課教學中，一些教師先告訴學生“比某某多用加法，比某某少用減法”，再運用此技巧進行練習，這屬于題文驅動的解題方式，新授課采取此種教學方式實屬不當。

比較題中關于差數這一難點知識該如何處理呢？筆者認為，教師應當研讀教材，從學生初次接觸比較兩個數量的多少開始，教材就引導學生一個對應一個地排（見圖2），這對我們的教學也有所啟示，即重視動作、線段圖等表象在理解概念中的作用。

學生學習比較題的基礎是“一樣多”的概念和一一匹配的操作程序。學生能夠通過一一匹配的直觀圖看出兩個數量（大數、小數）相差多少，但如何用算式表征？如何溝通算式與減法概念的聯系？這都需要借助動手操作和線段圖等形象直觀的教學方法。

比較題的教學編排分成兩部分，一年級下冊是“求兩數相差多少的實際問題”，二年級上冊是“求比一個數多（少）幾是多少的實際問題”，在教學中，教師要重點引導學生聯系加減法概念列出算式。

筆者在教學“求兩數相差多少的實際問題”時，首先提出明確的操作要求：怎樣擺，能讓別人一眼看出來哪種花片多？多幾個？在學生操作、展示的基礎上，課件顯示（見圖3），明確 “紅花片多，多5個”;課件顯示（見圖4），將藍花片設置成透明效果，引導學生聯系直觀圖理解算式，13個紅花片分成了兩部分，一部分是與藍花片同樣多的8個，另一部分是多出來的個數，從總數中去掉與藍花片同樣多的8個，就是多出來的個數，即13-8=5（個）。

“求比一個數多（少）幾是多少的實際問題”的教學可作類似處理。將大數（總體）、小數（一部分）、差數（另一部分）通過直觀的方法整合到部分與總體關系的推理圖式中。這樣，學生就能將求大數與求總數歸為同一類問題，將求小數、求差數與求部分數歸為同一類問題，即合成“類”。

三、思想維度——融合核心概念，達成“通”

加法結構是一個概念域，是以加法減法概念為核心的概念體系，是多種數學概念（部分數、總數、差數等）圍繞加減法概念形成的聯結網絡。在加法結構的建構過程中，加法和減法也從分離狀態逐漸實現整合——減法是加法的逆運算。

教材從“分與合”單元開始滲透分解與合成的互逆關系，在“一圖四式”的教學中，要求學生看圖寫出四道算式（見圖5），進而明確“同一幅圖既可以看作是把總體分成兩部分，也可以是把兩部分合成總體”。“求未知加數”的教學，在尊重學生算法多樣化的基礎上，要相機介紹用減法求未知加數（見圖6）。以上內容都是學生在直觀感知的基礎上，初步感受到加法、減法之間的聯系。

一年級下冊“20以內的退位減法”的教學，教師要在倡導算法多樣化的基礎上優化算法，以引導學生在邏輯抽象層面進一步理解加法、減法之間的聯系（見圖7）。

筆者在學習評價中采取以下檢測方法，能有效甄別學生解決加減法實際問題時采取的解題方式，同時通過適當的訓練，幫助學生理解題目中三量之間的關系，以提高學生概念驅動的解題水平。先提供一組文字描述的題目，如：①小麗和小軍共有20枚郵票，小麗有8枚，小軍有幾枚？②媽媽買來一些蘋果，吃了6個后，還剩5個，媽媽買了多少個蘋果？③一分鐘跳繩比賽中，小紅跳了82下，小軍比小紅多跳4下，小軍跳了多少下？④張阿姨已經做了40件上衣和28條褲子，至少再做多少條褲子就能和上衣配套？⑤一分鐘跳繩比賽中，小紅跳了82下，小明比小紅少跳6下，小明跳了多少下？再出示線段圖（見圖8），要求學生根據題文信息選擇匹配的線段圖，并將條件填在合適位置，再列式解答。

教師在具體操作中，也可根據學生情況調整實際問題的難易程度。在這個過程中，學生首先要將問題中的條件抽象成總數、部分數、大數、小數和差數等概念，多個問題可以用同一幅圖表征，這時線段圖作為模型就能幫助學生通過部分和總體關系推理出數量關系，進而列出正確算式。在整個過程中，三個基本數學思想——抽象、推理和模型得以滲透，打破了加法、減法彼此孤立的狀態，達成“通”，并進一步完善了學生的加法結構。

錢陽輝老師說：“知識背后沒有方法，知識就不可能被調用，只能成為一種僵硬的學問與沉重的負擔;方法背后沒有活生生的思想，方法也不可能被創造性地靈活運用，只能是一種笨拙的工具?！敝R技能是基礎，數學思考、問題解決、情感態度的發展離不開知識技能的學習，知識技能的學習必須有利于其他三個目標的實現。因此，在知識技能的教學中，應注意數學方法的指導和數學思想的滲透，讓數學學科核心素養得以真正達成。

綜上所述，堅持采用“知識+方法+思想”的數學教學模式，我們的學生即使離開了校園，依然會用數學眼光觀察世界、會用數學思維分析世界、會用數學語言表達世界，這也是我們致力追求的數學教育愿景。

【參考文獻】

[1]孫昌識，姚平子.兒童數學認知結構的發展與教育[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]錢陽輝.發展學生思維的關鍵在于展開探索過程[J].江蘇教育，2009（5）.

注：本文系無錫市陶行知研究會“十三五”課題“核心素養立意下的加減法實際問題大單元教學研究”（課題編號：XTD-025）的階段性研究成果。